Исчисление

Исчисление , первоначально называвшееся исчислением бесконечно малых или «исчислением бесконечно малых », является математическим исследованием непрерывных изменений, точно так же, как геометрия изучает форму, а алгебра изучает обобщения арифметических операций .

Он состоит из двух основных разделов: дифференциального исчисления и интегрального исчисления ; первое касается мгновенных скоростей изменения и наклона кривых, тогда как интегральное исчисление касается накопления величин и площадей под кривыми или между ними. Эти две ветви связаны друг с другом с помощью основной теоремы исчисления , и они используют фундаментальные представления о сходимости из бесконечных последовательностей и бесконечных рядов с четко определенным пределом . ^[1]

Исчисление бесконечно малых независимо разработали в конце 17 века Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц . ^{[2] [3]} Сегодня исчисление широко используется в науке , технике и экономике . ^[4]

В математическом образовании , исчисление означает курсы элементарного математического анализа , которые в основном посвящены изучению функций и пределов. Слово исчисление (множественное число исчислений ) - это латинское слово, первоначально означающее «камешек» (это значение сохраняется в медицине - см. Исчисление (медицина) ). Поскольку такие камешки использовались для расчетов, значение этого слова изменилось и сегодня обычно означает метод расчета. Поэтому используются для обозначения методов конкретных расчета и связанных с ними теориями, такими как исчисление , Риччами исчисления ,вариационное исчисление , лямбда-исчисление и исчисление процессов .

История

Современное исчисление было разработано в Европе 17-го века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (независимо друг от друга, первые публикации были опубликованы примерно в то же время), но его элементы появились в Древней Греции, затем в Китае и на Ближнем Востоке, а еще позже. в средневековой Европе и в Индии.

Древний

Древний период представил некоторые идеи, которые привели к интегральному исчислению, но, похоже, не развил эти идеи строго и систематически. Вычисления объема и площади - одна из целей интегрального исчисления - можно найти в египетском московском папирусе ( 13-я династия , ок.  1820 г.  до н . Э.); но формулы представляют собой простые инструкции без указания метода, а в некоторых из них отсутствуют основные компоненты. ^[5]

С возраста греческой математики , Евдокс ( с.  408-355  до н.э.) использовал метод исчерпывания , который предвосхищает понятие предела для вычисления площадей и объемов, в то время как Архимед ( с.  287-212  до н.э.) дальнейшее развитие этой идеи , изобретая эвристики, напоминающие методы интегрального исчисления. ^[6]

Метод истощения позже был обнаружен независимо в Китае от Лю Хуэй в 3 веке нашей эры, чтобы найти площадь круга. ^[7] В V веке нашей эры Зу Гэнчжи , сын Цзу Чунчжи , разработал метод ^{[8] [9]} , который позже будет назван принципом Кавальери для определения объема сферы .

Средневековый

На Ближнем Востоке Хасан ибн аль-Хайтам, латинизированный как Альхазен ( ок.  965  - ок.  1040 г.  н . Э.), Вывел формулу для суммы четвертых степеней . Он использовал результаты для выполнения того, что теперь будет называться интегрированием этой функции, где формулы для сумм интегральных квадратов и четвертых степеней позволили ему вычислить объем параболоида . ^[10]

В XIV веке индийские математики предложили нестрогий метод, похожий на дифференцирование, применимый к некоторым тригонометрическим функциям. Таким образом, Мадхава Сангамаграмы и Керальская школа астрономии и математики заявили о компонентах исчисления. Полная теория, охватывающая эти компоненты, теперь хорошо известна в западном мире как приближения рядов Тейлора или бесконечных рядов . ^[11] Однако они не смогли «объединить множество различных идей в рамках двух объединяющих тем - производной и интеграла , показать связь между ними и превратить исчисление в великий инструмент решения проблем, который у нас есть сегодня».^[10]

Современное

В Европе основной работой был трактат, написанный Бонавентурой Кавальери , который утверждал, что объемы и площади следует вычислять как суммы объемов и площадей бесконечно тонких поперечных сечений. Идеи были схожи с идеями Архимеда в «Методе» , но считается, что этот трактат был утерян в 13 веке и был вновь открыт только в начале 20 века, и поэтому был неизвестен Кавальери. Работа Кавальери не пользовалась большим уважением, поскольку его методы могли приводить к ошибочным результатам, а введенные им бесконечно малые величины поначалу вызывали дурную репутацию.

