Производная

График функции , нарисованный в черном и касательной к этой функции, обращается в красный цвет. Наклона касательной равен производной функции в отмеченной точке.

В математике , то производная из функции действительного переменного меры чувствительности к изменению (выходное значение) значение функции по отношению к изменению его аргумента (входное значение). Производные - это фундаментальный инструмент исчисления . Например, производной от положения движущегося объекта по времени является его скорость : она измеряет, насколько быстро положение объекта изменяется с течением времени.

Производная функции одной переменной при выбранном значении входного сигнала, когда оно существует, то есть наклон от касательной к графику функции в этой точке. Касательная линия является наилучшим линейным приближением функции вблизи этого входного значения. По этой причине производная часто описывается как «мгновенная скорость изменения», то есть отношение мгновенного изменения зависимой переменной к изменению независимой переменной.

Производные могут быть обобщены на функции нескольких действительных переменных . В этом обобщении производная интерпретируется как линейное преобразование , график которого (после соответствующего перевода) является наилучшим линейным приближением графика исходной функции. Матрица Якоби является матрицей , которая представляет это линейное преобразование с относительно базиса данного по выбору независимых и зависимых переменных. Его можно вычислить с помощью частных производных по независимым переменным. Для действительной функции нескольких переменных матрица Якоби сводится к вектору градиента .

Процесс нахождения производной называется дифференцированием . Обратный процесс называется антидифференцировкой . Фундаментальная теорема исчисления относится antidifferentiation с интеграцией . Дифференцирование и интегрирование составляют две фундаментальные операции в исчислении одной переменной. ^{[Примечание 1]}

Дифференциация [ править ]

Дифференциация - это действие по вычислению производной. Производная функции y = f ( x ) от переменной x является мерой скорости, с которой значение y функции изменяется по отношению к изменению переменной x . Это называется производной от F по отношению к й . Если х и у являются действительными числами , а если граф из F представлен в зависимости от х , производная является наклон этого графика в каждой точке.

Наклон линейной функции: ${\ displaystyle m = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$

Простейший случай, кроме тривиального случая постоянной функции , когда у является линейной функцией от х , а это означает , что график у представляет собой линию. В этом случае y = f ( x ) = mx + b для действительных чисел m и b , а наклон m определяется выражением

${\ displaystyle m = {\ frac {{\ text {change in}} y} {{\ text {change in}} x}} = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}},}$

где символ Δ ( Дельта ) является сокращением для «изменения в», а комбинации и относятся к соответствующим изменениям, т. е.${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta y}$

${\ Displaystyle \ Delta y = f (x + \ Delta x) -f (x)}$.

Приведенная выше формула верна, потому что

${\ Displaystyle {\ begin {align} y + \ Delta y & = f \ left (x + \ Delta x \ right) \\ & = m \ left (x + \ Delta x \ right) + b = mx + m \ Delta x + b \\ & = y + m \ Delta x. \ end {align}}}$

Таким образом

${\ Displaystyle \ Delta y = m \ Delta x.}$

Это дает значение для наклона линии.

Если функция f не является линейной (т.е. ее график не является прямой линией), то изменение y, деленное на изменение x, варьируется в рассматриваемом диапазоне: дифференцирование - это метод поиска уникального значения для этой скорости изменения, не в определенном диапазоне, а при любом заданном значении x .${\ displaystyle (\ Delta x),}$

Идея, показано на рисунках 1 до 3, чтобы вычислить скорость изменения в качестве предельного значения по отношению разностей Д у / Δ х , как Δ х стремится к 0.

Обозначение [ править ]

Для производной обычно используются два различных обозначения: одно происходит от Готфрида Вильгельма Лейбница, а другое от Жозефа Луи Лагранжа . Третье обозначение, впервые использованное Исааком Ньютоном , иногда встречается в физике.

В обозначениях Лейбница , бесконечно малое изменение х обозначим через дх , а производная у по х записывается

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}}}$

предлагая соотношение двух бесконечно малых величин. (Вышеупомянутое выражение читается как «производная y по отношению к x », « dy на dx » или « dy по dx ». Устная форма « dy dx » часто используется в разговорной речи, хотя это может привести к путанице. )

В обозначениях Лагранжа производная по x функции f ( x ) обозначается f ' ( x ) (читается как « f, простое число x ») или f _x ′ ( x ) (читается как « f простое число x из x»). "), в случае неоднозначности переменной, подразумеваемой дифференцированием. Обозначения Лагранжа иногда неправильно приписывают Ньютону .

В обозначении Ньютона для дифференцирования (также называемом точечным обозначением для дифференцирования) над зависимой переменной ставится точка. То есть, если y является функцией t , то производная y по t равна

${\ displaystyle {\ dot {y}}}$

Высшие производные представлены с помощью нескольких точек, как в

${\ displaystyle {\ ddot {y}}, {\ overset {...} {y}}}$

Обозначение Ньютона обычно используется, когда независимая переменная обозначает время . Если положение y является функцией t , то обозначает скорость ^[1] и обозначает ускорение . ^[2]${\ displaystyle {\ dot {y}}}$${\displaystyle {\ddot {y}}}$

Строгое определение [ править ]

Секущая приближается к касательной, когда .${\displaystyle \Delta x\to 0}$

Самый распространенный подход к превращению этой интуитивной идеи в точное определение - это определение производной как предела разностных частных действительных чисел. ^[3] Это подход, описанный ниже.

