Дифференциал функции

В исчислении , то дифференциальное представляет собой основную часть этого изменения в функции у  =  ф ( х ) относительно изменений в независимой переменной. Дифференциал dy определяется как

${\ displaystyle dy = f '(x) \, dx,}$

где это производная от F по отношению к й и ому является дополнительным реальным переменным (так что ду является функцией х и дм ). Обозначения таковы, что уравнение${\ displaystyle f '(x)}$

${\ displaystyle dy = {\ frac {dy} {dx}} \, dx}$

где производная представлена ​​в обозначении Лейбница dy / dx , и это согласуется с рассмотрением производной как частного дифференциалов. Еще один пишет

${\ displaystyle df (x) = f '(x) \, dx.}$

Точное значение переменных dy и dx зависит от контекста приложения и требуемого уровня математической строгости. Область этих переменных может иметь особое геометрическое значение, если дифференциал рассматривается как особую форму дифференциала , или аналитическое значение, если дифференциал рассматривается как линейное приближение к приращению функции. Традиционно переменные dx и dy считаются очень малыми ( бесконечно малыми ), и такая интерпретация делается строго в нестандартном анализе .

История и использование [ править ]

Дифференциал был впервые введен через интуитивное или эвристическое определение Готфридом Вильгельмом Лейбницем , который думал о дифференциале  dy как о бесконечно малом (или бесконечно малом ) изменении значения  y функции, соответствующем бесконечно малому изменению  dx в аргументе функции  х . По этой причине мгновенная скорость изменения y по отношению к x , которая является значением производной функции, обозначается дробью

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}}}$

в так называемой нотации Лейбница для производных. Фактор dy / dx не бесконечно мал; скорее это реальное число .

Использование бесконечно малых величин в этой форме широко критиковалось, например, в известной брошюре епископа Беркли «Аналитик ». Огюстен-Луи Коши ( 1823 ) определил дифференциал, не обращаясь к атомизму бесконечно малых Лейбница. ^{[1] [2]} Вместо этого Коши, вслед за Даламбером , перевернул логический порядок Лейбница и его последователей: сама производная стала фундаментальным объектом, определенным как предел разностных коэффициентов, а дифференциалы затем были определены в терминах Это. То есть можно было определить дифференциал dy выражением

${\ displaystyle dy = f '(x) \, dx}$

в которой dy и dx - просто новые переменные, принимающие конечные действительные значения ^{[3], а} не фиксированные бесконечно малые величины, как это было для Лейбница. ^[4]

Согласно Бойеру (1959 , с. 12), подход Коши был значительным логическим улучшением по сравнению с подходом бесконечно малых Лейбница, потому что вместо использования метафизического понятия бесконечно малых величин dy и dx теперь можно было манипулировать точно так же, как любые другие реальные количества значимым образом. Общий концептуальный подход Коши к дифференциалам остается стандартным для современных аналитических подходов ^[5], хотя последнее слово о строгости, полностью современном понятии предела, в конечном итоге принадлежит Карлу Вейерштрассу . ^[6]

В физических методах лечения, например, применяемых в теории термодинамики , все еще преобладает точка зрения бесконечно малых. Курант и Джон (Courant & John, 1999 , с. 184) согласовывают физическое использование бесконечно малых дифференциалов с их математической невозможностью следующим образом. Дифференциалы представляют собой конечные ненулевые значения, которые меньше степени точности, необходимой для конкретной цели, для которой они предназначены. Таким образом, «физические бесконечно малые» не должны обращаться к соответствующей математической бесконечно малой величине, чтобы иметь точный смысл.

После развития математического анализа и дифференциальной геометрии в двадцатом веке стало ясно, что понятие дифференциала функции может быть расширено множеством способов. В реальном анализе более желательно иметь дело непосредственно с дифференциалом как с главной частью приращения функции. Это непосредственно приводит к представлению о том, что дифференциал функции в точке является линейным функционалом от приращения Δ x . Такой подход позволяет разрабатывать дифференциал (как линейное отображение) для множества более сложных пространств, что в конечном итоге приводит к появлению таких понятий, как производная Фреше или Гато . Точно так же вВ дифференциальной геометрии дифференциал функции в точке является линейной функцией касательного вектора («бесконечно малое смещение»), что демонстрирует его как разновидность одной формы: внешней производной функции. В нестандартном исчислении дифференциалы рассматриваются как бесконечно малые, которые сами по себе могут быть поставлены на строгую основу (см. Дифференциал (бесконечно малый) ).

