График функции

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «График функции»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

График функции f ( x ) = x ³ - 9 x

В математике , то график из функции F есть множество упорядоченных пар ( х , у ) , где F ( х ) = у . В общем случае, когда x и f ( x ) - действительные числа , эти пары являются декартовыми координатами точек в двумерном пространстве и, таким образом, образуют подмножество этой плоскости.

В случае функций двух переменных, то есть функций, область определения которых состоит из пар ( x , y ) , график обычно относится к набору упорядоченных троек ( x , y , z ), где f ( x , y ) = z , вместо пар (( x , y ), z ), как в определении выше. Этот набор представляет собой подмножество трехмерного пространства ; для непрерывной действительной функции двух действительных переменных это поверхность.

График функции - это частный случай отношения .

В науке , технике , технологиях , финансах и других областях графики используются для многих целей. В простейшем случае одна переменная отображается как функция другой, обычно с использованием прямоугольных осей ; подробности см. в графике .

В современных основах математики и, как правило, в теории множеств функция фактически равна своему графику. ^[1] Однако, часто бывает полезно , чтобы увидеть функции , как отображения , ^[2] , которые состоят не только из соотношения между входом и выходом, но и каким набором является доменом, и каким набор является кообластью . Например, чтобы сказать, что функция находится на ( сюръективном ) или нет кодомене, следует принять во внимание. График функции сам по себе не определяет кодомен. Обычно ^[3] используются термины функция и график функции. поскольку даже если они рассматриваются как один и тот же объект, они указывают на то, что смотрят на него с другой точки зрения.

График функции f ( x ) = x ⁴ - 4 ^x на интервале [−2, + 3]. Также показаны два действительных корня и локальный минимум, которые находятся в интервале.

Определение [ править ]

Для данного отображения , другими словами, функции вместе с ее областью определения и областью области , график отображения - это ^[4] множество ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle G(f)=\{(x,f(x))\mid x\in X\}}$,

который является подмножеством . В абстрактном определении функции фактически равно .${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle G(f)}$${\displaystyle f}$

Можно заметить, что если ,, то граф является подмножеством (строго говоря, это так , но его можно вложить с помощью естественного изоморфизма).${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle G(f)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}}$

Примеры [ править ]

Функции одной переменной [ править ]

График функции, определяемой${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}a,&{\text{if }}x=1,\\d,&{\text{if }}x=2,\\c,&{\text{if }}x=3,\end{cases}}}$

это подмножество множества ${\displaystyle \{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}}$

${\displaystyle G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.\,}$

Из графа восстанавливается область как набор первых компонентов каждой пары в графе . Точно так же диапазон можно восстановить как . Однако codomain нельзя определить только по графику.${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle \{1,2,3\}=\{x:\ {\text{there exists }}y,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$${\displaystyle \{a,c,d\}=\{y:{\text{there exists }}x,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$

График кубического многочлена на вещественной прямой

${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x\,}$

является

${\displaystyle \{(x,x^{3}-9x):x{\text{ is a real number}}\}.\,}$

Если этот набор нанесен на декартову плоскость , результатом будет кривая (см. Рисунок).

Функции двух переменных [ править ]

График тригонометрической функции

${\displaystyle f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})\,}$

является

${\displaystyle \{(x,y,\sin(x^{2})\cos(y^{2})):x{\text{ and }}y{\text{ are real numbers}}\}.}$

Если этот набор нанесен на трехмерную декартову систему координат , результатом будет поверхность (см. Рисунок).

Часто бывает полезно показать с графиком градиент функции и несколько кривых уровня. Кривые уровня могут быть нанесены на функциональную поверхность или могут быть спроецированы на нижнюю плоскость. На втором рисунке показан такой рисунок графика функции:

${\displaystyle f(x,y)=-(\cos(x^{2})+\cos(y^{2}))^{2}\,}$

Обобщения [ править ]

График функции содержится в декартовом произведении множеств. Плоскость X – Y представляет собой декартово произведение двух линий, называемых X и Y, а цилиндр - это декартово произведение прямой и окружности, высота, радиус и угол которой задают точное расположение точек. Пучки волокон не являются декартовыми продуктами, но кажутся близкими. Соответствующее понятие графа на расслоении называется сечением .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме графиков функций .

• Вайсштейн, Эрик В. « Функциональный график ». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.