Пусть f - вещественная функция, определенная в открытой окрестности действительного числа a . В классической геометрии касательная линия к графику функции f в точке a была единственной линией, проходящей через точку ( a , f ( a )), которая не пересекалась с графиком f трансверсально , что означает, что линия не проходила прямо через точку ( a , f ( a )). график. Производная y по x в точке a геометрически представляет собой наклон касательной линии к графику f в точке( а , е ( а )) . Наклон касательной очень близок к наклону прямой, проходящей через ( a , f ( a )) и ближайшую точку на графике, например ( a + h , f ( a + h )) . Эти линии называются секущими линиями . Значение h, близкое к нулю, дает хорошее приближение к наклону касательной, а меньшие значения (по модулю ) h , как правило, дают лучшее приближение.. Наклон m секущей линии - это разница между значениями y этих точек, деленная на разницу между значениями x , то есть

${\displaystyle m={\frac {\Delta f(a)}{\Delta a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-(a)}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Это выражение Ньютона «S разница фактор . Переход от приближенного к точному ответу осуществляется с использованием предела . Геометрически предел секущих - касательная. Следовательно, предел отношения разности при приближении h к нулю, если он существует, должен представлять наклон касательной к ( a , f ( a )) . Этот предел определяется как производная функции f в точке a :

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Когда предел существует, f называется дифференцируемой в a . Здесь f ′ ( a ) - одно из нескольких общепринятых обозначений производной ( см. Ниже ). Из этого определения видно , что дифференцируемая функция F является увеличение тогда и только тогда , когда ее производная положительна и убывает тогда и только тогда ее производная отрицательна. Этот факт широко используется при анализе поведения функций, например, при поиске локальных экстремумов .

Эквивалентно производная удовлетворяет свойству, что

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-(f(a)+f'(a)\cdot h)}{h}}=0,}$

которая интуитивно интерпретируется (см. рисунок 1), что касательная к f в точке a дает наилучшее линейное приближение

${\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h}$

к f около a (т. е. для малых h ). Эту интерпретацию легче всего обобщить на другие параметры ( см. Ниже ).

Подстановка 0 вместо h в коэффициент разности приводит к делению на ноль , поэтому наклон касательной линии нельзя найти напрямую с помощью этого метода. Вместо этого определите Q ( h ) как коэффициент разности как функцию h :

${\displaystyle Q(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Q ( h ) - это наклон секущей линии между ( a , f ( a )) и ( a + h , f ( a + h )) . Если f - непрерывная функция , то есть ее график представляет собой непрерывную кривую без промежутков, то Q - непрерывная функция вдали от h = 0 . Если существует предел lim _{h → 0} Q ( h ) , что означает, что есть способ выбрать значение дляQ (0), который делает Q непрерывной функцией, то функция f дифференцируема в точке a , а ее производная в точке a равна Q (0) .

На практике существование непрерывного расширения разностного отношения Q ( h ) до h = 0 показано изменением числителя, чтобы сократить h в знаменателе. Такие манипуляции могут сделать предельное значение Q для малых h ясным, даже если Q все еще не определено при h = 0 . Этот процесс может быть долгим и утомительным для сложных функций, и для упрощения обычно используются многие ярлыки.

Определение гиперреалов [ править ]

Относительно гиперреального расширения вещественных чисел R ⊂ ^∗ R производная вещественной функции y = f ( x ) в вещественной точке x может быть определена как тень частного∆ y/∆ xдля бесконечно малых ∆ x , где ∆ y = f ( x + ∆ x ) - f ( x ) . Здесь естественное продолжение f на гиперреалы по-прежнему обозначается f . Здесь говорят, что производная существует, если тень не зависит от выбранной бесконечно малой величины.

Пример [ править ]

Квадратная функция, заданная формулой f ( x ) = x ² , дифференцируема при x = 3 , а ее производная равна 6. Этот результат устанавливается путем вычисления предела, когда h приближается к нулю разностного частного f (3) :

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(3+h)-f(3)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}\\[10pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {9+6h+h^{2}-9}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{(6+h)}.\end{aligned}}}$

Последнее выражение показывает, что коэффициент разности равен 6 + h, когда h 0, и не определен, когда h = 0 , из-за определения коэффициента разности. Однако определение предела говорит, что коэффициент разности не нужно определять, когда h = 0 . Ограничение является результатом того , чтобы позволить ч к нулю, а это означает , что это значение , которое 6 + ч , как правило, в час становится очень мало:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{(6+h)}=6+0=6.}$

Следовательно, наклон графика функции квадрата в точке (3, 9) равен 6 , и поэтому его производная в точке x = 3 равна f ′ (3) = 6 .

