Логарифмическое дифференцирование

В исчислении , логарифмическое дифференцирование или дифференцировка логарифмируя является метод , используемый для дифференцируемых функций посредством использования логарифмической производной от функции F , ^[1]

${\ displaystyle (\ ln f) '= {\ frac {f'} {f}} \ quad \ подразумевает \ quad f '= f \ cdot (\ ln f)'.}$

Этот метод часто используется в тех случаях, когда легче дифференцировать логарифм функции, чем саму функцию. Обычно это происходит в тех случаях, когда интересующая функция состоит из произведения нескольких частей, так что логарифмическое преобразование превратит ее в сумму отдельных частей (которую намного легче различить). Это также может быть полезно при применении к функциям, возведенным в степень переменных или функций. Логарифмическое дифференцирование опирается на правило цепочки, а также свойства логарифмов (в частности, натуральный логарифм или логарифм с основанием е ) для преобразования продуктов в суммы и деления в вычитания. ^{[2] [3]}Принцип может быть реализован, по крайней мере частично, в дифференцировании почти всех дифференцируемых функций при условии, что эти функции не равны нулю.

Обзор [ править ]

Для функции

${\ Displaystyle у = е (х) \, \!}$

логарифмическое дифференцирование обычно начинается с натурального логарифма или логарифма по основанию e с обеих сторон, не забывая принимать абсолютные значения: ^[4]

${\ Displaystyle \ пер | у | = \ пер | е (х) |. \, \!}$

После неявного дифференцирования : ^[5]

${\ displaystyle {\ frac {1} {y}} {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {f '(x)} {f (x)}}.}$

Затем выполняется умножение на y , чтобы исключить 1 / y и оставить только dy / dx в левой части :

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = y \ times {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = f' (x).}$

Этот метод используется потому, что свойства логарифмов позволяют быстро упростить дифференциацию сложных функций. ^[6] Этими свойствами можно манипулировать после взятия натуральных логарифмов с обеих сторон и до предварительного дифференцирования. Наиболее часто используемые законы логарифмирования ^[3]

${\ Displaystyle \ пер (ab) = \ пер (а) + \ пер (б), \ qquad \ пер \ влево ({\ гидроразрыва {а} {б}} \ вправо) = \ пер (а) - \ пер (b), \ qquad \ ln (a ^ {n}) = n \ ln (a).}$

Общий случай [ править ]

Используя обозначение "пи" ,

${\displaystyle f(x)=\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}.}$

Применение натуральных логарифмов приводит к (с прописной сигма-записью )

${\displaystyle \ln(f(x))=\sum _{i}\alpha _{i}(x)\cdot \ln(f_{i}(x)),}$

и после дифференцирования

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].}$

Переставьте, чтобы получить производную исходной функции,

${\displaystyle f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}.}$

Производные высшего порядка [ править ]

Используя формулу Фаа ди Бруно , логарифмическая производная n-го порядка равна

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}\ln f(x)=\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n}{\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot {\frac {(-1)^{m_{1}+\cdots +m_{n}-1}(m_{1}+\cdots +m_{n}-1)!}{f(x)^{m_{1}+\cdots +m_{n}}}}\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {f^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.}$

Используя это, первые четыре производные:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln f(x)={\frac {f''(x)}{f(x)}}-\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{2}}$

${\displaystyle {\frac {d^{3}}{dx^{3}}}\ln f(x)={\frac {f'''(x)}{f(x)}}-3{\frac {f'(x)f''(x)}{f(x)^{2}}}+2\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{3}}$

${\displaystyle {\frac {d^{4}}{dx^{4}}}\ln f(x)={\frac {f''''(x)}{f(x)}}-4{\frac {f'(x)f'''(x)}{f(x)^{2}}}-3\left({\frac {f''(x)}{f(x)}}\right)^{2}+12{\frac {f'(x)^{2}f''(x)}{f(x)^{3}}}-6\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{4}}$

Приложения [ править ]

Продукты [ править ]

Натуральный логарифм применяются к произведению двух функций

${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\,\!}$

преобразовать произведение в сумму

${\displaystyle \ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x)).\,\!}$

Дифференцирование путем применения цепочки и правил сумм дает

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}},}$

и после перестановки дает ^[7]

${\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}=g(x)h(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}.}$

Коэффициенты [ править ]

Натуральный логарифм применяется к фактору двух функций

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}\,\!}$

преобразовать деление в вычитание

${\displaystyle \ln(f(x))=\ln {\Bigg (}{\frac {g(x)}{h(x)}}{\Bigg )}=\ln(g(x))-\ln(h(x))\,\!}$

Дифференцирование путем применения цепочки и правил сумм дает

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}},}$

и после перестановки дает

${\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}={\frac {g(x)}{h(x)}}\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}.}$

После умножения и использования формулы общего знаменателя результат будет таким же, как после применения правила частного непосредственно к .${\displaystyle f(x)}$

Составная экспонента [ править ]

Для функции вида

${\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)}\,\!}$

Натуральный логарифм превращает возведение в степень в продукт

${\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x))\,\!}$

Дифференциация путем применения цепочки и правил продукта дает

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}},}$

и после перестановки дает

${\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}=g(x)^{h(x)}\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}.}$

Тот же результат можно получить, переписав f в терминах exp и применив цепное правило.

См. Также [ править ]

• Производная Дарбу
• Форма Маурера – Картана
• Группа Ли
• Список тем логарифмирования
• Список логарифмических тождеств

Примечания [ править ]