Формальное изучение исчисления объединило бесконечно малые Кавальери с исчислением конечных разностей, разработанным в Европе примерно в то же время. Пьер де Ферма , утверждая, что он заимствовал у Диофанта , ввел понятие адекватности , которое представляло равенство с точностью до бесконечно малой погрешности. ^[13] Комбинация была достигнута Джоном Уоллисом , Исааком Барроу и Джеймсом Грегори , последние два доказали вторую фундаментальную теорему исчисления около 1670 года.

Правило продукта и цепь правило , ^[14] понятие высшего производных и ряд Тейлора , ^[15] и аналитических функции ^{[ править ]} были использованы Исааком Ньютон в особенных обозначениях , которые он применяется для решения задач математической физики. В своих работах Ньютон перефразировал свои идеи в соответствии с математической идиомой того времени, заменив вычисления бесконечно малыми эквивалентными геометрическими аргументами, которые считались безупречными. Он использовал методы исчисления для решения проблемы движения планет, формы поверхности вращающейся жидкости, сжатия земли, движения груза, скользящего по циклоиде , и многих других проблем, обсуждаемых в его Principia Mathematica ( 1687). В другой работе он разработал разложения в ряд для функций, включая дробные и иррациональные степени, и было ясно, что он понимает принципы ряда Тейлора . Он не опубликовал все эти открытия, и в то время методы бесконечно малых величин все еще считались сомнительными.

Эти идеи были преобразованы в истинное исчисление бесконечно малых Готфридом Вильгельмом Лейбницем , которого Ньютон первоначально обвинил в плагиате . ^[16] Сейчас он считается независимым изобретателем и участником математического анализа. Его вклад в том, чтобы обеспечить четкий набор правил для работы с бесконечно малыми величинами, что позволяет вычисление второго и более высоких производных, а также предоставление правил продукта и цепи правило , в их дифференциальных и интегральных формах. В отличие от Ньютона, Лейбниц уделял много внимания формализму, часто целыми днями определяя соответствующие символы для понятий.

Сегодня Лейбниц и Ньютон, как правило, считают, что они независимо друг от друга изобрели и разработали исчисление. Ньютон был первым, кто применил исчисление к общей физике, и Лейбниц разработал большую часть обозначений, используемых сегодня в исчислении. Основные идеи, которые дали и Ньютон, и Лейбниц, касались законов дифференцирования и интегрирования, вторых и высших производных, а также понятия аппроксимирующего полиномиального ряда. Ко времени Ньютона основная теорема исчисления была известна.

Когда Ньютон и Лейбниц впервые опубликовали свои результаты, возникли большие разногласия по поводу того, какой математик (и, следовательно, какая страна) заслуживает похвалы. Первым получил свои результаты Ньютон (позже они будут опубликованы в его « Методе колебаний» ), но Лейбниц первым опубликовал свой « Новый метод про максимисы и минимумы ». Ньютон утверждал, что Лейбниц украл идеи из его неопубликованных заметок, которыми Ньютон поделился с несколькими членами Королевского общества . Этот спор на многие годы отделял англоязычных математиков от математиков континентальной Европы в ущерб английской математике. ^{[ необходима цитата ]}Тщательное изучение работ Лейбница и Ньютона показывает, что они пришли к своим результатам независимо: Лейбниц начал сначала с интегрирования, а Ньютон - с дифференцирования. Однако именно Лейбниц дал название новой дисциплине. Ньютон назвал свое исчисление « наукой о флюксиях ».

