Двумерное пространство

Двумерная декартова система координат

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

Двумерное пространство (также известное как двумерное пространство ) - это геометрическая установка, в которой два значения (называемые параметрами ) требуются для определения положения элемента (т. Е. Точки ). Набор ℝ ² пар действительных чисел с соответствующей структурой часто служит каноническим примером двумерного евклидова пространства. Для обобщения концепции см. Измерение .

Двумерное пространство можно рассматривать как проекцию физической вселенной на плоскость . Обычно это евклидово пространство, а два измерения называются длиной и шириной.

История [ править ]

Книги с I по IV и VI « Элементов» Евклида посвящены двухмерной геометрии, развивая такие понятия, как подобие форм, теорема Пифагора (предложение 47), равенство углов и площадей , параллелизм, сумма углов в треугольнике и три случая, когда треугольники «равны» (имеют одинаковую площадь), среди многих других тем.

Позже самолет был описан в так называемом декартовой системе координат , в системе координат , которая определяет , каждую точку однозначно в плоскости с помощью пары численных координат , которые являются подписанными расстояниями от точки до двух фиксированных перпендикулярно направленных линий, измеренных в такая же единица длины . Каждая опорная линия называется координатной осью или просто осью системы, а точка, где они встречаются, является ее началом , обычно в упорядоченной паре (0, 0). Координаты также могут быть определены как положенияперпендикулярные проекции точки на две оси, выраженные расстоянием со знаком от начала координат.

Идея этой системы была развита в 1637 году в трудах Декарта и независимо Пьера де Ферма , хотя Ферма также работал в трех измерениях и не опубликовал открытие. ^[1] Оба автора использовали одну ось в своих исследованиях и измеряли переменную длину относительно этой оси. Концепция использования пары топоров была введена позже, после того, как в 1649 году Франсом ван Скутеном и его учениками была переведена на латынь « Геометрия» Декарта . Эти комментаторы представили несколько концепций, пытаясь прояснить идеи, содержащиеся в работе Декарта. ^[2]

Позже плоскость представлялась как поле , в котором любые две точки можно было умножить и, кроме 0, разделить. Это было известно как комплексная плоскость . Комплексную плоскость иногда называют плоскостью Аргана, потому что она используется в диаграммах Аргана. Они названы в честь Жана-Робера Аргана (1768–1822), хотя впервые были описаны датско-норвежским землеустроителем и математиком Каспаром Весселем (1745–1818). ^[3] Арганда диаграмма часто используется для построения позиций полюсов и нулей одного функции в комплексной плоскости.

В геометрии [ править ]

Системы координат [ править ]

В математике аналитическая геометрия (также называемая декартовой геометрией) описывает каждую точку в двумерном пространстве с помощью двух координат. Даны две перпендикулярные оси координат , которые пересекаются в начале координат . Обычно они обозначаются буквами x и y . Относительно этих осей положение любой точки в двумерном пространстве задается упорядоченной парой действительных чисел, каждое число дает расстояние от этой точки до начала координат, измеренное вдоль данной оси, которое равно расстоянию до этой оси. точка от другой оси.

Другая широко используется система координат является полярной системой координат , которая определяет точку с точкой зрения ее расстояния от начала координат и его угла относительно опорного луча вправо.

• Декартова система координат

• Полярная система координат

Многогранники [ править ]

В двух измерениях многогранников бесконечно много: многоугольники. Первые несколько обычных показаны ниже:

Выпуклый [ править ]

Символ Шлефли {p} представляет собой правильный p -угольник .

Вырожденный (сферический) [ править ]

Правильный моногон (или шестиугольник) {1} и правильный двуугольник {2} можно считать вырожденными правильными многоугольниками и невырожденно существовать в неевклидовых пространствах, таких как 2-сфера , 2-тор или прямоугольный круговой цилиндр .

Невыпуклый [ править ]

Существует бесконечно много невыпуклых правильных многогранников в двух измерениях, символы Шлефли которых состоят из рациональных чисел {n / m}. Они называются звездчатыми многоугольниками и имеют то же расположение вершин, что и выпуклые правильные многоугольники.

В общем, для любого натурального числа n существуют n-точечные невыпуклые правильные многоугольные звезды с символами Шлефли { n / m } для всех m таких, что m < n / 2 (строго говоря, { n / m } = { n / ( п - т )}) и м и п являются взаимно простыми .