Определение [ править ]

В современных трактовках дифференциального исчисления дифференциал определяется следующим образом. ^[7] Дифференциал функции f ( x ) одной действительной переменной x - это функция df двух независимых действительных переменных x и Δ x, заданная формулой

${\ displaystyle df (x, \ Delta x) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} f '(x) \, \ Delta x.}$

Один или оба аргумента могут быть подавлены, то есть можно увидеть df ( x ) или просто df . Если y  =  f ( x ), дифференциал также можно записать как dy . Поскольку dx ( x , Δ x ) = Δ x, принято писать dx  = Δ x , так что выполняется равенство

${\ displaystyle df (x) = f '(x) \, dx}$

Это понятие дифференциала широко применимо, когда ищется линейное приближение к функции, в котором значение приращения Δ x достаточно мало. Точнее, если f - дифференцируемая функция в точке x , то разность значений y

${\ Displaystyle \ Delta y {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} f (x + \ Delta x) -f (x)}$

удовлетворяет

${\ Displaystyle \ Delta y = f '(x) \, \ Delta x + \ varepsilon = df (x) + \ varepsilon \,}$

где ошибка ε в приближении удовлетворяет условию ε / Δ x  → 0 при Δ x  → 0. Другими словами, имеется приближенное тождество

${\ displaystyle \ Delta y \ приблизительно dy}$

в котором ошибка может быть сделана сколь угодно малой по отношению к Δ x , ограничивая Δ x достаточно малым; то есть,

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta y-dy} {\ Delta x}} \ to 0}$

при Δ x  → 0. По этой причине дифференциал функции известен как главная (линейная) часть приращения функции: дифференциал является линейной функцией приращения Δ x , и, хотя ошибка ε может быть нелинейный, он быстро стремится к нулю, когда Δ x стремится к нулю.

Дифференциалы нескольких переменных [ править ]

Оператор \ Функция	${\ displaystyle f (x)}$	${\ Displaystyle е (х, у, и (х, у), v (х, у))}$
Дифференциальный	1: ${\ displaystyle df \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \, f '_ {x} \, dx}$	2: ${\displaystyle d_{x}f\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx}$ 3: d f = d e f f x ′ d x + f y ′ d y + f u ′ d u + f v ′ d v {\displaystyle df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}dx+f'_{y}dy+f'_{u}du+f'_{v}dv}
Частная производная	${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,{\frac {df}{dx}}}$	${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}\,{\frac {d_{x}f}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$
Полная производная	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,f'_{x}}$	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}\,f'_{x}+f'_{u}{\frac {du}{dx}}+f'_{v}{\frac {dv}{dx}};(f'_{y}{\frac {dy}{dx}}=0)}$

Следуя Гурсу (1904 , I, §15), для функций более чем одной независимой переменной

${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),}$

частный дифференциал от у по отношению к какой - либо одной из переменных  х ₁ является основной частью изменения у в результате изменения  дх ₁ в этой одной переменной. Следовательно, частный дифференциал

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}}$

с участием частных производным от у по отношению к  й ₁ . Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным и есть полный дифференциал

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},}$

что является основной частью изменения y в результате изменений независимых переменных  x _i .

Точнее, в контексте многомерного исчисления, следуя Куранту (1937b) , если f - дифференцируемая функция, то по определению дифференцируемости приращение

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}}$

где члены ошибки ε _i стремятся к нулю, когда приращения Δ x _i вместе стремятся к нулю. Тогда полный дифференциал строго определяется как 

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}.}$

Поскольку с этим определением

${\displaystyle dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i},}$

надо

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.}$

Как и в случае одной переменной, выполняется приближенное тождество

${\displaystyle dy\approx \Delta y}$

в котором общая ошибка может быть сделана сколь угодно малой по сравнению с , сосредоточив внимание на достаточно малых приращениях.${\displaystyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}}$

Применение полного дифференциала к оценке ошибки [ править ]

