Логарифмическая производная

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Логарифмическая производная»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , в частности , в исчислении и комплексного анализа , то логарифмическая производная из функции F определяется по формуле

${\ displaystyle {\ frac {f '} {f}}}$

где - производная от f . Интуитивно, это бесконечно малое относительное изменение в F ; то есть бесконечно малое абсолютное изменение f, а именно масштабируемое текущим значением f.${\ displaystyle f '}$${\ displaystyle f ',}$

Если F является функцией F ( х ) вещественной переменной х , и принимает действительные , строго положительные значения, это равно производная Ln ( F ), или с натуральным логарифмом от F . Это прямо следует из цепного правила .

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln f (x) = {\ frac {1} {f (x)}} {\ frac {df (x)} {dx}}}$

Основные свойства [ править ]

Многие свойства действительного логарифма также применимы к логарифмической производной, даже если функция не принимает значения в положительных действительных числах. Например, поскольку логарифм продукта является суммой логарифмов факторов, мы имеем

${\ Displaystyle (\ log uv) '= (\ log u + \ log v)' = (\ log u) '+ (\ log v)'. \!}$

Таким образом, для функций с положительными действительными значениями логарифмическая производная продукта представляет собой сумму логарифмических производных факторов. Но мы также можем использовать закон Лейбница для производной продукта, чтобы получить

${\ displaystyle {\ frac {(uv) '} {uv}} = {\ frac {u'v + uv'} {uv}} = {\ frac {u '} {u}} + {\ frac {v '} {v}}. \!}$

Таким образом, для любой функции верно, что логарифмическая производная продукта является суммой логарифмических производных факторов (если они определены).

Следствием этого является то , что логарифмическая производная обратной функции является отрицание логарифмической производной функции:

${\ displaystyle {\ frac {(1 / u) '} {1 / u}} = {\ frac {-u' / u ^ {2}} {1 / u}} = - {\ frac {u '} {u}}, \!}$

так же, как логарифм обратной величины положительного действительного числа есть отрицание логарифма числа.

В более общем смысле, логарифмическая производная частного - это разность логарифмических производных делимого и делителя:

${\displaystyle {\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},\!}$

так же, как логарифм частного - это разность логарифмов делимого и делителя.

Обобщая в другом направлении, логарифмическая производная степени (с постоянным действительным показателем степени) является произведением показателя степени и логарифмической производной основания:

${\displaystyle {\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},\!}$

так же, как логарифм степени является произведением экспоненты и логарифма основания.

Таким образом, обе производные и логарифмы имеют правила продукта , а взаимное правило , а правило фактор , и правила питания (сравните список логарифмические тождества ); каждая пара правил связана через логарифмическую производную.

Вычисление обычных производных с использованием логарифмических производных [ править ]

Логарифмические производные могут упростить вычисление производных, требующих правила произведения, обеспечивая при этом тот же результат. Процедура следующая: Предположим, что ƒ ( x ) =  u ( x ) v ( x ) и мы хотим вычислить ƒ '( x ) . Вместо того, чтобы вычислять его напрямую как ƒ '=  u' v + v 'u , мы вычисляем его логарифмическую производную. То есть вычисляем:

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.}$

Умножение на ƒ вычисляет ƒ ' :

${\displaystyle f'=f\left({\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}\right).}$

Этот метод наиболее полезен, когда ƒ является продуктом большого количества факторов. Этот метод позволяет вычислить ' путем вычисления логарифмической производной каждого фактора, суммирования и умножения на.

Интегрирующие факторы [ править ]

Идея логарифмической производной тесно связана с методом интегрирующих множителей для дифференциальных уравнений первого порядка . В терминах оператора напишите

${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$

и пусть M обозначает оператор умножения на некоторую заданную функцию G ( x ). потом

${\displaystyle M^{-1}DM}$

можно записать (по правилу произведения ) как

${\displaystyle D+M^{*}}$

где теперь обозначает оператор умножения на логарифмическую производную${\displaystyle M^{*}}$

${\displaystyle {\frac {G'}{G}}}$

На практике нам дается такой оператор, как

${\displaystyle D+F=L}$

и хотите решить уравнения

${\displaystyle L(h)=f}$

для функции h при данном f . Затем это сводится к решению

${\displaystyle {\frac {G'}{G}}=F}$

который имеет в качестве решения

${\displaystyle \exp \textstyle (\int F)}$

с любым неопределенным интегралом от F .

Комплексный анализ [ править ]

Данная формула может применяться более широко; например, если f ( z ) является мероморфной функцией , это имеет смысл при всех комплексных значениях z, при которых f не имеет ни нуля, ни полюса . Кроме того, в нуле или полюсе логарифмическая производная ведет себя таким образом, который легко анализируется с точки зрения частного случая.

z ⁿ

где n - целое число, n  0. Тогда логарифмическая производная равна

н / з ;

и можно сделать общий вывод, что для мероморфных f особенности логарифмической производной f являются простыми полюсами с вычетом n из нуля порядка n , вычетом - n из полюса порядка n . См. Принцип аргумента . Эта информация часто используется при интегрировании контуров .

В области теории Неванлинны важная лемма утверждает, что функция близости логарифмической производной мала, например, относительно характеристики Неванлинны исходной функции .${\displaystyle m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h))}$

Мультипликативная группа [ править ]

За использованием логарифмической производной лежат два основных факта о GL ₁ , то есть о мультипликативной группе действительных чисел или другом поле . Дифференциальный оператор

${\displaystyle X{\frac {d}{dX}}}$

является инвариантным под «перевод» (заменив X на аХ для более постоянной). И дифференциальная форма

dX / X

также инвариантен. Для функций F в GL ₁ формула

dF / F

поэтому является откатом инвариантной формы.

Примеры [ править ]

• Экспоненциальный рост и экспоненциальный спад - это процессы с постоянной логарифмической производной.
• В финансовой математике , то греческий  λ является логарифмической производной производной цены по базовой цене.
• В численном анализе число обусловленности представляет собой бесконечно малое относительное изменение выхода для относительного изменения входного сигнала и, таким образом, является отношением логарифмических производных.

См. Также [ править ]

• Логарифмическое дифференцирование