Со времен Лейбница и Ньютона многие математики внесли свой вклад в непрерывное развитие математического анализа. Одна из первых и наиболее полных работ как по исчислению бесконечно малых, так и по интегральному исчислению была написана в 1748 году Марией Гаэтаной Агнеси . ^{[17] [18]}

Фонды

В математическом анализе под основанием понимается строгое развитие предмета на основе аксиом и определений. В раннем исчислении использование бесконечно малых величин считалось нестрогим и яростно критиковалось рядом авторов, в первую очередь Мишелем Роллем и епископом Беркли . Известно, что Беркли описал бесконечно малые величины как призраки ушедших величин в своей книге «Аналитик» в 1734 году. Разработка строгого фундамента для вычислений занимала математиков большую часть столетия после Ньютона и Лейбница и до сих пор в некоторой степени остается активной областью исследований.

Несколько математиков, в том числе Маклорен , пытались доказать правильность использования бесконечно малых величин, но только через 150 лет, когда благодаря работам Коши и Вейерштрасса , наконец, был найден способ избежать простых «представлений» о бесконечно малых величинах. . ^[19] Заложены основы дифференциального и интегрального исчисления. В « Cours d'Analyse» Коши мы находим широкий спектр основополагающих подходов, включая определение непрерывности в терминах бесконечно малых величин и (несколько неточный) прототип (ε, δ) -определения предела в определении дифференцирования. ^[20]В своей работе Вейерштрасс формализовал понятие предела и исключил бесконечно малые (хотя его определение действительно может подтвердить нильквадратные бесконечно малые величины ). После работ Вейерштрасса в конечном итоге стало обычным основывать исчисление на пределах, а не на бесконечно малых величинах, хотя этот предмет до сих пор иногда называют «исчислением бесконечно малых». Бернхард Риман использовал эти идеи, чтобы дать точное определение интеграла. Также в этот период идеи исчисления были обобщены на евклидово пространство и комплексную плоскость .

В современной математике основы исчисления входят в область реального анализа , которая содержит полные определения и доказательства теорем исчисления. Досягаемость исчисления также значительно расширилась. Анри Лебег изобрел теорию меры и использовал ее для определения интегралов всех функций, кроме самых патологических . Лоран Шварц ввел распределения , которые можно использовать для получения производной от любой функции.

Пределы - не единственный строгий подход к основам исчисления. Другой способ заключается в использовании Abraham Robinson «s нестандартный анализ . Подход Робинсона, разработанный в 1960-х годах, использует технический аппарат математической логики для дополнения действительной системы счисления бесконечно малыми и бесконечными числами, как в исходной концепции Ньютона-Лейбница. Полученные числа называются гиперреалистичными числами , и их можно использовать, чтобы дать Лейбницевское развитие обычных правил исчисления. Существует также гладкий анализ бесконечно малых , который отличается от нестандартного анализа тем, что требует пренебрежения бесконечно малыми величинами более высокой степени при выводе.

Значимость

Хотя многие идеи исчисления были развиты ранее в Греции , Китае , Индии , Ираке, Персии и Японии , использование исчисления началось в Европе в 17 веке, когда Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц опирались на работы раньше математики познакомили с его основными принципами. Развитие математического анализа было основано на более ранних концепциях мгновенного движения и площади под кривыми.

Приложения дифференциального исчисления включают вычисления, включающие скорость и ускорение , наклон кривой и оптимизацию . Приложения интегрального исчисления включают вычисления площади, объема , длины дуги , центра масс , работы и давления . Более сложные приложения включают степенные ряды и ряды Фурье .

Исчисление также используется для более точного понимания природы пространства, времени и движения. На протяжении веков математики и философы боролись с парадоксами, связанными с делением на ноль или суммой бесконечного числа чисел. Эти вопросы возникают при изучении движения и площади. Древнегреческий философ Зенон Элейского дал несколько известных примеров таких парадоксов . Исчисление предоставляет инструменты, особенно предел и бесконечный ряд , которые разрешают парадоксы.

Принципы

Пределы и бесконечно малые

Исчисление обычно развивается при работе с очень небольшими количествами. Исторически первым способом это сделать было бесконечно малым . Это объекты, которые можно рассматривать как действительные числа, но которые в некотором смысле «бесконечно малы». Например, бесконечно малое число может быть больше 0, но меньше любого числа в последовательности 1, 1/2, 1/3, ... и, следовательно, меньше любого положительного действительного числа . С этой точки зрения исчисление представляет собой совокупность методов манипулирования бесконечно малыми величинами. Символы и считались бесконечно малыми, а производная была просто их соотношением.${\ displaystyle dx}$${\ displaystyle dy}$${\ displaystyle dy / dx}$

Бесконечно малый подход потерял популярность в XIX веке, потому что было трудно сделать понятие бесконечно малым точным. Однако эта концепция была возрождена в 20 веке с введением нестандартного анализа и гладкого анализа бесконечно малых , которые обеспечили прочную основу для манипулирования бесконечно малыми.

В конце 19 века бесконечно малые были заменены в академических кругах эпсилон, дельта- подходом к пределам . Пределы описывают значение функции на определенном входе в терминах ее значений на соседних входах. Они фиксируют мелкомасштабное поведение в контексте действительной системы счисления . В этом лечении исчисление представляет собой набор методов для управления определенными пределами. Бесконечно малые числа заменяются очень малыми числами, а бесконечно малое поведение функции обнаруживается путем принятия предельного поведения для все меньших и меньших чисел. Считалось, что пределы обеспечивают более строгую основу для исчисления, и по этой причине они стали стандартным подходом в двадцатом веке.

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление - это изучение определения, свойств и приложений производной функции. Процесс нахождения производной называется дифференцированием . Для данной функции и точки в области производная в этой точке является способом кодирования мелкомасштабного поведения функции вблизи этой точки. Находя производную функции в каждой точке ее области определения, можно создать новую функцию, которая называется производной функцией или просто производной исходной функции. Формально производная - это линейный операторкоторый принимает функцию на входе и производит вторую функцию на выходе. Это более абстрактно, чем многие процессы, изучаемые в элементарной алгебре, где функции обычно вводят число и выводят другое число. Например, если функции удвоения дан вход три, то она выдает шесть, а если функция возведения в квадрат - вход три, то она выдает девять. Однако производная может принимать функцию возведения в квадрат в качестве входных данных. Это означает, что производная принимает всю информацию функции возведения в квадрат, например, что два отправляются на четыре, три отправляются на девять, четыре отправляются на шестнадцать и так далее, и использует эту информацию для создания другой функции. Функция, полученная путем получения функции возведения в квадрат, оказывается функцией удвоения.

В более явных терминах «функция удвоения» может быть обозначена как g ( x ) = 2 x, а «функция возведения в квадрат» - как f ( x ) = x ² . «Производная» теперь принимает функцию f ( x ) , определяемую выражением « x ² », в качестве входных данных, то есть всю информацию, например, что два отправляются на четыре, три отправляются на девять, четыре отправляются. до шестнадцати и так далее - и использует эту информацию для вывода другой функции, функции g ( x ) = 2 x , как выяснится позже.

Самый распространенный символ производной - знак апострофа, называемый простым . Таким образом, производная функции, называемой f , обозначается f ' , произносится как "f prime". Например, если f ( x ) = x ² - функция возведения в квадрат, то f ′ ( x ) = 2 x - ее производная (функция удвоения g сверху). Это обозначение известно как обозначение Лагранжа .

Если входные данные функции представляют время, то производная представляет изменение по времени. Например, если f - функция, которая принимает время в качестве входных данных и дает положение шара в это время в качестве выходных данных, то производная f - это то, как позиция изменяется во времени, то есть скорость движения мяча. мяч.