При измерении полный дифференциал используется для оценки ошибки Δ f функции f на основе ошибок Δ x , Δ y , ... параметров x , y ,…. Предполагая, что интервал достаточно короткий, чтобы изменение было приблизительно линейным:

Δ f ( x ) = f ' ( x ) × Δ x

и что все переменные независимы, то для всех переменных

${\displaystyle \Delta f=f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots }$

Это связано с тем, что производная f _x по конкретному параметру x дает чувствительность функции f к изменению x , в частности ошибку Δ x . Поскольку предполагается, что они независимы, анализ описывает наихудший сценарий. Используются абсолютные значения ошибок компонентов, поскольку после несложного вычисления производная может иметь отрицательный знак. Из этого принципа выводятся правила суммирования, умножения и т. Д. Ошибок, например:

Пусть f ( a , b ) = a × b ;

Δ f = f _a Δ a + f _b Δ b ; оценка производных

Δ f = b Δ a + a Δ b ; деление на f , которое есть a × b

Δ f / f = Δ a / a + Δ b / b

Иными словами, при умножении общая относительная ошибка является суммой относительных ошибок параметров.

Чтобы проиллюстрировать, как это зависит от рассматриваемой функции, рассмотрим случай, когда функция имеет вид f ( a , b ) = a ln b . Затем можно вычислить, что оценка ошибки равна

Δ f / f = Δ a / a + Δ b / ( b ln b )

с дополнительным фактором ln b , которого нет в случае простого продукта. Этот дополнительный фактор имеет тенденцию к уменьшению ошибки, поскольку ln b не так велик, как голое  b .

Дифференциалы высшего порядка [ править ]

Дифференциалы высшего порядка функции y  =  f ( x ) одной переменной x могут быть определены с помощью: ^[8]

${\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(df'(x))dx=f''(x)\,(dx)^{2},}$

и в целом

${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.}$

Неформально это мотивирует обозначение Лейбница для производных высшего порядка

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.}$

Когда самой независимой переменной x разрешено зависеть от других переменных, тогда выражение становится более сложным, поскольку оно должно включать также дифференциалы более высокого порядка в самом x . Так, например,

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\d^{3}y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{aligned}}}$

и так далее.

Аналогичные соображения применимы к определению дифференциалов высшего порядка функций нескольких переменных. Например, если f является функцией двух переменных x и y , то

${\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},}$

где - биномиальный коэффициент . Для большего количества переменных выполняется аналогичное выражение, но с соответствующим полиномиальным расширением, а не биномиальным расширением. ^[9]${\textstyle {\binom {n}{k}}}$

Дифференциалы более высокого порядка по нескольким переменным также становятся более сложными, когда независимые переменные сами могут зависеть от других переменных. Например, для функции f от x и y, которая может зависеть от вспомогательных переменных, есть

${\displaystyle d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.}$

Из-за этой неточности обозначений использование дифференциалов более высокого порядка подверглось резкой критике Адамаром 1935 , который пришел к выводу:

Enfin, que signifie ou que représente l'égalité

${\displaystyle d^{2}z=r\,dx^{2}+2s\,dx\,dy+t\,dy^{2}\,?}$

A mon avis, rien du tout.

То есть: наконец, что подразумевается или представлено равенством [...]? На мой взгляд, вообще ничего. Несмотря на этот скептицизм, дифференциалы высшего порядка стали важным инструментом анализа. ^[10]

В этих контекстах дифференциал n- го порядка функции f, применяемый к приращению Δ x , определяется как

${\displaystyle d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}}$

или эквивалентное выражение, например

${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}}$

где это п - й прямой разности с шагом т Δ х .${\displaystyle \Delta _{t\Delta x}^{n}f}$

Это определение также имеет смысл, если f является функцией нескольких переменных (для простоты здесь используется как векторный аргумент). Тогда определяемый таким образом n- й дифференциал является однородной функцией степени n в приращении вектора Δ x . Кроме того, ряд Тейлора функции f в точке x имеет вид

${\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots }$

Производная Гато более высокого порядка обобщает эти соображения на бесконечномерные пространства.

