Теорема о среднем значении

Для любой функции, непрерывной на и дифференцируемых на существует некоторая в интервал таким образом, что секущая , соединяющая концы отрезка параллельно касательной в точке .${\ Displaystyle [а, б]}$${\ Displaystyle (а, б)}$${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle (а, б)}$${\ Displaystyle [а, б]}$${\ displaystyle c}$

В математике теорема о среднем значении утверждает, грубо говоря, что для данной плоской дуги между двумя конечными точками существует по крайней мере одна точка, в которой касательная к дуге параллельна секущей через ее конечные точки. Это один из самых важных результатов реального анализа . Эта теорема используется для доказательства утверждений о функции на интервале, исходя из локальных гипотез о производных в точках интервала.

Точнее, теорема утверждает, что если - непрерывная функция на отрезке и дифференцируемая на отрезке , то существует точка в такой, что касательная в точке c параллельна секущей линии, проходящей через концы, и , то есть,${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle [а, б]}$ ${\ Displaystyle (а, б)}$${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle (а, б)}$${\ Displaystyle (а, е (а))}$${\ Displaystyle (Ь, е (Ь))}$

${\ displaystyle f '(c) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}.}$

История [ править ]

Частный случай этой теоремы был впервые описан Парамешварой (1370–1460) из Керальской школы астрономии и математики в Индии в его комментариях к Говиндасвами и Бхаскаре II . ^[1] Ограниченная форма теоремы была доказана Мишелем Роллем в 1691 году; Результатом стало то, что теперь известно как теорема Ролля , и она была доказана только для многочленов без использования методов исчисления. Теорема о среднем значении в ее современной форме была сформулирована и доказана Огюстэном Луи Коши в 1823 году. ^[2] С тех пор было доказано множество вариантов этой теоремы.^{[3] [4]}

Официальное заявление [ править ]

Функция достигает наклона секущей между и как производная в точке .${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \xi \in (a,b)}$

Пусть - непрерывная функция на отрезке и дифференцируемая на отрезке , где . Тогда существует некоторые в таких , что${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Теорема о среднем значении является обобщением теоремы Ролля , которая предполагает , что правая часть выше равна нулю.${\displaystyle f(a)=f(b)}$

Теорема о среднем значении все еще верна в несколько более общем контексте. Нужно только предположить , что это непрерывная на , и что для каждого в на пределе${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

существует как конечное число или равно или . Если конечно, этот предел равен . Примером, в котором применяется эта версия теоремы, является отображение действительной функции кубического корня , производная которого стремится к бесконечности в начале координат.${\displaystyle \infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle x\to x^{\frac {1}{3}}}$

Обратите внимание, что теорема, как указано, неверна, если дифференцируемая функция является комплексной, а не действительной. Например, определить для всех реально . потом${\displaystyle f(x)=e^{xi}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)}$

пока по любому реально .${\displaystyle f'(x)\neq 0}$${\displaystyle x}$

Эти формальные утверждения также известны как теорема Лагранжа о среднем значении. ^[5]

Доказательство [ править ]

Выражение дает наклон линии, соединяющей точки и , которая является хордой графика , а дает наклон касательной к кривой в точке . Таким образом, теорема о среднем значении говорит, что для любой хорды гладкой кривой мы можем найти точку на кривой, лежащую между концами хорды, такую, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде. Следующее доказательство иллюстрирует эту идею.${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{(b-a)}}}$${\displaystyle (a,f(a))}$${\displaystyle (b,f(b))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle (x,f(x))}$

Определите , где - постоянная. Так как непрерывно на и дифференцируемо на , то же верно и для . Теперь мы хотим выбрать так, чтобы он удовлетворял условиям теоремы Ролля . А именно${\displaystyle g(x)=f(x)-rx}$${\displaystyle r}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g(a)=g(b)&\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\&\iff r(b-a)=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot \end{aligned}}}$

По теореме Ролля , поскольку дифференцируема и существует некоторое в, для которого , а из равенства следует, что${\displaystyle g}$${\displaystyle g(a)=g(b)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle g'(c)=0}$${\displaystyle g(x)=f(x)-rx}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\\&g'(c)=0\\&g'(c)=f'(c)-r=0\\&\Rightarrow f'(c)=r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\end{aligned}}}$

Последствия [ править ]

Теорема 1. Предположим, что f - непрерывная вещественнозначная функция, определенная на произвольном интервале I вещественной прямой. Если производная F в каждой внутренней точке интервала I существует и равен нулю, то F является постоянным в интерьере. [ редактировать ]

Доказательство. Предположим, что производная f в каждой внутренней точке интервала I существует и равна нулю. Пусть ( , б ) произвольный открытый интервал I . По теореме о среднем значении существует точка c в ( a , b ) такая, что

${\displaystyle 0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Отсюда следует, что f ( a ) = f ( b ). Таким образом, f постоянна внутри I и, следовательно, постоянна на I по непрерывности. (См. Ниже многовариантную версию этого результата.)

Примечания:

• На концах интервала I необходима только непрерывность f , а не дифференцируемость . Если I - открытый интервал , не нужно выдвигать гипотезу о непрерывности , поскольку существование производной в точке подразумевает непрерывность в этой точке. (См. Раздел " Непрерывность и дифференцируемость производной статьи" .)
• Дифференцируемость f можно ослабить до односторонней дифференцируемости , доказательство приведено в статье о полудифференцируемости .

Теорема 2: если f ' ( x ) = g' ( x ) для всех x в интервале ( a , b ) области определения этих функций, то f - g константа или f = g + c, где c - константа на ( а , б ). [ редактировать ]

Доказательство: Пусть F = f - g , тогда F '= f' - g '= 0 на интервале ( a , b ), поэтому приведенная выше теорема 1 говорит, что F = f - g является константой c или f = g + c .

Теорема 3. Если F - первообразная f на интервале I , то наиболее общая первообразная f на I - это F (x) + c, где c - константа. [ редактировать ]

Доказательство: оно непосредственно выводится из приведенной выше теоремы 2.

Теорема Коши о среднем значении [ править ]

Теорема среднего значения Кошей , также известная как теорема расширенной среднего значения , ^[6] является обобщением теоремы о среднем значении. В нем говорится: если обе функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на открытом отрезке , то существует такая , что ^[5]${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle c\in (a,b)}$

${\displaystyle (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).}$

Конечно, если и , это эквивалентно:${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$${\displaystyle g'(c)\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}$

Геометрически это означает, что существует касательная к графику кривой ^[7]

${\displaystyle {\begin{cases}[a,b]\to \mathbf {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}}$

которая параллельна линии, определяемой точками и . Однако теорема Коши не утверждает существования такой касательной во всех случаях, когда и являются различными точками, поскольку она может быть удовлетворена только для некоторого значения с , другими словами, значения, для которого упомянутая кривая является стационарной ; в таких точках вряд ли вообще будет определена касательная к кривой. Примером такой ситуации является кривая, представленная${\displaystyle (f(a),g(a))}$${\displaystyle (f(b),g(b))}$${\displaystyle (f(a),g(a))}$${\displaystyle (f(b),g(b))}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f'(c)=g'(c)=0}$

${\displaystyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2}),}$

который на интервале идет от точки к , но никогда не имеет горизонтальной касательной; однако у него есть стационарная точка (фактически куспид ) в точке .${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle (-1,0)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle t=0}$

Теорема Коши о среднем значении может быть использована для доказательства правила Лопиталя . Теорема о среднем значении является частным случаем теоремы Коши о среднем значении, когда .${\displaystyle g(t)=t}$

Доказательство теоремы Коши о среднем значении [ править ]

Доказательство теоремы Коши о среднем значении основано на той же идее, что и доказательство теоремы о среднем значении.

• Предположим . Определите , где зафиксировано таким образом, чтобы , а именно${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$${\displaystyle h(x)=f(x)-rg(x)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle h(a)=h(b)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h(a)=h(b)&\iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\\&\iff r(g(b)-g(a))=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.\end{aligned}}}$

Поскольку и непрерывны на и дифференцируемы на , то же верно и для . В общем, удовлетворяет условиям теоремы Ролля : следовательно, есть некоторые в течение которых . Теперь, используя определение, мы имеем:${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle h'(c)=0}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle 0=h'(c)=f'(c)-rg'(c)=f'(c)-\left({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\right)g'(c).}$

Следовательно:

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c),}$

откуда и следует результат. ^[5]

• Если тогда, применяя теорему Ролля к , следует, что существует в для которого . Используя этот выбор , теорема Коши о среднем значении (тривиально) верна.${\displaystyle g(a)=g(b)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle g'(c)=0}$${\displaystyle c}$

Обобщение для детерминантов [ править ]

Предположим, что и - дифференцируемые функции на , непрерывные на . Определять${\displaystyle f,g,}$${\displaystyle h}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle D(x)=\left|{\begin{array}{ccc}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{array}}\right|}$

Существует такое , что .${\displaystyle c\in (a,b)}$${\displaystyle D'(c)=0}$

Заметь

${\displaystyle D'(x)=\left|{\begin{array}{ccc}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{array}}\right|}$

а если разместить , то получим теорему Коши о среднем значении. Если мы размещаем и мы получаем теорему Лагранжа о среднем .${\displaystyle h(x)=1}$${\displaystyle h(x)=1}$${\displaystyle g(x)=x}$

Доказательство обобщения довольно просто: каждый из и является определителем с двумя идентичными строками, следовательно . Из теоремы Ролля следует, что существует такое, что .${\displaystyle D(a)}$${\displaystyle D(b)}$${\displaystyle D(a)=D(b)=0}$${\displaystyle c\in (a,b)}$${\displaystyle D'(c)=0}$

Теорема о среднем значении нескольких переменных [ править ]

Теорема о среднем значении обобщается на реальные функции нескольких переменных. Хитрость заключается в том, чтобы использовать параметризацию для создания реальной функции одной переменной, а затем применить теорему об одной переменной.

Позвольте быть открытое выпуклое подмножество , и позвольте быть дифференцируемой функцией. Зафиксируйте точки и определите . Поскольку функция является дифференцируемой от одной переменной, теорема о среднем значении дает:${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:G\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x,y\in G}$${\displaystyle g(t)=f{\Big (}(1-t)x+ty{\Big )}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(1)-g(0)=g'(c)}$

для некоторых от 0 до 1. Но поскольку и , вычисляя явно, мы имеем:${\displaystyle c}$${\displaystyle g(1)=f(y)}$${\displaystyle g(0)=f(x)}$${\displaystyle g'(c)}$

${\displaystyle f(y)-f(x)=\nabla f{\Big (}(1-c)x+cy{\Big )}\cdot (y-x)}$

где обозначает градиент и на скалярное произведение . Заметим , что это является точным аналогом теоремы в одной переменной (в случае этого является теорема одной переменной). По неравенству Коши – Шварца уравнение дает оценку:${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle {\Bigg |}f(y)-f(x){\Bigg |}\leq {\Bigg |}\nabla f{\Big (}(1-c)x+cy{\Big )}{\Bigg |}\ {\Big |}y-x{\Big |}.}$

В частности, когда частные производные ограничены, является липшицевым (и, следовательно, равномерно непрерывным ). ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

В качестве приложения вышеизложенного мы докажем, что это константа, если открыто и связно, и каждая частная производная от равна 0. Выберите некоторую точку и пусть . Мы хотим показать каждому . Для этого пусть . Тогда E замкнуто и непусто. Он тоже открыт: для всех ,${\displaystyle f}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}\in G}$${\displaystyle g(x)=f(x)-f(x_{0})}$${\displaystyle g(x)=0}$${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle E=\{x\in G:g(x)=0\}}$${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle {\Big |}g(y){\Big |}={\Bigg |}g(y)-g(x){\Bigg |}\leq (0){\Big |}y-x{\Big |}=0}$

для каждого в некотором районе . (Здесь важно, чтобы и были достаточно близки друг к другу.) Поскольку связан, мы делаем вывод .${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle E=G}$

Вышеупомянутые аргументы сделаны безкоординатным способом; следовательно, они обобщаются на случай, когда является подмножеством банахова пространства.${\displaystyle G}$

Теорема о среднем значении для векторных функций [ править ]

Точного аналога теоремы о среднем для векторных функций не существует.

