В интегральном исчислении , формула Эйлера для комплексных чисел может быть использована для оценки интегралов , связанных с тригонометрическими функциями . Используя формулу Эйлера, любую тригонометрическую функцию можно записать в терминах комплексных экспоненциальных функций, а именно а также а затем интегрировали. Этот метод часто проще и быстрее, чем использование тригонометрических тождеств или интегрирования по частям , и достаточно эффективен, чтобы интегрировать любое рациональное выражение, включающее тригонометрические функции. [1]
Первый пример
Рассмотрим интеграл
Стандартный подход к этому интегралу заключается в использовании формулы половинного угла для упрощения подынтегрального выражения. Вместо этого мы можем использовать тождество Эйлера:
На этом этапе можно было бы вернуться к действительным числам, используя формулу e 2 ix + e −2 ix = 2 cos 2 x . В качестве альтернативы мы можем интегрировать комплексные экспоненты и не возвращаться к тригонометрическим функциям до конца:
Второй пример
Рассмотрим интеграл
Этот интеграл было бы чрезвычайно утомительно решать с использованием тригонометрических тождеств, но использование тождества Эйлера делает его относительно безболезненным:
На этом этапе мы можем либо интегрировать напрямую, либо сначала изменить подынтегральное выражение на 2 cos 6 x - 4 cos 4 x + 2 cos 2 x и продолжить оттуда. Любой метод дает
Помимо тождества Эйлера, может быть полезно разумно использовать действительные части сложных выражений. Например, рассмотрим интеграл
Поскольку cos x - действительная часть e ix , мы знаем, что
Интеграл справа вычислить несложно:
Таким образом:
В общем, этот метод можно использовать для вычисления любых дробей, включающих тригонометрические функции. Например, рассмотрим интеграл
Используя тождество Эйлера, этот интеграл принимает вид
Если мы теперь сделаем замену , результатом является интеграл от рациональной функции :
Можно продолжить, используя частичное дробное разложение .