Общее правило Лейбница

В исчислении , то общее правило Лейбница , ^[1] назван в честь Лейбниц , обобщает правило продукта (который также известен как «правило Лейбница»). В нем говорится, что если и являются дифференцируемыми в разы функциями , то произведение также дифференцируемо в раз и его производная определяется как${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle fg}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle (fg) ^ {(n)} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ choose k} f ^ {(nk)} g ^ {(k)},}$

где - биномиальный коэффициент и обозначает j- ю производную f (и в частности ).${\ displaystyle {n \ select k} = {n! \ над k! (nk)!}}$${\ displaystyle f ^ {(j)}}$${\ displaystyle f ^ {(0)} = f}$

Правило может быть доказано с помощью правила произведения и математической индукции .

Вторая производная [ править ]

Если, например, n = 2 , правило дает выражение для второй производной произведения двух функций:

${\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).}$

Более двух факторов [ править ]

Формула может быть обобщена на произведение m дифференцируемых функций f ₁ , ..., f _m .

${\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,}$

где сумма распространяется на все m -наборы ( k ₁ , ..., k _m ) неотрицательных целых чисел с и${\displaystyle \sum _{t=1}^{m}k_{t}=n,}$

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$

- полиномиальные коэффициенты . Это похоже на полиномиальную формулу из алгебры.

Доказательство [ править ]

Доказательство общего правила Лейбница проводится по индукции. Пусть и be- раз дифференцируемые функции. Базовый случай, когда утверждается, что:${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg',}$

Это обычное правило продукта, которое, как известно, верно. Далее предположим, что утверждение верно для фиксированного, т. Е. Что${\displaystyle n\geq 1,}$

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.}$

Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}fg^{(n+1)}\\&=f^{(n+1)}g+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+fg^{(n+1)}\\&=f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+fg^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}}$

Итак, утверждение верно, и доказательство завершено.${\displaystyle n+1,}$

Многопараметрическое исчисление [ править ]

С многоиндексной записью для частных производных функций нескольких переменных правило Лейбница утверждает в более общем виде:

${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).}$

Эту формулу можно использовать для вывода формулы, которая вычисляет символ композиции дифференциальных операторов. Фактически, пусть P и Q - дифференциальные операторы (с коэффициентами, которые дифференцируются достаточно много раз) и поскольку R также является дифференциальным оператором, символ R задается следующим образом:${\displaystyle R=P\circ Q.}$

${\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).}$

Теперь прямое вычисление дает:

${\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).}$

Эта формула обычно известна как формула Лейбница. Он используется для определения композиции в пространстве символов, тем самым вызывая кольцевую структуру.

См. Также [ править ]

• Биномиальная теорема
• Вывод (дифференциальная алгебра)
• Производная
• Дифференциальная алгебра
• Треугольник Паскаля

Ссылки [ править ]