В « Принципах математического анализа» Рудин приводит неравенство, которое можно применить ко многим из тех же ситуаций, к которым применима теорема о среднем значении в одномерном случае: ^[8]

Теорема. Для непрерывной вектор-функции, дифференцируемой на , существует такая, что .${\displaystyle \mathbf {f} :[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle x\in (a,b)}$${\displaystyle |\mathbf {f} '(x)|\geq {\frac {1}{b-a}}|\mathbf {f} (b)-\mathbf {f} (a)|}$

Жан Дьедонне в своем классическом трактате « Основы современного анализа» отвергает теорему о среднем значении и заменяет ее неравенством среднего значения, поскольку доказательство неконструктивно, и нельзя найти среднее значение, а в приложениях требуется только неравенство среднего значения. Серж Ланг в « Анализе I» использует теорему о среднем значении в интегральной форме в качестве мгновенного рефлекса, но это использование требует непрерывности производной. Если использовать интеграл Хенстока – Курцвейла, можно получить теорему о среднем значении в интегральной форме без дополнительного предположения, что производная должна быть непрерывной, поскольку каждая производная интегрируема по Хенстоку – Курцвейлу. Проблема, грубо говоря, в следующем: если f  : U→ R ^m - дифференцируемая функция (где U ⊂ R ⁿ открыто), и если x + th , x, h ∈ R ⁿ , t ∈ [0, 1] - рассматриваемый отрезок прямой (лежащий внутри U ), то один можно применить описанную выше процедуру параметризации к каждой из компонентных функций f _i ( i = 1, ..., m ) функции f (в приведенных выше обозначениях установить y = x + h ). При этом находят точки x + t_i h на отрезке, удовлетворяющем

${\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t_{i}h)\cdot h.}$

Но, как правило, не будет ни одной точки x + t * h на отрезке прямой, удовлетворяющей

${\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t^{*}h)\cdot h.}$

для всех i одновременно . Например, определите:

${\displaystyle {\begin{cases}f:[0,2\pi ]\to \mathbf {R} ^{2}\\f(x)=(\cos(x),\sin(x))\end{cases}}}$

Тогда , но и никогда одновременно не равны нулю, поскольку диапазоны превышают .${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=\mathbf {0} \in \mathbf {R} ^{2}}$${\displaystyle f_{1}'(x)=-\sin(x)}$${\displaystyle f_{2}'(x)=\cos(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \left[0,2\pi \right]}$

Однако определенный тип обобщения теоремы о среднем на вектор-функции получается следующим образом: пусть f - непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция, определенная на открытом интервале I , и пусть x, а также x + h - точки Я . Теорема о среднем значении для одной переменной говорит нам, что существует некоторое t * между 0 и 1, такое что

${\displaystyle f(x+h)-f(x)=f'(x+t^{*}h)\cdot h.}$

С другой стороны, согласно основной теореме исчисления с последующей заменой переменных,

${\displaystyle f(x+h)-f(x)=\int _{x}^{x+h}f'(u)\,du=\left(\int _{0}^{1}f'(x+th)\,dt\right)\cdot h.}$

Таким образом, значение f ′ ( x + t * h ) в конкретной точке t * было заменено средним значением

${\displaystyle \int _{0}^{1}f'(x+th)\,dt.}$

Эту последнюю версию можно обобщить на векторные функции:

Лемма 1. Пусть U ⊂ R ^п быть открытым, F  : U → R ^м непрерывно дифференцируема, и х ∈ U , ч ∈ R ^п векторов , таких , что отрезок х + е , 0 ≤ т ≤ 1 остается в U . Тогда у нас есть:

${\displaystyle f(x+h)-f(x)=\left(\int _{0}^{1}Df(x+th)\,dt\right)\cdot h,}$

где Df обозначает матрицу Якоби функции f, а интеграл матрицы следует понимать покомпонентно.