Если функция является линейной (то есть, если график функции представляет собой прямую линию), то функцию можно записать как y = mx + b , где x - независимая переменная, y - зависимая переменная, b - y -перехват, и:

${\ displaystyle m = {\ frac {\ text {rise}} {\ text {run}}} = {\ frac {{\ text {change in}} y} {{\ text {change in}} x}} = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}.}$

Это дает точное значение наклона прямой. Однако, если график функции не является прямой линией, то изменение y, деленное на изменение x, меняется. Производные придают точный смысл понятию изменения выпуска по сравнению с изменением входа. Чтобы быть конкретным, пусть f - функция, и зафиксируйте точку a в области определения f . ( a , f ( a )) - точка на графике функции. Если h - число, близкое к нулю, то a + h - число, близкое к a . Следовательно, (a + h , f ( a + h )) близко к ( a , f ( a )) . Наклон между этими двумя точками равен

${\displaystyle m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Это выражение называется коэффициентом разности . Прямая, проходящая через две точки на кривой, называется секущей линией , поэтому m - это наклон секущей линии между ( a , f ( a )) и ( a + h , f ( a + h )) . Секущая линия является лишь приближением к поведению функции в точке a, потому что она не учитывает то, что происходит между a и a + h . Не удалось обнаружить поведение при аустановив h равным нулю, потому что для этого потребуется деление на ноль , который не определен. Производная определяется путем взятия предела, когда h стремится к нулю, что означает, что она учитывает поведение f для всех малых значений h и извлекает согласованное значение для случая, когда h равно нулю:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.}$

Геометрически производная - это наклон касательной к графику f в точке a . Касательная линия является пределом секущих, так же как производная является пределом разностных отношений. По этой причине производную иногда называют наклоном функции f .

Вот частный пример, производная функции возведения в квадрат на входе 3. Пусть f ( x ) = x ² - функция возведения в квадрат.

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}}$

Наклон касательной к функции возведения в квадрат в точке (3, 9) равен 6, то есть она увеличивается в шесть раз быстрее, чем движется вправо. Только что описанный процесс ограничения может быть выполнен для любой точки в области определения функции возведения в квадрат. Это определяет производную функцию возведения в квадрат или просто производную функции возведения в квадрат для краткости. Вычисление, подобное приведенному выше, показывает, что производная функции возведения в квадрат является функцией удвоения.

Обозначение Лейбница

Обычное обозначение производной в приведенном выше примере, введенное Лейбницем:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}}$

В подходе, основанном на ограничениях, символ dy/dxследует интерпретировать не как частное двух чисел, а как сокращение для предела, вычисленного выше. Лейбниц, однако, намеревался представить его как частное двух бесконечно малых чисел, где dy - это бесконечно малое изменение y, вызванное бесконечно малым изменением dx, примененным к x . Мы также можем думать оd/dxкак оператор дифференцирования, который принимает функцию на входе и дает другую функцию, производную, на выходе. Например:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.}$

В этом случае dx в знаменателе читается как «относительно x ». Другой пример правильной записи:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)=t^{2}+2t+4\\\\{d \over dt}g(t)=2t+2\end{aligned}}}$

Даже когда исчисление разрабатывается с использованием пределов, а не бесконечно малых, обычно манипулируют такими символами, как dx и dy, как если бы они были действительными числами; хотя таких манипуляций можно избежать, они иногда с нотационной точки зрения удобны для выражения таких операций, как полная производная .

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление - это изучение определений, свойств и приложений двух связанных понятий, неопределенного интеграла и определенного интеграла . Процесс нахождения значения интеграла называется интегрированием . Говоря техническим языком, интегральное исчисление изучает два связанных линейных оператора .

Неопределенный интеграл , также известный как первообразная , обратная операция по производной. F является неопределенным интегралом от е , когда е является производной F . (Такое использование строчных и прописных букв для обозначения функции и ее неопределенного интеграла является обычным явлением в исчислении.)

В определенных интегральных входах функции и выводит число, которое дает алгебраическую сумму площадей между графиком ввода и осями х . Техническое определение определенного интеграла включает предел суммы площадей прямоугольников, называемый суммой Римана .

Примером мотивации являются расстояния, пройденные за данный момент.

