Подстановка Эйлера

Подстановка Эйлера - это метод вычисления интегралов вида

${\ Displaystyle \ int R (х, {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}) \, dx,}$

где - рациональная функция от и . В таких случаях подынтегральное выражение может быть изменено на рациональную функцию с помощью подстановок Эйлера. ^[1]${\ displaystyle R}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}$

Первая подстановка Эйлера [ править ]

Первая подстановка Эйлера используется, когда . Подменяем${\ displaystyle a> 0}$

${\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = \ pm x {\ sqrt {a}} + t}$

и решите полученное выражение для . У нас это есть, и этот термин можно рационально выразить в .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x = {\ frac {ct ^ {2}} {\ pm 2t {\ sqrt {a}} - b}}}$${\ displaystyle dx}$${\ displaystyle t}$

В этой замене можно выбрать либо положительный, либо отрицательный знак.

Вторая подстановка Эйлера [ править ]

Если мы возьмем${\ displaystyle c> 0}$

${\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = xt \ pm {\ sqrt {c}}.}$

Решаем аналогично тому, как указано выше, и находим${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x = {\ frac {\ pm 2t {\ sqrt {c}} - b} {at ^ {2}}}.}$

Опять же, можно выбрать либо положительный, либо отрицательный знак.

Третья подстановка Эйлера [ править ]

Если многочлен имеет действительные корни и , мы можем выбрать . Это дает, и, как и в предыдущих случаях, мы можем рационально выразить всю подынтегральную функцию через .${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t}$${\displaystyle x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},}$${\displaystyle t}$

Примеры работ [ править ]

Примеры первой подстановки Эйлера [ править ]

Один [ править ]

В интеграле мы можем использовать первую замену и установить , таким образом${\displaystyle \int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}}$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t}$

${\displaystyle x={\frac {t^{2}-c}{2t}}\quad \quad \ dx={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,\ dt}$

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}}$

Соответственно получаем:

${\displaystyle \int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\ dt=\int \!{\frac {\ dt}{t}}=\ln |t|+C=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+c}}|+C}$

Случаи дают формулы${\displaystyle c=\pm 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&={\mbox{arsinh}}(x)+C\\[6pt]\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&={\mbox{arcosh}}(x)+C\qquad (x>1)\end{aligned}}}$

Два [ править ]

Для определения значения

${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}dx,}$

мы находим , используя первую замену Эйлера, . Возведение обеих частей уравнения в квадрат дает нам , из которых члены будут сокращаться. Решение для урожайности ${\displaystyle t}$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}$${\displaystyle x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.}$

Отсюда мы находим, что дифференциалы и связаны соотношением${\displaystyle dx}$${\displaystyle dt}$

${\displaystyle dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}&=\int {\frac {\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{({\frac {t^{2}+4}{4-2t}})({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}})}}dt\\[6pt]&=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{2}}\right)+C&&t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x\\[6pt]&=\tan ^{-1}\left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C\end{aligned}}}$

Примеры второй подстановки Эйлера [ править ]

В интегральном

${\displaystyle \int \!{\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}},}$

мы можем использовать вторую замену и установить . Таким образом${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle x={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}\qquad dx={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}dt,}$

и

${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}={\frac {1-2{\sqrt {2t}}}{t^{2}+1}}t+{\sqrt {2}}={\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}$

Соответственно получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}{{\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}{\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}}dt\\[6pt]&=\int \!{\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}t-1{\Biggl |}+C={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}{\frac {{\sqrt {-x^{2}+x+2}}-{\sqrt {2}}}{x}}-1{\Biggl |}+C\end{aligned}}}$

Примеры третьей подстановки Эйлера [ править ]

Оценить

${\displaystyle \int \!{\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx,}$

мы можем использовать третью замену и установить . Таким образом${\displaystyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}$

${\displaystyle x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\qquad \ dx={\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}\,\ dt,}$

и

${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+3x-2}}=(x-2)t={\frac {t}{-t^{2}-1.}}}$

Следующий,

${\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx=\int {\frac {({\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}})^{2}{\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}}{\frac {t}{-t^{2}-1}}}\ dt=\int {\frac {2(-2t^{2}-1)^{2}}{(-t^{2}-1)^{3}}}\ dt.}$

Как мы видим, это рациональная функция, которую можно решить с помощью дробных дробей.

Обобщения [ править ]

Подстановки Эйлера можно обобщить, допустив использование мнимых чисел. Например, в интеграле можно использовать замену . Расширение комплексных чисел позволяет нам использовать любой тип подстановки Эйлера, независимо от коэффициентов на квадратике.${\displaystyle \textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}}$${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}$

Подстановки Эйлера можно обобщить на более широкий класс функций. Рассмотрим интегралы вида

${\displaystyle \int R_{1}{\Big (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}\,\log {\Big (}R_{2}{\Big (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}{\Big )}\,dx,}$

где и - рациональные функции от и . Этот интеграл можно преобразовать, подставив в другой интеграл${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}$

${\displaystyle \int {\tilde {R}}_{1}(t)\log {\big (}{\tilde {R}}_{2}(t){\big )}\,dt,}$

где и теперь являются просто рациональными функциями от . В принципе, факторизация и разложение на частичные дроби могут использоваться для разбиения интеграла на простые термины, которые можно интегрировать аналитически с помощью функции дилогарифма . ^[2]${\displaystyle {\tilde {R}}_{1}(t)}$${\displaystyle {\tilde {R}}_{2}(t)}$${\displaystyle t}$

См. Также [ править ]

• Интеграция заменой
• Тригонометрическая замена
• Замена Вейерштрасса

Ссылки [ править ]

Эта статья включает материал из Eulers Substitutions For Integration на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .