Интеграция заменой

В исчислении , интеграции путем замены , также известный как у ЗАМЕНА или замена переменных , ^[1] представляет собой способ оценки интегралов и первообразные . Она является аналогом к цепному правилу для дифференциации , на самом деле, он свободно можно рассматривать как с помощью цепного правила «назад».

Замена одной переменной [ править ]

Введение [ править ]

Прежде чем строго сформулировать результат, рассмотрим простой случай с использованием неопределенных интегралов .

Вычислить . ^[2]${\ displaystyle \ textstyle \ int (2x ^ {3} +1) ^ {7} (x ^ {2}) \, dx}$

Установить . Это означает , или, в дифференциальной форме . Сейчас же ${\ displaystyle u = 2x ^ {3} +1}$${\displaystyle \textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2}}$ ${\displaystyle du=6x^{2}\,dx}$

${\displaystyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C}$,

где - произвольная постоянная интегрирования .${\displaystyle C}$

Эта процедура используется часто, но не все интегралы имеют форму, позволяющую ее использовать. В любом случае результат следует проверить путем дифференцирования и сравнения с исходным подынтегральным выражением.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).}$

Для определенных интегралов также необходимо настроить пределы интегрирования, но процедура в основном такая же.

Определенные интегралы [ править ]

Пусть φ  : [ a , b ] → I - дифференцируемая функция с непрерывной производной, где I ⊆ R - интервал. Предположим, что f  : I → R - непрерывная функция . Тогда ^[3]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du.}$

В обозначениях Лейбница замена u = φ ( x ) дает

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=\varphi '(x).}$

Эвристическая работа с бесконечно малыми дает уравнение

${\displaystyle du=\varphi '(x)\,dx,}$

что предполагает приведенную выше формулу замены. (Это уравнение может быть поставлено на строгий фундамент, интерпретируя его как утверждение о дифференциальных формах .) Можно рассматривать метод интегрирования путем подстановки как частичное обоснование обозначений Лейбница для интегралов и производных.

Формула используется для преобразования одного интеграла в другой, который легче вычислить. Таким образом, формулу можно читать слева направо или справа налево, чтобы упростить данный интеграл. При использовании прежним способом это иногда называют u -замещением или w -замещением, при котором новая переменная определяется как функция исходной переменной, находящейся внутри составной функции, умноженной на производную внутренней функции. Последний способ обычно используется в тригонометрической замене , заменяя исходную переменную тригонометрической функцией новой переменной, а исходный дифференциал - дифференциалом тригонометрической функции.

Доказательство [ править ]

Интегрирование подстановкой можно вывести из основной теоремы исчисления следующим образом. Пусть f и φ - две функции, удовлетворяющие вышеприведенной гипотезе о том, что f непрерывна на I и φ ′ интегрируема на отрезке [ a , b ] . Тогда функция f ( φ ( x )) φ ′ ( x ) также интегрируема на [ a , b ] . Следовательно, интегралы

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx}$

и

${\displaystyle \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du}$

на самом деле существуют, и осталось показать, что они равны.

Так как F непрерывна, она имеет первообразную F . Сложная функция F ∘ φ затем определена. Поскольку φ дифференцируема, объединение цепного правила и определения первообразной дает

${\displaystyle (F\circ \varphi )'(x)=F'(\varphi (x))\varphi '(x)=f(\varphi (x))\varphi '(x).}$

Двойное применение основной теоремы исчисления дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx&=\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(x)\,dx\\&=(F\circ \varphi )(b)-(F\circ \varphi )(a)\\&=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\\&=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du,\end{aligned}}}$

которое является правилом замены.

Примеры [ править ]

Пример 1: [ изменить ]

Рассмотрим интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx.}$

Сделайте замену, чтобы получить значение . Следовательно,${\displaystyle u=x^{2}+1}$${\displaystyle du=2xdx}$${\displaystyle \textstyle xdx={\frac {1}{2}}du}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).\end{aligned}}}$

Так как нижний предел был заменен , а верхний предел с , преобразование обратно в терминах не было необходимости.${\displaystyle x=0}$${\displaystyle u=1}$${\displaystyle x=2}$${\displaystyle 2^{2}+1=5}$${\displaystyle x}$

В качестве альтернативы можно сначала полностью вычислить неопределенный интеграл ( см. Ниже ), а затем применить граничные условия. Это становится особенно удобным, когда используются несколько замен.