В более общем плане аналогичное вычисление показывает, что производная функции квадрата при x = a равна f ′ ( a ) = 2 a :

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(a)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2ah+h^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{(2a+h)}=2a\end{aligned}}}$

Непрерывность и дифференцируемость [ править ]

Если е является дифференцируемой в , то е также должен быть непрерывным на . В качестве примера выберите точку a и пусть f будет пошаговой функцией, которая возвращает значение 1 для всех x, меньших a , и возвращает другое значение 10 для всех x, больших или равных a . f не может иметь производную в a . Если h отрицательно, то a + h находится в нижней части шага, поэтому секущая линия отот a до a + h очень крутой, и когда h стремится к нулю, наклон стремится к бесконечности. Если h положительно, то a + h находится в верхней части ступеньки, поэтому секущая линия от a до a + h имеет нулевой наклон. Следовательно, секущие линии не приближаются ни к одному наклону, так что предела коэффициента разности не существует.

Однако даже если функция непрерывна в какой-то точке, она не может быть дифференцируемой там. Например, функция абсолютного значения, заданная как f ( x ) = | х | непрерывна в точке x = 0 , но не дифференцируема там. Если h положительно, то наклон секущей от 0 до h равен единице, тогда как если h отрицателен, то наклон секущей от 0 до h отрицателен. Это можно увидеть графически как «перегиб» или «куспид» на графике при x = 0 . Даже функция с гладким графиком не дифференцируема в точке, где еекасательная вертикальна : например, функция f ( x ) = x ^1/3 не дифференцируема при x = 0 .

Таким образом, функция, у которой есть производная, является непрерывной, но есть непрерывные функции, у которых нет производной.

Большинство функций, которые встречаются на практике, имеют производные во всех точках или почти в каждой точке. В начале истории математического анализа многие математики предполагали, что непрерывная функция дифференцируема в большинстве точек. В мягких условиях, например, если функция является монотонной или липшицевой , это верно. Однако в 1872 году Вейерштрасс нашел первый пример функции, непрерывной всюду, но нигде не дифференцируемой. Этот пример теперь известен как функция Вейерштрасса . В 1931 году Стефан Банах доказал, что набор функций, имеющих производную в некоторой точке, является скудным множеством.в пространстве всех непрерывных функций. ^[4] Неформально это означает, что практически любые случайные непрерывные функции не имеют производной хотя бы в одной точке.

Производная как функция [ править ]

Производная дифференцируемой функции в разных точках. В этом случае производная равна:${\displaystyle \sin \left(x^{2}\right)+2x^{2}\cos \left(x^{2}\right)}$

Пусть f - функция, имеющая производную в каждой точке области определения . Затем мы можем определить функцию, которая отображает каждую точку x в значение производной f в точке x . Эта функция записывается как f ' и называется производной функцией или производной от f .

Иногда f имеет производную в большинстве, но не во всех точках области определения. Функция, значение которой в a равно f ′ ( a ) всякий раз, когда f ′ ( a ) определено, а где-либо еще не определено, также называется производной f . Это все еще функция, но ее область определения строго меньше области определения f .

Используя эту идею, дифференцирование становится функцией функций: производная - это оператор , область определения которого представляет собой набор всех функций, имеющих производные в каждой точке своей области определения, а диапазон значений - это набор функций. Если обозначить этот оператор через D , то D ( f ) будет функцией f ′ . Поскольку D ( f ) является функцией, ее можно вычислить в точке a . По определению производной функции D ( f ) ( a ) = f ′ ( a ) .

Для сравнения рассмотрим функцию удвоения, задаваемую формулой f ( x ) = 2 x ; f является функцией действительного числа действительного числа, что означает, что он принимает числа в качестве входных данных и имеет числа в качестве выходных данных:

${\displaystyle {\begin{aligned}1&{}\mapsto 2,\\2&{}\mapsto 4,\\3&{}\mapsto 6.\end{aligned}}}$

Однако оператор D не определен для отдельных чисел. Он определен только для функций:

${\displaystyle {\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0),\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1),\\D\left(x\mapsto x^{2}\right)&=(x\mapsto 2\cdot x).\end{aligned}}}$

Поскольку выход D является функцией, выход D может быть оценен в точке. Например, когда D применяется к функции квадрата, x ↦ x ² , D выводит функцию удвоения x ↦ 2 x , которую мы назвали f ( x ) . Затем эта функция вывода может быть вычислена, чтобы получить f (1) = 2 , f (2) = 4 и т. Д.

Высшие производные [ править ]

Пусть f - дифференцируемая функция, а f ′ - ее производная. Производная от f ′ (если она есть) записывается f ′ ′ и называется второй производной от f . Точно так же производная второй производной, если она существует, записывается как f ′ ′ ′ и называется третьей производной от f . Продолжая этот процесс, можно определить, если она существует, n- ю производную как производную от ( n - 1) -й производной. Эти повторяющиеся производные называются производными более высокого порядка.. П - й производной также называется производная порядка п .

