Замена Вейерштрасса

В интегральном исчислении , то замена Вейерштрасса или касательный половинный угол замена представляет собой способ для оценки интегралов , который преобразует рациональную функцию от тригонометрических функций от в обычную рациональную функцию путем установкой . ^{[1] [2]} Никакая общность не теряется, если мы принимаем их за рациональные функции синуса и косинуса. Общая формула преобразования:${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle т = \ загар (х / 2)}$

${\ displaystyle \ int е (\ sin (x), \ cos (x)) \, dx = \ int {\ frac {2} {1 + t ^ {2}}} f \ left ({\ frac {2t } {1 + t ^ {2}}}, {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} \ right) \, dt.}$

Он назван в честь Карла Вейерштрасса (1815–1897) ^{[3] [4] [5],} хотя его можно найти в книге Леонарда Эйлера 1768 года. ^[6] Майкл Спивак писал, что этот метод был «самой хитрой заменой». в мире. ^[7]

Подстановка [ править ]

Начиная с рациональной функции синусов и косинусов, одна заменяет и с рациональными функциями переменной  и относится дифференциалы и следующим образом .${\ Displaystyle \ грех х}$${\ Displaystyle \ соз х}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle dx}$${\ displaystyle dt}$

Пусть , где . Тогда ^{[1] [8]}${\ Displaystyle т = \ загар (х / 2)}$${\ Displaystyle - \ пи <х <\ пи}$

${\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) = {\ frac {t} {\ sqrt {1 + t ^ {2}}}} \ qquad {\ text {и} } \ qquad \ cos \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + t ^ {2}}}}.}.$

Следовательно,

${\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\qquad {\text{and}}\qquad dx={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt.}$

Вывод формул [ править ]

По двойным угловым формулам ,

${\displaystyle \sin x=2\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\cos \left({\frac {x}{2}}\right)=2\cdot {\frac {t}{\sqrt {t^{2}+1}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {t^{2}+1}}}={\frac {2t}{t^{2}+1}},}$

и

${\displaystyle \cos x=2\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)-1={\frac {2}{t^{2}+1}}-1={\frac {2-(t^{2}+1)}{t^{2}+1}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.}$

Наконец, поскольку ,${\displaystyle t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right)}$

${\displaystyle dt={\frac {1}{2}}\sec ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)dx={\frac {dx}{2\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {dx}{2\cdot {\frac {1}{t^{2}+1}}}}\qquad \Rightarrow \qquad dx={\frac {2}{t^{2}+1}}dt.}$

Примеры [ править ]

Первый пример: интеграл косеканса [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {dx}{\sin x}}\\[6pt]&=\int \left({\frac {1+t^{2}}{2t}}\right)\left({\frac {2}{1+t^{2}}}\right)dt&&t=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {dt}{t}}\\[6pt]&=\ln |t|+C\\[6pt]&=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C.\end{aligned}}}$

Мы можем подтвердить приведенный выше результат, используя стандартный метод вычисления интеграла косеканса, умножив числитель и знаменатель на и выполнив следующие замены в полученном выражении: и . Эта замена может быть получена из разности производных косеканса и котангенса, у которых косеканс является общим множителем.${\displaystyle \csc x-\cot x}$${\displaystyle u=\csc x-\cot x}$${\displaystyle du=(-\csc x\cot x+\csc ^{2}x)\,dx}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {\csc x(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}}\,dx\\[6pt]&=\int {\frac {(\csc ^{2}x-\csc x\cot x)\,dx}{\csc x-\cot x}}&&u=\csc x-\cot x\\[6pt]&=\int {\frac {du}{u}}&&du=(-\csc x\cot x+\csc ^{2}x)\,dx\\[6pt]&=\ln |u|+C=\ln |\csc x-\cot x|+C.\end{aligned}}}$

Теперь формулы половинного угла для синусов и косинусов имеют вид

${\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\quad {\text{and}}\quad \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}.}$

Они дают

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C=\ln {\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {{\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}\cdot {\frac {1-\cos x}{1-\cos x}}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {\frac {(1-\cos x)^{2}}{\sin ^{2}x}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {\left({\frac {1-\cos x}{\sin x}}\right)^{2}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {\left({\frac {1}{\sin x}}-{\frac {\cos x}{\sin x}}\right)^{2}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {(\csc x-\cot x)^{2}}}+C=\ln \left|\csc x-\cot x\right|+C,\end{aligned}}}$

так что два ответа эквивалентны. Выражение

${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{\sin x}}}$

является касательным половинным углом формулы . Секущий интеграл может быть оценен аналогичным образом.