${\displaystyle \mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time} }$

Если скорость постоянна, требуется только умножение, но если скорость изменяется, необходим более мощный метод определения расстояния. Один из таких методов - приблизить пройденное расстояние, разбив время на множество коротких интервалов времени, затем умножив время, прошедшее в каждом интервале, на одну из скоростей в этом интервале, а затем взяв сумму ( сумма Римана ) приблизительное расстояние, пройденное за каждый интервал. Основная идея заключается в том, что если пройдет короткое время, скорость останется более или менее той же. Однако сумма Римана дает лишь приблизительное представление о пройденном расстоянии. Мы должны взять предел всех таких сумм Римана, чтобы найти точное пройденное расстояние.

Когда скорость постоянна, общее расстояние, пройденное за заданный интервал времени, можно вычислить, умножив скорость на время. Например, если вы едете со скоростью 50 миль в час в течение 3 часов, то общее расстояние составит 150 миль. На диаграмме слева, когда изображены постоянная скорость и время, эти два значения образуют прямоугольник с высотой, равной скорости, и шириной, равной прошедшему времени. Следовательно, произведение скорости и времени также вычисляет прямоугольную область под (постоянной) кривой скорости. Эта связь между площадью под кривой и пройденным расстоянием может быть распространена на любую область неправильной формы, демонстрирующую колеблющуюся скорость в течение заданного периода времени. Если f ( x )На диаграмме справа представлена ​​скорость, изменяющаяся во времени, пройденное расстояние (между моментами времени, обозначенными буквами a и b ) - это площадь заштрихованной области  s .

Чтобы аппроксимировать эту площадь, интуитивно понятный метод состоит в том, чтобы разделить расстояние между a и b на ряд равных сегментов, длина каждого сегмента представлена ​​символом Δ x . Для каждого небольшого отрезка мы можем выбрать одно значение функции f ( x ) . Назовите это значение h . Тогда площадь прямоугольника с основанием Δ x и высотой h дает расстояние (время Δ x, умноженное на скорость h ), пройденное в этом сегменте. С каждым сегментом связано среднее значение функции над ним f ( x) = h . Сумма всех таких прямоугольников дает приблизительное значение площади между осью и кривой, которая является приближением общего пройденного расстояния. Меньшее значение Δ x даст больше прямоугольников и в большинстве случаев лучшее приближение, но для точного ответа нам нужно взять предел, поскольку Δ x приближается к нулю.

Символ интеграции , удлиненные S ( S означает «сумма»). Определенный интеграл записывается как:${\displaystyle \int }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

и читается как «интеграл от a до b от f -of- x по x ». Обозначение Лейбница dx предназначено для того, чтобы предложить разделить область под кривой на бесконечное количество прямоугольников, так что их ширина Δ x становится бесконечно малой dx . В формулировке исчисления на основе пределов обозначение

${\displaystyle \int _{a}^{b}\cdots \,dx}$

следует понимать как оператор, который принимает функцию на входе и выдает число, площадь, на выходе. Конечный дифференциал, dx , не является числом и не умножается на f ( x ) , хотя, служа напоминанием об определении предела Δ x , его можно рассматривать как таковой при символических манипуляциях с интегралом. Формально дифференциал указывает переменную, по которой интегрируется функция, и служит закрывающей скобкой для оператора интегрирования.

Неопределенный интеграл или первообразная записывается:

${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$

Функции, отличающиеся только константой, имеют одну и ту же производную, и можно показать, что первообразная данной функции на самом деле является семейством функций, различающихся только константой. Поскольку производная функции y = x ² + C , где C - любая константа, равна y ′ = 2 x , первообразная последней определяется выражением:

${\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C.}$

Неопределенная константа C, присутствующая в неопределенном интеграле или первообразной, известна как константа интегрирования .

Основная теорема

Фундаментальная теорема исчисления утверждает , что дифференцирование и интегрирование являются обратными операциями. Точнее, он связывает значения первообразных с определенными интегралами. Поскольку обычно проще вычислить первообразную, чем применить определение определенного интеграла, основная теорема исчисления обеспечивает практический способ вычисления определенных интегралов. Это также может быть истолковано как точное утверждение того факта, что дифференцирование является обратным интегрированию.