Если x ( t ) представляет положение объекта в момент времени t , то производные x более высокого порядка имеют особую интерпретацию в физике . Первая производная от x - это скорость объекта . Вторая производная от x - это ускорение . Третья производная от x - рывок . И, наконец, производные x с четвертой по шестую - это щелчок, треск и треск ; наиболее применимо к астрофизике .

Функция f не обязательно должна иметь производную (например, если она не непрерывна). Точно так же, даже если у f есть производная, у нее может не быть второй производной. Например, пусть

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}+x^{2},&{\text{if }}x\geq 0\\-x^{2},&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}}$

Расчет показывает, что f - дифференцируемая функция, производная которой в точке определяется выражением${\displaystyle x}$

${\displaystyle f'(x)={\begin{cases}+2x,&{\text{if }}x\geq 0\\-2x,&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}}$

f ' ( x ) - это удвоенная функция абсолютного значения в точке, и она не имеет производной в нуле. Подобные примеры показывают, что функция может иметь k- ю производную для каждого неотрицательного целого числа k, но не ( k + 1) -ю производную. Функция, которая имеет k последовательных производных, называется k раз дифференцируемой . Если при этом k- я производная непрерывна, то говорят, что функция имеет класс дифференцируемости C ^k . (Это более сильное условие, чем наличие k производных, как показано во втором примере${\displaystyle x}$ Гладкость § Примеры .) Функция, имеющая бесконечно много производных, называется бесконечно дифференцируемой или гладкой .

На вещественной прямой каждая полиномиальная функция бесконечно дифференцируема. По стандартным правилам дифференцирования , если многочлен степени n дифференцировать n раз, он становится постоянной функцией . Все его последующие производные тождественно равны нулю. В частности, они существуют, поэтому многочлены являются гладкими функциями.

Производные функции f в точке x обеспечивают полиномиальные приближения к этой функции вблизи x . Например, если f дважды дифференцируема, то

${\displaystyle f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h+{\tfrac {1}{2}}f''(x)h^{2}}$

в том смысле, что

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)-f'(x)h-{\frac {1}{2}}f''(x)h^{2}}{h^{2}}}=0.}$

Если f бесконечно дифференцируема, то это начало ряда Тейлора для f, вычисляемого в x + h вокруг x .

Точка перегиба [ править ]

Точка, в которой вторая производная функции меняет знак, называется точкой перегиба . ^[5] В точке перегиба вторая производная может быть равна нулю, как в случае точки перегиба x = 0 функции, заданной посредством , или она может не существовать, как в случае точки перегиба x = 0 функции, заданной . В точке перегиба функция переключается с выпуклой функции на вогнутую или наоборот.${\displaystyle f(x)=x^{3}}$${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{3}}}$

Обозначение (подробности) [ править ]

Обозначения Лейбница [ править ]

Символы , и были введены Готфридом Вильгельмом Лейбницем в 1675 году. ^[6] Они все еще широко используются, когда уравнение y = f ( x ) рассматривается как функциональная связь между зависимыми и независимыми переменными . Тогда первая производная обозначается через${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}},{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f,}$

и когда-то считался бесконечно малым частным. Высшие производные выражаются с помощью обозначений

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}},{\text{ or }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f}$

для n- й производной от . Это сокращения для нескольких применений оператора производной. Например,${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$

Используя обозначения Лейбница, мы можем записать производную от в точке двумя разными способами:${\displaystyle y}$${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).}$

Обозначения Лейбница позволяют указать переменную для дифференцирования (в знаменателе), которая актуальна при частичном дифференцировании . Его также можно использовать для записи правила цепочки как ^{[Примечание 2]}

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Обозначения Лагранжа [ править ]

Иногда его называют простым обозначением , ^[7] одно из наиболее распространенных современных обозначений для дифференцирования принадлежит Жозефу-Луи Лагранжу и использует штрих , так что обозначается производная функции . Аналогично обозначаются вторая и третья производные${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$

${\displaystyle (f')'=f''}$   и   ${\displaystyle (f'')'=f'''.}$

Чтобы обозначить количество производных за пределами этой точки, некоторые авторы используют римские цифры в верхнем индексе , тогда как другие помещают число в круглые скобки:

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }}$   или же   ${\displaystyle f^{(4)}.}$

Последнее обозначение обобщает, чтобы получить обозначение для n- й производной от - это обозначение наиболее полезно, когда мы хотим говорить о производной как о самой функции, так как в этом случае обозначение Лейбница может стать громоздким.${\displaystyle f^{(n)}}$${\displaystyle f}$

Обозначения Ньютона [ править ]

Обозначение Ньютона для дифференцирования, также называемое точечным обозначением, помещает точку над именем функции, чтобы представить производную по времени. Если , то${\displaystyle y=f(t)}$