Второй пример: определенный интеграл [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}+\int _{\pi }^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}+\int _{-\infty }^{0}{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}&t&=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {du}{1+u^{2}}}&t&=u{\sqrt {3}}\\[6pt]&={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}.\end{aligned}}}$

В первой строке нельзя просто заменить оба предела интегрирования . Необходимо учитывать особенность (в данном случае вертикальную асимптоту ) at . В качестве альтернативы, сначала оцените неопределенный интеграл, а затем примените граничные значения.${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}}$${\displaystyle x=\pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int {\frac {1}{2+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}{\frac {2\,dt}{t^{2}+1}}&&t=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {2\,dt}{2(t^{2}+1)+(1-t^{2})}}=\int {\frac {2\,dt}{t^{2}+3}}\\[6pt]&={\frac {2}{3}}\int {\frac {dt}{\left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right)^{2}+1}}&&u={\frac {t}{\sqrt {3}}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int {\frac {du}{u^{2}+1}}&&\tan \theta =u\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int \cos ^{2}\theta \sec ^{2}\theta \,d\theta ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int d\theta \\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\theta +C={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan \left[{\frac {\tan(x/2)}{\sqrt {3}}}\right]+C.\end{aligned}}}$

По симметрии

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=2\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}=\lim _{b\rightarrow \pi }{\frac {4}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {\tan x/2}{\sqrt {3}}}\right){\Biggl |}_{0}^{b}\\[6pt]&={\frac {4}{\sqrt {3}}}{\Biggl [}\lim _{b\rightarrow \pi }\arctan \left({\frac {\tan b/2}{\sqrt {3}}}\right)-\arctan(0){\Biggl ]}={\frac {4}{\sqrt {3}}}\left({\frac {\pi }{2}}-0\right)={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}},\end{aligned}}}$

что совпадает с предыдущим ответом.

Третий пример: синус и косинус [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{a\cos x+b\sin x+c}}&=\int {\frac {2dt}{a(1-t^{2})+2bt+c(t^{2}+1)}}\\[6pt]&=\int {\frac {2dt}{(c-a)t^{2}+2bt+a+c}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}}}\arctan {\frac {(c-a)\tan {\frac {x}{2}}+b}{\sqrt {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}}}+C\end{aligned}}}$

Если ${\displaystyle 4E=4(c-a)(c+a)-(2b)^{2}=4(c^{2}-(a^{2}+b^{2}))>0.}$

Геометрия [ править ]

По мере изменения x точка (cos  x , sin  x ) многократно наматывается вокруг единичной окружности с центром в точке (0, 0). Смысл

${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

проходит только один раз по окружности, когда t идет от −∞ до + ∞, и никогда не достигает точки (−1, 0), к которой приближается как предел, когда t приближается к ± ∞. Когда t изменяется от −∞ до −1, точка, определяемая t, проходит через часть круга в третьем квадранте от (−1, 0) до (0, −1). Когда t изменяется от -1 до 0, точка следует за частью круга в четвертом квадранте от (0, -1) до (1, 0). Когда t изменяется от 0 до 1, точка следует за частью круга в первом квадранте от (1, 0) до (0, 1). Наконец, когда t изменяется от 1 до + ∞, точка следует за частью круга во втором квадранте от (0, 1) до (−1, 0).

Вот еще одна геометрическая точка зрения. Нарисуйте единичный круг, и пусть P будет точкой (−1, 0) . Прямая, проходящая через точку P (кроме вертикальной), определяется ее наклоном. Кроме того, каждая из линий (кроме вертикальной линии) пересекает единичную окружность ровно в двух точках, одна из которых Р . Это определяет функцию от точек на единичной окружности до уклонов. Тригонометрические функции определяют функцию от углов до точек на единичной окружности, и, комбинируя эти две функции, мы получаем функцию от углов до наклонов.

Галерея [ править ]

• (1/2) Подстановка Вейерштрасса связывает угол с наклоном прямой.

• (2/2) Замена Вейерштрасса, проиллюстрированная стереографической проекцией круга.

Гиперболические функции [ править ]

Как и в случае других свойств, общих для тригонометрических функций и гиперболических функций, можно использовать гиперболические тождества для построения аналогичной формы подстановки:

${\displaystyle \sinh x={\frac {2t}{1-t^{2}}},\qquad \cosh x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\qquad \tanh x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\qquad {\text{and}}\qquad dx={\frac {2}{1-t^{2}}}\,dt.}$

См. Также [ править ]

• Рациональная кривая
• Стереографическая проекция
• Формула касательного полуугла
• Тригонометрическая замена
• Подстановка Эйлера

Дальнейшее чтение [ править ]

• Эдвардс, Джозеф (1921). «Глава VI». Трактат по интегральному исчислению с приложениями, примерами и проблемами . Лондон: Macmillan and Co, Ltd.

Примечания и ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Формулы подстановки Вейерштрасса в PlanetMath