Круг [ править ]

Гиперсфера в 2 -х измерениях является круг , который иногда называют 1-сферу ( S ¹ ) , потому что это одномерное многообразие . На евклидовой плоскости он имеет длину 2π r, а его внутренняя площадь равна

${\ Displaystyle А = \ пи г ^ {2}}$

где радиус.${\ displaystyle r}$

Другие формы [ править ]

Существует множество других изогнутых форм в двух измерениях, в том числе конические сечения : эллипс , парабола и гипербола .

В линейной алгебре [ править ]

Другой математический способ рассмотрения двумерного пространства - это линейная алгебра , где идея независимости имеет решающее значение. Самолет имеет два измерения, потому что длина прямоугольника не зависит от его ширины. На техническом языке линейной алгебры плоскость двумерна, потому что каждая точка на плоскости может быть описана линейной комбинацией двух независимых векторов .

Точечное произведение, угол и длина [ править ]

Скалярное произведение двух векторов A = [ A ₁ , A ₂ ] и B = [ B ₁ , B ₂ ] определяется как: ^[4]

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = A_ {1} B_ {1} + A_ {2} B_ {2}}$

Вектор можно представить в виде стрелки. Его величина - это его длина, а его направление - это направление, указанное стрелкой. Величина вектора A обозначается . С этой точки зрения скалярное произведение двух евклидовых векторов A и B определяется формулой ^[5]${\ Displaystyle \ | \ mathbf {A} \ |}$

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

где θ представляет собой угол между A и B .

Скалярное произведение вектора A само по себе есть

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},}$

который дает

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},}$

формула евклидовой длины вектора.

В исчислении [ править ]

Градиент [ править ]

В прямоугольной системе координат градиент задается формулой

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} }$

Линейные интегралы и двойные интегралы [ править ]

Для некоторого скалярного поля f  : U ⊆ R ² → R линейный интеграл вдоль кусочно гладкой кривой C ⊂ U определяется как

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$

где r : [a, b] → C - произвольная биективная параметризация кривой C такая, что r ( a ) и r ( b ) задают концы кривой C и .${\displaystyle a<b}$

Для поля вектора F  : U ⊆ R ² → R ² , линия интегральной вдоль кусочно - гладкой кривой С ⊂ U , в направлении г , определяется как

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}$

где · представляет собой скалярное произведение и т : [а, Ь] → C является биективен параметризация кривой C таким образом, что г ( ) и г ( б ) дают конечные точки С .

Двойной интеграл относится к интегралу в пределах области D в R ² в виде функции и обычно записывается в виде:${\displaystyle f(x,y),}$

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\,dx\,dy.}$

Основная теорема линейных интегралов [ править ]

Основная теорема линейных интегралов говорит о том , что криволинейный интеграл через градиент поля может быть оценена путем оценки исходной скалярного поля на концах кривой.

Пусть . потом${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .}$

Теорема Грина [ править ]

Пусть С будет положительно ориентированным , кусочно - гладким , простой замкнутой кривой в плоскости , и пусть D будет областью , ограниченная С . Если L и M - функции от ( x , y ), определенные на открытой области, содержащей D, и имеют там непрерывные частные производные , то ^{[6] [7]}

${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$

где путь интегрирования по C идет против часовой стрелки .

В топологии [ править ]

В топологии плоскость характеризуется как единственное стягиваемое двумерное многообразие .

Его размерность характеризуется тем, что удаление точки с плоскости оставляет пространство связным, а не односвязным .

В теории графов [ править ]

В теории графов , плоский граф является графом , который может быть встроен в плоскости, то есть, он может быть нарисован на плоскости таким образом , что его ребра пересекаются только на их концах. Другими словами, его можно нарисовать таким образом, чтобы никакие грани не пересекались. ^[8] Такой рисунок называется плоским графом или планарным вложением графа . Плоский граф можно определить как планарный граф с отображением каждого узла в точку на плоскости и от каждого ребра до плоской кривой на этой плоскости, так что крайние точки каждой кривой - это точки, отображаемые с ее конца. узлы, и все кривые не пересекаются, кроме их крайних точек.

См. Также [ править ]

• Функция изображения

Ссылки [ править ]