${\displaystyle {\dot {y}}}$   и   ${\displaystyle {\ddot {y}}}$

обозначают соответственно первую и вторую производные от . Это обозначение используется исключительно для производных по времени или длине дуги . Обычно он используется в дифференциальных уравнениях в физике и дифференциальной геометрии . ^{[8] [9]} Точечная запись, однако, становится неуправляемой для производных высокого порядка (порядка 4 или более) и не может иметь дело с несколькими независимыми переменными.${\displaystyle y}$

Обозначения Эйлера [ править ]

В нотации Эйлера используется дифференциальный оператор , который применяется к функции для получения первой производной . П - й производной обозначается .${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Df}$${\displaystyle D^{n}f}$

Если y = f ( x ) является зависимой переменной, то часто индекс x добавляется к D, чтобы прояснить независимую переменную x . Тогда записываются обозначения Эйлера

${\displaystyle D_{x}y}$   или   ,${\displaystyle D_{x}f(x)}$

хотя этот нижний индекс часто опускается, когда переменная x понимается, например, когда это единственная независимая переменная, присутствующая в выражении.

Обозначения Эйлера полезны для формулировки и решения линейных дифференциальных уравнений .

Правила вычисления [ править ]

Производная функции, в принципе, может быть вычислена из определения, рассматривая коэффициент разности и вычисляя его предел. На практике, когда известны производные нескольких простых функций, производные других функций легче вычислять, используя правила получения производных более сложных функций от более простых.

Правила для основных функций [ править ]

Вот правила для производных наиболее распространенных основных функций, где а - действительное число.

• Производные от полномочий :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}.}$

• Экспоненциальные и логарифмические функции :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a),\qquad a>0}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}},\qquad x,a>0}$

• Тригонометрические функции :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).}$

• Обратные тригонометрические функции :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Правила для комбинированных функций [ править ]

Вот некоторые из самых основных правил вывода производной сложной функции из производных основных функций.

• Постоянное правило : если f ( x ) постоянна, то

  ${\displaystyle f'(x)=0.}$

• Правило суммы :

  ${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'}$для всех функций f и g и всех действительных чисел и .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

• Правило продукта :

  ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$для всех функций f и g . Как частный случай, это правило включает в себя тот факт , когда является постоянным, так как по правилу постоянная.${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}$

• Правило частного :

  ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ для всех функций f и g на всех входах, где g ≠ 0 .

• Цепное правило для составных функций: если, то${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$

  ${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).}$

Пример расчета [ править ]

Производная функции, заданной формулой

${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7}$

является

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$

Здесь второй член был вычислен с использованием правила цепочки, а третий - с использованием правила продукта . Также использовались известные производные элементарных функций x ² , x ⁴ , sin ( x ), ln ( x ) и exp ( x ) = e ^x , а также константа 7.

В высших измерениях [ править ]

Векторнозначные функции [ править ]

Вектор-функция у реальной переменной посылает действительные числа к векторов в некотором векторном пространстве R ^п . Векторнозначная функция может быть разбита на ее координатные функции y ₁ ( t ), y ₂ ( t ), ..., y _n ( t ) , что означает, что y ( t ) = ( y ₁ ( t ),. .., y _n ( t )) . Сюда входят, например, параметрические кривые в R ²или R ³ . Координатные функции являются вещественными функциями, поэтому к ним применимо приведенное выше определение производной. Производная y ( t ) определяется как вектор , называемый касательным вектором , координаты которого являются производными координатных функций. То есть,

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\ldots ,y'_{n}(t)).}$

Эквивалентно,

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}$

если предел существует. Вычитание в числителе - это вычитание векторов, а не скаляров. Если производная y существует для каждого значения t , тогда y ′ - другая вектор-функция.

Если e ₁ , ..., e _n является стандартным базисом для R ⁿ , то y ( t ) также можно записать как y ₁ ( t ) e ₁ + ⋯ + y _n ( t ) e _n . Если мы предположим, что производная векторной функции сохраняет свойство линейности , то производная y ( t ) должна быть

${\displaystyle y'_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+\cdots +y'_{n}(t)\mathbf {e} _{n}}$

потому что каждый из базисных векторов является константой.

Это обобщение полезно, например, если y ( t ) - вектор положения частицы в момент времени t ; тогда производная y ′ ( t ) - это вектор скорости частицы в момент времени t .

Частные производные [ править ]

Предположим, что f - функция, которая зависит от более чем одной переменной, например,

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

f можно интерпретировать как семейство функций одной переменной, индексированных другими переменными:

${\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

Другими словами, каждое значение x выбирает функцию, обозначенную f _x , которая является функцией одного действительного числа. ^{[Примечание 3]} То есть

${\displaystyle x\mapsto f_{x},}$

${\displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

После того, как значение х выбран, скажем , , то F ( х , у ) определяет функцию F , который посылает у к в ² + ау + у ² :

${\displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.}$

В этом выражении a - константа , а не переменная , поэтому f _a - функция только одной действительной переменной. Следовательно, применяется определение производной для функции одной переменной:

${\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y.}$

Вышеупомянутая процедура может быть выполнена для любого выбора a . Объединение производных вместе в функцию дает функцию, которая описывает изменение f в направлении y :

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.}$

Это частная производная f по y . Здесь ∂ - округленная буква d, называемая символом частной производной . Чтобы отличить его от буквы d , ∂ иногда произносится как «der», «del» или «частично» вместо «dee».