Основная теорема исчисления гласит: Если функция F является непрерывной на интервале [ , Ь ] и если Р является функцией, производная которой является F на интервале ( а , б ) , а затем

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Кроме того, для каждого x в интервале ( a , b ) ,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}$

Это осознание, сделанное и Ньютоном, и Лейбницем , основавшими свои результаты на более ранней работе Исаака Барроу , стало ключом к распространению аналитических результатов после того, как их работа стала известна. Основная теорема предоставляет алгебраический метод вычисления многих определенных интегралов - без выполнения предельных процессов - путем нахождения формул для первообразных . Это также прототип решения дифференциального уравнения . Дифференциальные уравнения связывают неизвестную функцию с ее производными и повсеместно используются в науке.

Приложения

Исчисление используется во всех отраслях физических наук, актуарной науки , информатики , статистики , инженерных , экономических , бизнес , медицина , демография , а также в других областях , где проблема может быть математически смоделировано и оптимальное решение желательно. Это позволяет перейти от (непостоянной) скорости изменения к полному изменению или наоборот, и много раз, изучая проблему, мы знаем одну и пытаемся найти другую.

Физика особенно использует исчисление; все концепции классической механики и электромагнетизма связаны посредством исчисления. Масса объекта известной плотности , на момент инерции объектов, а также полную энергии объекта в пределах консервативного поля может быть найдена с использованием математического анализа. Примером использования исчисления в механике является второй закон движения Ньютона : исторически утверждается, что он явно использует термин «изменение движения», который подразумевает производное высказывание « Изменение количества движения тела равно результирующей силе, действующей на тело». и находится в том же направлении.Сегодня обычно выражается как Сила = Масса × ускорение, это подразумевает дифференциальное исчисление, потому что ускорение - это производная по времени от скорости или вторая производная по времени от траектории или пространственного положения. Начав с того, что узнаем, как объект ускоряется, мы используем исчисление для определения его пути.

Теория Максвелла электромагнетизма и Эйнштейн теории «s в общей теории относительности также выражена на языке дифференциального исчисления. Химия также использует расчет для определения скорости реакции и радиоактивного распада. В биологии популяционная динамика начинается с воспроизводства и смертности для моделирования популяционных изменений.

Исчисление можно использовать вместе с другими математическими дисциплинами. Например, его можно использовать с линейной алгеброй, чтобы найти "наилучшее соответствие" линейное приближение для набора точек в области. Или его можно использовать в теории вероятностей для определения вероятности непрерывной случайной величины из предполагаемой функции плотности. В аналитической геометрии , изучении графиков функций, исчисление используется для нахождения высоких и низких точек (максимумов и минимумов), наклона, вогнутости и точек перегиба .

Теорема Грина , которая устанавливает связь между линейным интегралом вокруг простой замкнутой кривой C и двойным интегралом по плоской области D, ограниченной кривой C, применяется в приборе, известном как планиметр , который используется для вычисления площади плоской поверхности. поверхность на чертеже. Например, его можно использовать для расчета площади, занимаемой клумбой или бассейном неправильной формы, при проектировании планировки участка.

Дискретная теорема Грина , которая устанавливает связь между двойным интегралом функции вокруг простой замкнутой прямоугольной кривой C и линейной комбинацией значений первообразной в угловых точках вдоль края кривой, позволяет быстро вычислять суммы значений в прямоугольных областях . Например, его можно использовать для эффективного вычисления суммы прямоугольных областей в изображениях, чтобы быстро извлекать особенности и обнаруживать объект; Другой алгоритм, который можно использовать, - это таблица суммированных площадей .

В области медицины исчисление можно использовать для определения оптимального угла разветвления кровеносного сосуда, чтобы максимизировать поток. Из законов распада для выведения конкретного лекарства из организма он используется для получения законов дозирования. В ядерной медицине он используется для построения моделей переноса излучения при таргетной терапии опухолей.

В экономике расчет позволяет определить максимальную прибыль, предоставляя способ легко рассчитать как предельные издержки, так и предельный доход .