Свойства [ править ]

Ряд свойств дифференциала напрямую следует из соответствующих свойств производной, частной производной и полной производной. К ним относятся: ^[11]

• Линейность : для констант a и b и дифференцируемых функций f и g ,

${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg.}$

• Правило произведения : для двух дифференцируемых функций f и g ,

${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df.}$

Операция d с этими двумя свойствами известна в абстрактной алгебре как вывод . Они подразумевают правило власти

${\displaystyle d(f^{n})=nf^{n-1}df}$

Кроме того, действуют различные формы цепного правила , с возрастающей степенью общности: ^[12]

• Если y  =  f ( u ) - дифференцируемая функция переменной u, а u  =  g ( x ) - дифференцируемая функция от x , то

${\displaystyle dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.}$

• Если y = f ( x ₁ , ..., x _n ) и все переменные  x ₁ , ...,  x _n зависят от другой переменной  t , то по цепному правилу для частных производных имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}dy&={\frac {dy}{dt}}dt\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}}$

Эвристически правило цепочки для нескольких переменных можно понять, разделив обе части этого уравнения на бесконечно малую величину dt .

• Справедливы более общие аналогичные выражения, в которых промежуточные переменные x _i зависят от более чем одной переменной.

Общая формулировка [ править ]

Непротиворечивое понятие дифференциала может быть развито для функции f  : R ⁿ → R ^m между двумя евклидовыми пространствами . Пусть x , ∆ x  ∈  R ⁿ - пара евклидовых векторов . Приращение функции f равно

${\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).}$

Если существует матрица A размера m  ×  n такая, что

${\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

в котором вектор ε  → 0 при ∆ x  → 0, то f по определению дифференцируема в точке x . Матрица A иногда называется матрицей Якоби , а линейное преобразование, которое связывает с приращением Δ x  ∈  R ⁿ вектор A Δ x  ∈  R ^m , в этом общем случае известно как дифференциал df ( x ) функции f в точке x . Это в точности производная Фреше, и такая же конструкция может работать для функции между любыми банаховыми пространствами .

Еще одна полезная точка зрения - определить дифференциал непосредственно как своего рода производную по направлению :

${\displaystyle df(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )-f(\mathbf {x} )}{t}}=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\right|_{t=0},}$

который уже используется для определения дифференциалов более высокого порядка (и наиболее близок к определению, данному Коши). Если t представляет время и положение по оси x , то h представляет собой скорость, а не смещение, как мы до сих пор его рассматривали. Это приводит к еще одному уточнению понятия дифференциала: он должен быть линейной функцией кинематической скорости. Набор всех скоростей через данную точку пространства известен как касательное пространство , и поэтому df дает линейную функцию на касательном пространстве: дифференциальную форму . При такой интерпретации дифференциал f известен как внешняя производная, и имеет широкое применение в дифференциальной геометрии, поскольку понятие скоростей и касательного пространства имеет смысл на любом дифференцируемом многообразии . Если, кроме того, выходное значение f также представляет положение (в евклидовом пространстве), то размерный анализ подтверждает, что выходное значение df должно быть скоростью. Если рассматривать дифференциал таким образом, то он известен как « продвижение вперед», поскольку он «толкает» скорости из исходного пространства в скорости в целевом пространстве.

Другие подходы [ править ]

Хотя понятие наличия бесконечно малого приращения dx не совсем четко определено в современном математическом анализе , существует множество методов для определения бесконечно малого дифференциала, чтобы дифференциал функции можно было обрабатывать таким образом, который не противоречит обозначениям Лейбница. . К ним относятся:

• Определение дифференциала как разновидности дифференциальной формы , а именно внешней производной функции. Затем бесконечно малые приращения идентифицируются с векторами в касательном пространстве в точке. Этот подход популярен в дифференциальной геометрии и смежных областях, поскольку он легко обобщается на отображения между дифференцируемыми многообразиями .
• Дифференциалы как нильпотентные элементы коммутативных колец . Этот подход популярен в алгебраической геометрии . ^[13]
• Дифференциалы в гладких моделях теории множеств. Этот подход известен как синтетическая дифференциальная геометрия или гладкий анализ бесконечно малых и тесно связан с алгебро-геометрическим подходом, за исключением того, что идеи теории топосов используются, чтобы скрыть механизмы, с помощью которых вводятся нильпотентные бесконечно малые. ^[14]
• Дифференциалы как бесконечно малые в гиперреальных системах счисления, которые являются расширениями действительных чисел, которые содержат обратимые бесконечно малые и бесконечно большие числа. Это подход нестандартного анализа, впервые предложенный Абрахамом Робинсоном . ^[15]