В общем, частная производная функции f ( x ₁ ,…, x _n ) по направлению x _i в точке ( a ₁ , ..., a _n ) определяется как:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}$

В приведенном выше коэффициенте разницы все переменные, кроме x _i, остаются фиксированными. Этот выбор фиксированных значений определяет функцию одной переменной

${\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),}$

и по определению

${\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).}$

Другими словами, различные выборы в индексе семейства функций одной переменной так же , как в приведенном выше примере. Это выражение также показывает, что вычисление частных производных сводится к вычислению производных с одной переменной.

Это фундаментально для изучения функций нескольких действительных переменных . Пусть f ( x ₁ , ..., x _n ) - такая вещественная функция . Если все частные производные ∂ f / ∂ x _j функции f определены в точке a = ( a ₁ , ..., a _n ) , эти частные производные определяют вектор

${\displaystyle \nabla f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),}$

который называется градиентом от F на . Если f дифференцируема в каждой точке некоторой области, то градиент - это вектор-функция ∇ f, которая отображает точку ( a ₁ , ..., a _n ) в вектор ∇ f ( a ₁ , ..., а _п ) . Следовательно, градиент определяет векторное поле .

Направленные производные [ править ]

Если f - вещественная функция на R ⁿ , то частные производные f измеряют ее изменение в направлении осей координат. Например, если f является функцией x и y , то его частные производные измеряют изменение f в направлении x и направлении y . Однако они не измеряют напрямую изменение f в любом другом направлении, например, вдоль диагональной линии y = x . Они измеряются с использованием производных по направлению. Выберите вектор

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

Производная по направлению от F в направлении V в точке х есть предел

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$

В некоторых случаях может быть проще вычислить или оценить производную по направлению после изменения длины вектора. Часто это делается, чтобы превратить задачу в вычисление производной по направлению в направлении единичного вектора. Чтобы увидеть, как это работает, предположим, что v = λ u . Подставляем h = k / λ в разностное отношение. Коэффициент разницы становится:

${\displaystyle {\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.}$

Это λ умноженное на разностное отношение производной функции f по u по направлению . Более того, принятие предела, когда h стремится к нулю, аналогично принятию предела, когда k стремится к нулю, потому что h и k кратны друг другу. Следовательно, D _v ( f ) = λ D _u ( f ) . Из-за этого свойства масштабирования производные по направлению часто рассматриваются только для единичных векторов.

Если все частные производные функции f существуют и непрерывны в точке x , то они определяют производную функции f по направлению v по формуле:

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}$

Это следствие определения полной производной . Отсюда следует, что производная по направлению линейна по v , что означает, что D _{v + w} ( f ) = D _v ( f ) + D _w ( f ) .

То же определение работает, когда f - функция со значениями в R ^m . Приведенное выше определение применяется к каждому компоненту векторов. В этом случае производная по направлению является вектором в R ^m .

Полная производная, полный дифференциал и матрица Якоби [ править ]

Когда f является функцией от открытого подмножества R ⁿ до R ^m , тогда производная f по направлению в выбранном направлении является наилучшим линейным приближением к f в этой точке и в этом направлении. Но когда n > 1 , никакая производная по направлению не может дать полную картину поведения f . Полная производная дает полную картину, учитывая сразу все направления. То есть для любого вектора v, начинающегося с a , верна формула линейного приближения:

${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}$

Как и производная с одной переменной, f  ′ ( a ) выбирается так, чтобы ошибка в этом приближении была как можно меньше.

Если n и m оба равны единице, то производная f  '( a ) является числом, а выражение f  ' ( a ) v является произведением двух чисел. Но в более высоких измерениях f  ′ ( a ) не может быть числом. Если бы это было число, то f  '( a ) v было бы вектором в R ^{n, в} то время как другие члены были бы векторами в R ^m , и поэтому формула не имела бы смысла. Чтобы формула линейного приближения имела смысл, f  ′ (a ) должна быть функцией, которая отправляет векторы в R ⁿ векторам в R ^m , а f  '( a ) v должна обозначать эту функцию, вычисленную в v .