Исчисление также используется для поиска приближенных решений уравнений; на практике это стандартный способ решения дифференциальных уравнений и поиска корней в большинстве приложений. Примерами являются такие методы, как метод Ньютона , итерация с фиксированной точкой и линейное приближение . Например, космические аппараты используют разновидность метода Эйлера для аппроксимации искривленных курсов в условиях невесомости.

Разновидности

За прошедшие годы многие переформулировки исчисления были исследованы для различных целей.

Нестандартное исчисление

Неточные вычисления с бесконечно малыми были широко заменены строгим (ε, δ) -определением предела, начиная с 1870-х годов. Между тем расчеты с бесконечно малыми продолжались и часто приводили к правильным результатам. Это побудило Авраама Робинсона исследовать, можно ли разработать систему счисления с бесконечно малыми величинами, в отношении которой теоремы исчисления все еще действовали. В 1960 году, опираясь на работы Эдвина Хьюитта и Ежи Лося , ему удалось разработать нестандартный анализ . Теория нестандартного анализа достаточно богата, чтобы применяться во многих областях математики. Таким образом, книги и статьи, посвященные исключительно традиционным теоремам исчисления, часто называютсянестандартное исчисление .

Гладкий анализ бесконечно малых

Это еще одна переформулировка исчисления в терминах бесконечно малых . Основываясь на идеях Ф. У. Ловера и используя методы теории категорий , он рассматривает все функции как непрерывные и неспособные выражаться в терминах дискретных сущностей. Один из аспектов этой формулировки состоит в том, что в этой формулировке не выполняется закон исключенного третьего.

Конструктивный анализ

Конструктивная математика - это раздел математики, который настаивает на том, что доказательства существования числа, функции или другого математического объекта должны давать конструкцию объекта. Как таковая конструктивная математика также отвергает закон исключенного третьего . Переформулировки исчисления в конструктивных рамках обычно являются частью предмета конструктивного анализа .

Смотрите также

Списки

• Глоссарий исчисления
• Список тем по исчислению
• Список производных и интегралов в альтернативных исчислениях
• Список отличительных особенностей
• Публикации по математике
• Таблица интегралов

Другие связанные темы

• Исчисление конечных разностей
• Исчисление с многочленами
• Комплексный анализ
• Дифференциальное уравнение
• Дифференциальная геометрия
• Элементарное исчисление: бесконечно малый подход
• Дискретное исчисление
• Ряд Фурье
• Интегральное уравнение
• Математический анализ
• Многопараметрическое исчисление
• Неклассический анализ
• Нестандартный анализ
• Нестандартное исчисление
• Precalculus ( математическое образование )
• Интеграл продукта
• Стохастическое исчисление
• Серия Тейлора

Рекомендации

дальнейшее чтение

Книги

Интернет-книги

внешняя ссылка

• "Исчисление" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Исчисление» . MathWorld .
• Темы по исчислению на PlanetMath .
• Исчисление стало проще (1914) Сильвануса П. Томпсона Полный текст в PDF
• Расчет в наше время на BBC
• Calculus.org: страница Calculus в Калифорнийском университете в Дэвисе - содержит ресурсы и ссылки на другие сайты.
• COW: Calculus on the Web at Temple University - содержит ресурсы, начиная от предварительного исчисления и связанной с ним алгебры.
• Самые ранние известные применения некоторых слов математики: исчисление и анализ
• Онлайн-интегратор (WebMathematica) от Wolfram Research
• Роль исчисления в математике колледжа от ERICDigests.org
• OpenCourseWare Calculus от Массачусетского технологического института
• Исчисление бесконечно малых  - статья о его историческом развитии, в Энциклопедии математики , под ред. Мишель Хазевинкель .
• Даниэль Клейтман, Массачусетский технологический институт. «Математический анализ для начинающих и художников» .
• Задачи исчисления и решения Д.А. Куба
• Заметки Дональда Аллена об исчислении
• Учебные материалы по расчету на imomath.com
• (на английском и арабском языках) Экскурсия по исчислению , 1772 г.