Пример 2: [ изменить ]

Для интегральной

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx,}$

требуется вариант описанной выше процедуры. Подстановка подразумевающая полезна, потому что . Таким образом, мы имеем${\displaystyle x=\sin u}$${\displaystyle dx=\cos udu}$${\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos(u)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos(u)\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\,du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right]{\Biggl |}_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}+0={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}$

Полученный интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям или формулы двойного угла , с последующим еще одной замены. Можно также отметить, что интегрируемая функция представляет собой верхнюю правую четверть круга с радиусом, равным единице, и, следовательно, интегрирование верхней правой четверти от нуля до единицы является геометрическим эквивалентом площади одной четверти единичного круга, или .${\displaystyle 2\cos ^{2}u=1+\cos(2u)}$${\displaystyle \pi /4}$

Первородные [ править ]

Замещение можно использовать для определения первообразных . Каждый выбирает отношение между и , определяет соответствующее отношение между и путем дифференцирования и выполняет замены. Можно надеяться, что первообразная замещенной функции может быть определена; исходная замена между и затем отменяется.${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle du}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$

Подобно примеру 1 выше, с помощью этого метода можно получить следующую первообразную:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u+C={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}}$

где - произвольная постоянная интегрирования .${\displaystyle C}$

Не было интегральных границ для преобразования, но на последнем этапе необходимо было вернуть исходную замену . При вычислении определенных интегралов с помощью подстановки можно сначала полностью вычислить первообразную, а затем применить граничные условия. В этом случае нет необходимости преобразовывать граничные члены.${\displaystyle u=x^{2}+1}$

Функция тангенса может быть интегрирована с помощью подстановки, выразив ее через синус и косинус:

${\displaystyle \int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx}$

Использование подстановки дает и${\displaystyle u=\cos x}$${\displaystyle du=-\sin x\,dx}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln |u|+C\\&=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C.\end{aligned}}}$

Замена нескольких переменных [ править ]

Также можно использовать подстановку при интегрировании функций нескольких переменных. Здесь функция подстановки ( v ₁ , ..., v _n ) = φ ( u ₁ , ..., u _n ) должна быть инъективной и непрерывно дифференцируемой, а дифференциалы преобразуются как

${\displaystyle dv_{1}\cdots dv_{n}=|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})|\,du_{1}\cdots du_{n},}$

где Det ( d ^ ) ( U ₁ , ..., у _п ) обозначает определитель из матрицы Якоби из частных производных от ф в точке ( U ₁ , ..., у _п ) . Эта формула выражает тот факт, что абсолютное значение определителя матрицы равно объему параллелоэдра, охватываемого его столбцами или строками.

Точнее, формула замены переменных сформулирована в следующей теореме:

Теорема . Пусть U открытое множество в R ^н и φ  : U → R ^п инъективны дифференцируемая функция с непрерывными частными производными, якобиан которого отличен от нуля для каждого х в U . Тогда для любой вещественной непрерывной функции f с компактным носителем и носителем, содержащимся в φ ( U ) ,

${\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\left|\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .}$

Условия теоремы можно ослабить различными способами. Во-первых, требование, чтобы φ была непрерывно дифференцируемой, можно заменить более слабым предположением, что φ просто дифференцируема и имеет непрерывное обратное. ^[4] Это гарантированно выполняется, если функция φ непрерывно дифференцируема по теореме об обратной функции . В качестве альтернативы требование, чтобы det ( Dφ ) ≠ 0, можно исключить, применив теорему Сарда . ^[5]

Для измеримых по Лебегу функций теорема может быть сформулирована в следующем виде: ^[6]

Теорема . Пусть U - измеримое подмножество R ^n, а φ  : U → R ⁿ - инъективная функция , и предположим, что для каждого x из U существует φ ′ ( x ) в R ^{n , n} такое, что φ ( y ) = φ ( x ) + φ ′ ( x ) ( y - x ) + o (|| y - x||) , как у → х (здесь о есть мало- о нотации ). Тогда φ ( U ) измеримо, и для любой действительной функции f, определенной на φ ( U ) ,

${\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\left|\det \varphi '(u)\right|\,du}$

в том смысле, что если один из интегралов существует (включая возможность быть собственно бесконечным), то существует и другой интеграл, и они имеют одинаковое значение.