Чтобы определить, что это за функция, обратите внимание, что формулу линейного приближения можно переписать как

${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} )\approx f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}$

Обратите внимание , что если мы выберем другой вектор ш , то это приближенное уравнение определяет другое приближенное уравнение, заменяя ш на V . Она определяет третье приближенное уравнение, заменяя как ш для V и на + V для . Вычитая эти два новых уравнения, мы получаем

${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {a} )\approx f'(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\mathbf {w} -f'(\mathbf {a} )\mathbf {w} .}$

Если предположить, что v мало, а производная непрерывно изменяется в a , то f  ′ ( a + v ) приблизительно равно f  ′ ( a ) , и, следовательно, правая часть приблизительно равна нулю. Левую часть можно переписать по-другому, используя формулу линейной аппроксимации с заменой v + w на v . Из формулы линейного приближения следует:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\approx f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {a} )\\&=(f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} ))-(f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} ))-(f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} ))\\&\approx f'(\mathbf {a} )(\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} -f'(\mathbf {a} )\mathbf {w} .\end{aligned}}}$

Это предполагает, что f  ′ ( a ) является линейным преобразованием из векторного пространства R ⁿ в векторное пространство R ^m . Фактически, это можно сделать точным выводом, измерив погрешность приближений. Предположим, что ошибка в этой формуле линейного приближения ограничена постоянным временем || v ||, где постоянная не зависит от v, но непрерывно зависит от a . Затем, после добавления соответствующего члена ошибки, все приведенные выше приблизительные равенства можно перефразировать как неравенства. В частности, f  ′ ( a )является линейным преобразованием с точностью до малой погрешности. Следовательно, в пределе, когда v и w стремятся к нулю, это должно быть линейное преобразование. Поскольку мы определяем полную производную, взяв предел при стремлении v к нулю, f  ′ ( a ) должно быть линейным преобразованием.

В одной переменной тот факт, что производная является наилучшим линейным приближением, выражается тем фактом, что это предел разностных отношений. Однако обычный коэффициент разности не имеет смысла в более высоких измерениях, потому что обычно невозможно разделить векторы. В частности, числитель и знаменатель разностного частного даже не находятся в одном и том же векторном пространстве: числитель находится в области R ^m, а знаменатель - в области R ⁿ . Кроме того, производная - это линейное преобразование, объект, отличный от числителя и знаменателя. Чтобы уточнить идею о том, что f  ′ ( a )является наилучшим линейным приближением, необходимо адаптировать другую формулу для производной с одной переменной, в которой эти проблемы исчезают. Если f  : R → R , то обычным определением производной можно манипулировать, чтобы показать, что производная f в точке a - это уникальное число f  ′ ( a ) такое, что

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-(f(a)+f'(a)h)}{h}}=0.}$

Это эквивалентно

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|f(a+h)-(f(a)+f'(a)h)|}{|h|}}=0}$

потому что предел функции стремится к нулю тогда и только тогда, когда предел абсолютного значения функции стремится к нулю. Эту последнюю формулу можно адаптировать к ситуации с множеством переменных, заменив абсолютные значения нормами .

Следовательно, определение полной производной функции f в точке a состоит в том, что это единственное линейное преобразование f  ′ ( a ): R ⁿ → R ^m такое, что

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-(f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} )\rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.}$

Здесь h - вектор в R ⁿ , поэтому норма в знаменателе - это стандартная длина на R ⁿ . Однако f ′ ( a ) h является вектором в R ^m , а норма в числителе - это стандартная длина на R ^m . Если v - вектор, начинающийся в a , то f  ′ ( a ) v называется прямым направлением v посредством f и иногда обозначается как f _∗ v .

Если полная производная существует в a , то все частные производные и производные по направлениям f существуют в a , и для всех v , f  ′ ( a ) v является производной по направлению f в направлении v . Если мы запишем f с использованием координатных функций, так что f = ( f ₁ , f ₂ , ..., f _m ) , тогда полная производная может быть выражена с использованием частных производных в виде матрицы . Эта матрица называетсяМатрица Якоби функции f в точке a :

${\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.}$

Существование полной производной F '( в ) строго сильнее , чем существование всех частных производных, но если частные производные существуют и непрерывны, то полная производная существует, то дается якобиан, и непрерывно зависит от а .

Определение полной производной включает определение производной одной переменной. То есть, если f является действительной функцией действительной переменной, то полная производная существует тогда и только тогда, когда существует обычная производная. Матрица Якоби сводится к матрице 1 × 1, единственным элементом которой является производная f ′ ( x ). Эта матрица 1 × 1 удовлетворяет тому свойству, что f ( a + h ) - ( f ( a ) + f  ′ ( a ) h ) приблизительно равно нулю, другими словами, что

${\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h.}$

Вплоть до замены переменных, это утверждение, что функция является наилучшим линейным приближением к f в точке a .${\displaystyle x\mapsto f(a)+f'(a)(x-a)}$

Полная производная функции не дает другую функцию так же, как в случае одной переменной. Это связано с тем, что полная производная функции многих переменных должна записывать гораздо больше информации, чем производная функции одной переменной. Вместо этого полная производная дает функцию от касательного пучка источника к касательному пучку цели.