Примеры и приложения [ править ]

Дифференциалы можно эффективно использовать в численном анализе для изучения распространения экспериментальных ошибок в расчетах и, таким образом, общей численной устойчивости задачи ( Courant 1937a ). Предположим, что переменная x представляет собой результат эксперимента, а y - результат численного вычисления, примененного к x . Вопрос в том, в какой степени ошибки в измерении x влияют на результат вычисления y . Если x известен с точностью до Δ x своего истинного значения, то теорема Тейлора дает следующую оценку ошибки Δy при вычислении y :

${\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi )}$

где ξ = x + θ Δ x для некоторого 0 < θ <1 . Если Δ x мало, то членом второго порядка можно пренебречь, так что Δ y для практических целей хорошо аппроксимируется выражением dy = f ' ( x ) Δ x .

Дифференциал часто бывает полезен для переписывания дифференциального уравнения

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)}$

в виде

${\displaystyle dy=g(x)\,dx,}$

в частности, когда нужно разделить переменные .

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бойер, Карл Б. (1959), История исчисления и его концептуальное развитие , Нью-Йорк: Dover Publications , MR  0124178.
• Коши, Огюстен-Луи (1823 г.), Résumé des Leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur les Applications du Calcul infinitésimal , заархивировано из оригинала 04.05.2009 , получено 19.08.2009.
• Курант, Ричард (1937a), Дифференциальное и интегральное исчисление. Vol. I , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (опубликовано в 1988 г.), ISBN 978-0-471-60842-4, Руководство по ремонту  1009558.
• Курант, Ричард (1937b), Дифференциальное и интегральное исчисление. Vol. II , Wiley Classics Library, Нью-Йорк: John Wiley & Sons (опубликовано в 1988 г.), ISBN 978-0-471-60840-0, Руководство по ремонту  1009559.
• Курант, Ричард ; Джон, Фриц (1999), Введение в исчисление и анализ, том 1 , Классика математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65058-Х, Руководство по ремонту  1746554
• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (1998), Геометрия схем , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98637-5.
• Фреше, Морис (1925), "La notion de différentielle dans l'analyse générale", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 42 : 293–323, ISSN  0012-9593 , MR  1509268.
• Гурса, Эдуард (1904), Курс математического анализа: Том 1: Производные и дифференциалы, определенные интегралы, разложение в ряды, приложения к геометрии , ER Hedrick, New York: Dover Publications (опубликовано в 1959), MR  0106155.
• Адамар, Жак (1935), "La notion de différentiel dans l'enseignement", Mathematical Gazette , XIX (236): 341–342, JSTOR  3606323.
• Харди, Годфри Гарольд (1908), курс чистой математики , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-09227-2.
• Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1974), Функциональный анализ и полугруппы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR  0423094.
• Ито, Киёси (1993), Энциклопедический математический словарь (2-е изд.), MIT Press , ISBN 978-0-262-59020-4.
• Клайн, Моррис (1977), «Глава 13: Дифференциалы и закон среднего», Исчисление: интуитивный и физический подход , John Wiley and Sons.
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней (3-е изд.), Oxford University Press (опубликовано в 1990 г.), ISBN 978-0-19-506136-9
• Кейслер, Х. Джером (1986), Элементарное исчисление: бесконечно малый подход (2-е изд.).
• Кок, Андерс (2006), Синтетическая дифференциальная геометрия (PDF) (2-е изд.), Cambridge University Press.
• Moerdijk, I .; Рейес, Г.Е. (1991), Модели для гладкого инфинитезимального анализа , Springer-Verlag.
• Робинсон, Абрахам (1996), нестандартный анализ , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.
• Толстов, Г.П. (2001) [1994], «Дифференциал» , Энциклопедия математики , EMS Press.

Внешние ссылки [ править ]

• Дифференциал функции в демонстрационном проекте Wolfram