Другой очень общий вариант теории меры следующий: ^[7]

Теорема . Пусть X - локально компактное хаусдорфово пространство, снабженное конечной радоновской мерой μ , и пусть Y - σ-компактное хаусдорфово пространство с σ-конечной радоновской мерой ρ . Пусть φ  : X → Y - непрерывная и абсолютно непрерывная функция (где последнее означает, что ρ ( φ ( E )) = 0, если μ ( E ) = 0 ). Тогда существует вещественнаяИзмеряемая по Борелю функция w на X такая, что для любой интегрируемой по Лебегу функции f  : Y → R функция ( f ∘ φ ) ⋅ w интегрируема по Лебегу на X , и

${\displaystyle \int _{Y}f(y)\,d\rho (y)=\int _{X}(f\circ \varphi )(x)\,w(x)\,d\mu (x).}$

Кроме того, можно написать

${\displaystyle w(x)=(g\circ \varphi )(x)}$

для некоторого борелевском измеримой функции г на Y .

В геометрической теории меры применяется интегрирование подстановкой с липшицевыми функциями . Билипшицевой функцией называется липшицева функция φ  : U → R ^n, которая инъективна и обратная функция которой φ ⁻¹  : φ ( U ) → U также липшицева. По теореме Радемахера билипшицево отображение дифференцируемо почти всюду . В частности, якобиев определитель билипшицевого отображения det Dφ корректно определен почти всюду. Тогда имеет место следующий результат:

Теорема. Пусть U - открытое подмножество в R ⁿ и φ  : U → R ⁿ - билипшицево отображение. Пусть f  : φ ( U ) → R измеримо. потом

${\displaystyle \int _{U}(f\circ \varphi )(x)|\det D\varphi (x)|\,dx=\int _{\varphi (U)}f(x)\,dx}$

в том смысле, что если один из интегралов существует (или собственно бесконечен), то существует и другой интеграл, и они имеют одинаковое значение.

Приведенная выше теорема была впервые предложена Эйлером, когда он разработал понятие двойных интегралов в 1769 году. Хотя она была обобщена на тройные интегралы Лагранжем в 1773 году, использовалась Лежандром , Лапласом , Гауссом и впервые обобщена на n переменных Михаилом Остроградским в 1836 году он удивительно долго сопротивлялся полностью строгому формальному доказательству и был впервые удовлетворительно разрешен 125 лет спустя Эли Картаном в серии статей, начиная с середины 1890-х годов. ^{[8] [9]}

Применение в вероятности [ править ]

Подстановка может использоваться, чтобы ответить на следующий важный вопрос о вероятности: если задана случайная величина с плотностью вероятности и другая случайная величина такая, что для чего плотность вероятности ?${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{X}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y=\phi (X)}$${\displaystyle Y}$

На этот вопрос проще всего ответить, сначала ответив на несколько другой вопрос: какова вероятность, что принимает значение в некотором конкретном подмножестве ? Обозначим эту вероятность . Конечно, если есть плотность вероятности, то ответ будет${\displaystyle Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P(Y\in S)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p_{Y}}$

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,}$

но это бесполезно, потому что мы не знаем ; это то, что мы пытаемся найти. Мы можем добиться прогресса, рассматривая проблему в переменной . принимает значение всякий раз, когда принимает значение , поэтому${\displaystyle p_{Y}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \phi ^{-1}(S)}$

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.}$

Переход от переменной к дает${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.}$

Объединение этого с нашим первым уравнением дает

${\displaystyle \int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,}$

так

${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.}$

В случае , когда и зависит от нескольких переменных некоррелированных, то есть , и , может быть найдена путем замены нескольких переменных , описанных выше. Результат${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle y=\phi (x)}$${\displaystyle p_{Y}}$

${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.}$

См. Также [ править ]

• Функция плотности вероятности
• Подстановка переменных
• Тригонометрическая замена
• Замена Вейерштрасса
• Подстановка Эйлера
• Прямая мера

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бриггс, Уильям; Кокран, Лайл (2011), Calculus / Early Transcendentals (Single Variable ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
• Ferzola, Энтони П. (1994), "Эйлер и дифференциалы" , Колледж Математика Journal , 25 (2): 102-111, DOI : 10,2307 / 2687130
• Фремлин, Д.Х. (2010), Теория меры, Том 2 , Торрес Фремлин, ISBN 978-0-9538129-7-4.
• Хьюитт, Эдвин ; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7.
• Кац, В. (1982), "Изменение переменных в кратных интегралах: Эйлер к Картанен", Математике Magazine , 55 (1): 3-11, DOI : 10.2307 / 2689856
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1.
• Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях , Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6.

Внешние ссылки [ править ]

Wikibook Исчисление есть страница по теме: Замещение Правило

В Викиверситете есть учебные ресурсы об интеграции путем замены

• Интегрирование заменой в энциклопедии математики
• Формула площади в энциклопедии математики