Интеграция с оболочкой

Объем аппроксимируется набором полых цилиндров. По мере того, как стенки цилиндра становятся тоньше, приближение становится лучше. Предел этого приближения - интеграл оболочки.

Интеграция в оболочку (The метод оболочки в интегральном исчислении ) представляет собой метод расчета на объем о наличии тела вращения при интегрировании вдоль оси перпендикулярной к оси вращения. Это отличается от интеграции диска, которая объединяется вдоль оси, параллельной оси вращения.

Определение [ править ]

Метод оболочки выглядит следующим образом: Рассмотрим объем в трех измерениях, полученный путем вращения поперечного сечения в плоскости xy вокруг оси y . Предположим, что сечение задается графиком положительной функции f ( x ) на интервале [ a , b ] . Тогда формула объема будет такой:

${\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} xf (x) \, dx}$

Если функция имеет координату y, а ось вращения - ось x, формула принимает следующий вид:

${\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} yf (y) \, dy}$

Если функция вращается вокруг линии x = h, формула принимает следующий вид: ^[1]

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (xh) f (x) \, dx, & {\ text {if}} \ h \ leq a <b \\\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (hx) f (x) \, dx, & {\ text {if}} \ a <b \ leq h, \ end {case}} }$

и для вращений вокруг y = k он становится

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (yk) f (y) \, dy, & {\ text {if}} \ k \ leq a <b \\\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (ky) f (y) \, dy, & {\ text {if}} \ a <b \ leq k. \ end {cases}} }$

Формула выводится путем вычисления двойного интеграла в полярных координатах .

Пример [ править ]

Рассмотрим объем, изображенный ниже, поперечное сечение которого на интервале [1, 2] определяется как:

${\ Displaystyle у = (х-1) ^ {2} (х-2) ^ {2}}$

В случае интеграции с диском нам нужно будет решить для x, заданного y, и поскольку объем полый в середине, мы найдем две функции: одну, которая определяет внутреннее твердое тело, а другая - внешнее твердое тело. После интеграции этих двух функций с дисковым методом мы вычитаем их, чтобы получить желаемый объем.

Для метода оболочки все, что нам нужно, это следующая формула:

${\displaystyle 2\pi \int _{1}^{2}x((x-1)^{2}(x-2)^{2})\,dx}$

При расширении полинома интеграл становится очень простым. В итоге мы находим объемπ/10 кубические единицы.

См. Также [ править ]

• Твердая революция
• Интеграция с дисками

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Метод оболочек» . MathWorld .
• Фрэнк Эйрес , Эллиот Мендельсон . Очерки Шаума : Расчет . McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2 . стр. 244–248 ( онлайн-копия , стр. 244, в Google Книгах ) 
• «Метод оболочки» на Avidemia.com