Доказательство. Обозначим через f ₁ , ..., f _m компоненты f и определим:

${\displaystyle {\begin{cases}g_{i}:[0,1]\to \mathbf {R} \\g_{i}(t)=f_{i}(x+th)\end{cases}}}$

Тогда у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=g_{i}(1)-g_{i}(0)=\int _{0}^{1}g_{i}'(t)\,dt\\={}&\int _{0}^{1}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x+th)h_{j}\right)\,dt=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x+th)\,dt\right)h_{j}.\end{aligned}}}$

Утверждение следует из того, что Df - это матрица, состоящая из компонентов${\displaystyle {\tfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}.}$

Лемма 2. Пусть v  : [ , Ь ] → R ^м непрерывная функция , определенная на отрезке [ с , Ь ] ⊂ R . Тогда у нас есть

${\displaystyle \left\|\int _{a}^{b}v(t)\,dt\right\|\leqslant \int _{a}^{b}\|v(t)\|\,dt.}$

Доказательство. Обозначим через u в R ^m значение интеграла

${\displaystyle u:=\int _{a}^{b}v(t)\,dt.}$

Теперь имеем (используя неравенство Коши – Шварца ):

${\displaystyle \|u\|^{2}=\langle u,u\rangle =\left\langle \int _{a}^{b}v(t)\,dt,u\right\rangle =\int _{a}^{b}\langle v(t),u\rangle \,dt\leqslant \int _{a}^{b}\|v(t)\|\cdot \|u\|\,dt=\|u\|\int _{a}^{b}\|v(t)\|\,dt}$

Теперь сокращение нормы u с обоих концов дает желаемое неравенство.

Неравенство средних значений. Если норма Df ( x + th ) ограничена некоторой константой M для t в [0, 1], то

${\displaystyle \|f(x+h)-f(x)\|\leqslant M\|h\|.}$

Доказательство. Из леммы 1 и 2 следует, что

${\displaystyle \|f(x+h)-f(x)\|=\left\|\int _{0}^{1}(Df(x+th)\cdot h)\,dt\right\|\leqslant \int _{0}^{1}\|Df(x+th)\|\cdot \|h\|\,dt\leqslant M\|h\|.}$

Теоремы о среднем значении для определенных интегралов [ править ]

Первая теорема о среднем значении для определенных интегралов [ править ]

Пусть f  : [ a , b ] → R - непрерывная функция. Тогда существует c в [ a , b ] такое, что

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a).}$

Поскольку среднее значение f на [ a , b ] определяется как

${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$

мы можем интерпретировать вывод как f достигает своего среднего значения при некотором c в ( a , b ). ^[10]

В общем случае, если f  : [ a , b ] → R непрерывна и g - интегрируемая функция, не меняющая знака на [ a , b ], то существует c в ( a , b ) такое, что

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Доказательство первой теоремы о среднем значении для определенных интегралов [ править ]

Предположим, что f  : [ a , b ] → R непрерывна, а g - неотрицательная интегрируемая функция на [ a , b ]. По теореме об экстремальном значении существуют такие m и M , что для каждого x из [ a , b ] и . Поскольку g неотрицательна,${\displaystyle m\leqslant f(x)\leqslant M}$${\displaystyle f[a,b]=[m,M]}$

${\displaystyle m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leqslant \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leqslant M\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Теперь позвольте

${\displaystyle I=\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Если мы закончили с${\displaystyle I=0}$

${\displaystyle 0\leqslant \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leqslant 0}$

средства

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=0,}$

поэтому для любого c в ( a , b ),

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)I=0.}$

Если I ≠ 0, то

${\displaystyle m\leqslant {\frac {1}{I}}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leqslant M.}$

По теореме промежуточного значения , F достигает каждое значение интервала [ т , М ], так что в течение некоторого с в [ , Ь ]

${\displaystyle f(c)={\frac {1}{I}}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx,}$

то есть,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Наконец, если g отрицательна на [ a , b ], то

${\displaystyle M\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leqslant \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leqslant m\int _{a}^{b}g(x)\,dx,}$

и мы по-прежнему получаем тот же результат, что и выше.