Естественный аналог полных производных второго, третьего и более высоких порядков не является линейным преобразованием, не является функцией на касательном расслоении и не строится путем многократного взятия полной производной. Аналог производной более высокого порядка, называемый струей , не может быть линейным преобразованием, поскольку производные более высокого порядка отражают тонкую геометрическую информацию, такую ​​как вогнутость, которую нельзя описать в терминах линейных данных, таких как векторы. Это не может быть функцией касательного расслоения, потому что касательное расслоение имеет место только для базового пространства и производных по направлениям. Поскольку струи захватывают информацию более высокого порядка, они принимают в качестве аргументов дополнительные координаты, представляющие изменения направления более высокого порядка. Пространство, определяемое этими дополнительными координатами, называетсяструйный пучок . Связь между полной производной и частными производными функции аналогична соотношению между струей k- го порядка функции и ее частными производными порядка, меньшего или равного k .

Повторно взяв полную производную, можно получить более высокие версии производной Фреше , специализированные для R ^p . К - го порядка полной производной может быть интерпретирован как карта

${\displaystyle D^{k}f:\mathbb {R} ^{n}\to L^{k}(\mathbb {R} ^{n}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})}$

который берет точку x в R ⁿ и присваивает ей элемент пространства k -линейных отображений из R ⁿ в R ^m - «наилучшее» (в определенном точном смысле) k- линейное приближение к f в этой точке. Предварительно составив его с диагональным отображением Δ, x → ( x , x ) , можно начать обобщенный ряд Тейлора как

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {x} )&\approx f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x-a} )+\left(D^{2}f\right)(\Delta (\mathbf {x-a} ))+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x-a} )+\left(D^{2}f\right)(\mathbf {x-a} ,\mathbf {x-a} )+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+\sum _{i}(Df)_{i}(x_{i}-a_{i})+\sum _{j,k}\left(D^{2}f\right)_{jk}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})+\cdots \end{aligned}}}$

где f ( a ) отождествляется с постоянной функцией, x _i - a _i - компоненты вектора x - a , а ( Df ) _i и ( D ² f ) _jk - компоненты Df и D ² f как линейные трансформации.

Обобщения [ править ]

Концепция производной может быть расширена на многие другие параметры. Общей нитью является то, что производная функции в точке служит линейным приближением функции в этой точке.

• Важное обобщение производных проблем сложных функций от комплексных переменных , таких , как функции от (область в) комплексные числа C к C . Понятие производной такой функции получается заменой вещественных переменных комплексными переменными в определении. Если С идентифицируются с R ² , написав комплексное число г , как х + гу , то дифференцируемая функция от С до С , безусловно , дифференцируемой как функцией от R ² до R ^-(в том смысле, что все его частные производные существуют), но в целом обратное неверно: комплексная производная существует только в том случае, если действительная производная является комплексной линейной, и это налагает связи между частными производными, называемые уравнениями Коши – Римана - см. голоморфные функции .
• Другое обобщение касается функций между дифференцируемыми или гладкими многообразиями . Интуитивно говоря, такое многообразие M - это пространство, которое можно аппроксимировать около каждой точки x векторным пространством, называемым его касательным пространством : прототипным примером является гладкая поверхность в R ³ . Производная (или дифференциал) (дифференцируемого) отображения f : M → N между многообразиями в точке x в M , тогда является линейным отображением касательного пространства M в точке x в касательное пространство многообразияN в точке f ( x ). Производная функция становится отображением между касательных расслоений из М и N . Это определение является фундаментальным в дифференциальной геометрии и имеет множество применений - см. Прямое движение вперед (дифференциал) и откат (дифференциальная геометрия) .
• Дифференцирование также может быть определено для отображений между бесконечномерными векторными пространствами, такими как пространства Банаха и пространства Фреше . Существует обобщение как производной по направлению, называемой производной Гато , так и дифференциала, называемой производной Фреше .
• Один из недостатков классической производной состоит в том, что очень многие функции не дифференцируемы. Тем не менее, есть способ расширить понятие производной, чтобы все непрерывные функции и многие другие функции можно было дифференцировать с использованием концепции, известной как слабая производная . Идея состоит в том, чтобы встроить непрерывные функции в большее пространство, называемое пространством распределений, и потребовать только, чтобы функция была дифференцируемой «в среднем».
• Свойства производной вдохновили на введение и изучение многих подобных объектов в алгебре и топологии - см., Например, дифференциальную алгебру .
• Дискретный эквивалент дифференцирования - конечные разности . Изучение дифференциального исчисления объединено с исчислением конечных разностей в исчислении шкалы времени .
• Также см. Арифметическую производную .

История [ править ]

Исчисление , известное в своей ранней истории как исчисление бесконечно малых , представляет собой математическую дисциплину, ориентированную на пределы , функции , производные, интегралы и бесконечные ряды . Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц независимо друг от друга открыли исчисление в середине 17 века. Однако каждый изобретатель утверждал, что другой украл его работу, в ожесточенном споре, который продолжался до конца их жизни.

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

Распечатать [ редактировать ]

Интернет-книги [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Производная" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Академия Хана : «Ньютон, Лейбниц и Усэйн Болт»
• Вайсштейн, Эрик В. «Производная» . MathWorld .
• Онлайн-калькулятор производных от Wolfram Alpha .