Обратные функции и дифференцирование

Правило: Пример для произвольного :
${\displaystyle {\color {CornflowerBlue}{f'}}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x))}}}$

${\displaystyle x_{0}\approx 5.8}$
${\displaystyle {\color {CornflowerBlue}{f'}}(x_{0})={\frac {1}{4}}}$
${\displaystyle {\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x_{0}))=4~}$

В математике , то обратная из функции является функция , которая каким - то образом, «Отменяет» эффект (см обратную функцию для формального и детального определения). Обратное к обозначается как , где тогда и только тогда, когда .${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$${\displaystyle f(x)=y}$

Две их производные, если предположить, что они существуют, взаимны , как предполагает обозначение Лейбница ; то есть:

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.}$

Это соотношение получается путем дифференцирования уравнения по x и применения цепного правила , в результате чего:${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}}$

учитывая, что производная x по x равна 1.

Записав явно зависимость y от x и точку, в которой происходит дифференцирование, формула для производной обратной принимает вид (в обозначениях Лагранжа):

${\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}}}$.

Эта формула, вообще говоря, верна всякий раз, когда она непрерывна и инъективна на интервале I , будучи дифференцируемой в точках ( ) и где . ^[1] Эта же формула эквивалентна выражению${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(a)}$${\displaystyle \in I}$${\displaystyle f'(f^{-1}(a))\neq 0}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}\left[f^{-1}\right]={\frac {1}{({\mathcal {D}}f)\circ \left(f^{-1}\right)}},}$

где обозначает оператор унарной производной (в пространстве функций) и обозначает композицию функций .${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \circ }$

Геометрически функция и обратная функция имеют графики, которые являются отражениями на линии . Эта операция отражения превращает градиент любой линии в обратный . ^[2]${\displaystyle y=x}$

Предполагая , что имеет обратный в окрестностях части и что его производная в этой точке не равен нуль, его обратный гарантированно будет дифференцируема в и имеют производный дана приведенную выше формулу.${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Примеры [ править ]

• ${\displaystyle y=x^{2}}$(для положительного x ) имеет обратный .${\displaystyle x={\sqrt {y}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.}$

При , однако, возникает проблема: график функции квадратного корня становится вертикальным, соответствующим горизонтальной касательной для функции квадрата.${\displaystyle x=0}$

• ${\displaystyle y=e^{x}}$(для действительного x ) имеет обратный (для положительного )${\displaystyle x=\ln {y}}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot {\frac {1}{y}}={\frac {e^{x}}{e^{x}}}=1}$

Дополнительные свойства [ править ]

• Интеграция этих отношений дает

${\displaystyle {f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+C.}$

Это полезно, только если существует интеграл. В частности, нам нужно быть ненулевым во всем диапазоне интеграции.${\displaystyle f'(x)}$

Отсюда следует, что функция, имеющая непрерывную производную, имеет обратную в окрестности каждой точки, где производная не равна нулю. Этого не должно быть, если производная не является непрерывной.

• Еще одно очень интересное и полезное свойство:

${\displaystyle \int f^{-1}(x)\,{dx}=xf^{-1}(x)-F(f^{-1}(x))+C}$

Где обозначает обратную функцию к .${\displaystyle F}$${\displaystyle f^{-1}}$

Высшие производные [ править ]

Приведенное выше цепное правило получается дифференцированием тождества по x . Можно продолжить тот же процесс для более высоких производных. Дважды дифференцируя тождество по x , получаем${\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,}$

что дополнительно упрощается цепным правилом как

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0.}$

Заменив первую производную на полученное ранее тождество, получим

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.}$

Аналогично для третьей производной:

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}$

или используя формулу для второй производной,

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}$

Эти формулы обобщены формулой Фаа ди Бруно .

Эти формулы также можно записать в обозначениях Лагранжа. Если f и g обратные, то

${\displaystyle g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}}$

Пример [ править ]

• ${\displaystyle y=e^{x}}$имеет обратное . Используя формулу для второй производной обратной функции,${\displaystyle x=\ln y}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};}$

так что

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}}$,

что согласуется с прямым расчетом.

См. Также [ править ]

• Исчисление
• Обратные функции
• Правило цепи
• Теорема об обратной функции
• Теорема о неявной функции
• Интегрирование обратных функций

Ссылки [ править ]