QED

Вторая теорема о среднем значении для определенных интегралов [ править ]

Существуют несколько различных теорем, которые называются второй теоремой о среднем значении для определенных интегралов . Обычно встречается следующая версия:

Если G  : [ a , b ] → R - положительная монотонно убывающая функция, а φ: [ a , b ] → R - интегрируемая функция, то существует число x в ( a , b ] такое, что

${\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt.}$

Здесь стоит символ , наличие которого следует из условий. Обратите внимание, что очень важно, чтобы интервал ( a , b ] содержал b . Вариант, не имеющий этого требования: ^[11]${\displaystyle G(a^{+})}$${\displaystyle {\lim _{x\to a^{+}}G(x)}}$

Если G  : [ a , b ] → R - монотонная (не обязательно убывающая и положительная) функция, а φ: [ a , b ] → R - интегрируемая функция, то существует такое число x в ( a , b ), что

${\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt+G(b^{-})\int _{x}^{b}\varphi (t)\,dt.}$

Теорема о среднем значении для интегрирования не работает для векторных функций [ править ]

Если функция возвращает многомерный вектор, тогда MVT для интегрирования неверен, даже если область значений также является многомерной.${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Например, рассмотрим следующую двумерную функцию, определенную на -мерном кубе:${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{cases}G:[0,2\pi ]^{n}\to \mathbb {R} ^{2}\\G(x_{1},\cdots ,x_{n})=\left(\sin(x_{1}+\cdots +x_{n}),\cos(x_{1}+\cdots +x_{n})\right)\end{cases}}}$

Тогда по симметрии легко увидеть, что среднее значение по области его определения равно (0,0):${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int _{[0,2\pi ]^{n}}G(x_{1},\cdots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}=(0,0)}$

Впрочем, нет никакого смысла , потому что везде.${\displaystyle G=(0,0)}$${\displaystyle |G|=1}$

Вероятностный аналог теоремы о среднем [ править ]

Пусть X и Y - неотрицательные случайные величины такие, что E [ X ] <E [ Y ] <∞ и (т.е. X меньше Y в обычном стохастическом порядке ). Тогда существует абсолютно непрерывная неотрицательная случайная величина Z, имеющая функцию плотности вероятности${\displaystyle X\leqslant _{st}Y}$

${\displaystyle f_{Z}(x)={\Pr(Y>x)-\Pr(X>x) \over {\rm {E}}[Y]-{\rm {E}}[X]}\,,\qquad x\geqslant 0.}$

Пусть g - измеримая и дифференцируемая функция такая, что E [ g ( X )], E [ g ( Y )] <∞, и пусть ее производная g ′ измерима и интегрируема по Риману на интервале [ x , y ] для всех y ≥ x ≥ 0. Тогда E [ g ′ ( Z )] конечно и ^[12]

${\displaystyle {\rm {E}}[g(Y)]-{\rm {E}}[g(X)]={\rm {E}}[g'(Z)]\,[{\rm {E}}(Y)-{\rm {E}}(X)].}$

Обобщение в комплексном анализе [ править ]

Как отмечалось выше, теорема не верна для дифференцируемых комплекснозначных функций. Вместо этого формулируется такое обобщение теоремы: ^[13]

Пусть f  : Ω → C - голоморфная функция на открытом выпуклом множестве Ω, и пусть a и b - различные точки в Ω. Тогда существуют точки u , v на L _ab (отрезок от a до b ) такие, что

${\displaystyle \mathrm {Re} (f'(u))=\mathrm {Re} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right),}$

${\displaystyle \mathrm {Im} (f'(v))=\mathrm {Im} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right).}$

Где Re () - действительная часть, а Im () - мнимая часть комплексной функции.

См. Также [ править ]

• Метод ньюмарк-бета
• Теорема о среднем значении (разделенные разности)
• Принцип ипподрома
• Столярского

Примечания [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Теорема Коши" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• PlanetMath: Теорема о среднем значении
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о среднем значении» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Коши о среднем значении" . MathWorld .
• «Теорема о среднем значении: интуиция, лежащая в основе теоремы о среднем значении» в Академии Хана