Гиперболическая геометрия

Прямые, проходящие через заданную точку P и асимптотические до прямой R

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

В математике , гиперболической геометрии (также называемая геометрия Лобачевского или Больяй - Лобачевского геометрия ) является неевклидова геометрия . Параллельный постулат о евклидовой геометрии заменяются:

Для любой данной линии R и точка P не на R , в плоскости , содержащей как линия R и точка P есть, по крайней мере , две различные линии через P , которые не пересекаются R .

(сравните это с аксиомой Playfair в , современную версию Евклида «s постулата )

Геометрия гиперболической плоскости - это также геометрия седловых поверхностей и псевдосферических поверхностей , поверхностей с постоянной отрицательной гауссовой кривизной .

Современное использование гиперболической геометрии находится в специальной теории относительности , особенно в пространстве-времени Минковского и гировекторном пространстве .

Когда геометры впервые осознали, что работают с чем-то другим, кроме стандартной евклидовой геометрии, они описали свою геометрию под разными именами; Феликс Кляйн, наконец, дал предмету название гиперболическая геометрия, чтобы включить его в редко используемую сейчас последовательную эллиптическую геометрию ( сферическую геометрию ), параболическую геометрию ( евклидову геометрию ) и гиперболическую геометрию. В бывшем Советском Союзе ее обычно называют геометрией Лобачевского в честь одного из ее первооткрывателей, русского геометра Николая Лобачевского .

Эта страница в основном посвящена двумерной (плоской) гиперболической геометрии, а также различиям и сходству между евклидовой и гиперболической геометрией.

Гиперболическая геометрия может быть расширена до трех и более измерений; см. гиперболическое пространство для получения дополнительной информации о трех и более многомерных случаях.

Свойства [ править ]

Связь с евклидовой геометрией [ править ]

Гиперболическая геометрия более тесно связана с евклидовой геометрией, чем кажется: единственное аксиоматическое различие - это постулат параллельности . Когда постулат параллельности удаляется из евклидовой геометрии, в результате получается абсолютная геометрия . Есть два вида абсолютной геометрии: евклидова и гиперболическая. Все теоремы абсолютной геометрии, в том числе первых 28 положений книги одного из Евклида элементов , справедливы и в евклидовой и гиперболической геометрии. Предложения 27 и 28 Первой книги Элементов Евклида доказывают существование параллельных / непересекающихся прямых.

Это различие также имеет множество последствий: концепции, эквивалентные в евклидовой геометрии, не эквивалентны в гиперболической геометрии; необходимо вводить новые концепции. Кроме того, из-за угла параллельности гиперболическая геометрия имеет абсолютный масштаб , соотношение между измерениями расстояния и угла.

Линии [ править ]

Одиночные прямые в гиперболической геометрии обладают точно такими же свойствами, что и одиночные прямые в евклидовой геометрии. Например, две точки однозначно определяют линию, и отрезки линии могут быть бесконечно удлинены.

Две пересекающиеся прямые имеют те же свойства, что и две пересекающиеся линии в евклидовой геометрии. Например, две различные линии могут пересекаться не более чем в одной точке, пересекающиеся линии образуют равные противоположные углы, а смежные углы пересекающихся линий являются дополнительными .

Когда вводится третья линия, могут быть свойства пересекающихся линий, которые отличаются от пересекающихся линий в евклидовой геометрии. Например, для данных двух пересекающихся прямых существует бесконечно много прямых, которые не пересекают ни одну из данных прямых.

Все эти свойства не зависят от используемой модели , даже если линии могут выглядеть радикально иначе.

Непересекающиеся / параллельные линии [ править ]

Непересекающиеся прямые в гиперболической геометрии также обладают свойствами, которые отличаются от непересекающихся прямых в евклидовой геометрии :

Для любой линии R и любой точки Р , не лежат на R , в плоскости , содержащей линии R и точка P есть, по крайней мере , две различные линии через P , которые не пересекаются R .

Это означает , что существует через Р бесконечное число планарных линий , которые не пересекаются R .

Эти непересекающиеся линии делятся на два класса:

• Две прямые ( x и y на диаграмме) являются ограничивающими параллелями (иногда называемыми критически параллельными, горопараллельными или просто параллельными): есть одна в направлении каждой из идеальных точек на «концах» R , асимптотически приближаясь к R , всегда приближается к R , но никогда не встречает его.
• Все другие непересекающиеся линии имеют точку минимального расстояния и расходятся с обеих сторон этой точки и называются ультрапараллельными , расходящимися параллельными или иногда непересекающимися.

Некоторые геометры просто используют параллельные линии вместо ограничения параллельных линий, причем ультрапараллельные линии просто не пересекаются .

Эти предельные параллели составляют угол θ с PB ; этот угол зависит только от гауссовой кривизны плоскости и расстояния PB и называется углом параллельности .

Для ультрапараллельных прямых теорема ультрапараллельности утверждает, что в гиперболической плоскости существует единственная линия, перпендикулярная каждой паре ультрапараллельных прямых.

Круги и диски [ править ]

В гиперболической геометрии длина окружности радиуса r больше, чем .${\ displaystyle 2 \ pi r}$

Пусть , где - гауссова кривизна плоскости. В гиперболической геометрии отрицательно, поэтому квадратный корень имеет положительное число.${\ displaystyle R = {\ frac {1} {\ sqrt {-K}}}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$

Тогда длина окружности радиуса r равна:

${\ displaystyle 2 \ pi R \ sinh {\ frac {r} {R}} \ ,.}$

А площадь прилагаемого диска составляет:

${\ Displaystyle 4 \ pi R ^ {2} \ sinh ^ {2} {\ frac {r} {2R}} = 2 \ pi R ^ {2} \ left (\ cosh {\ frac {r} {R} } -1 \ right) \ ,.}$

Следовательно, в гиперболической геометрии отношение длины окружности к ее радиусу всегда строго больше , хотя его можно сделать произвольно близким, выбрав достаточно маленький круг.${\ displaystyle 2 \ pi}$

Если гауссова кривизна плоскости равна -1, то геодезическая кривизна окружности радиуса r равна: ^[1]${\ displaystyle {\ frac {1} {\ tanh (r)}}}$

Гиперциклы и орициклы [ править ]

В гиперболической геометрии нет линии, которая осталась бы на одинаковом расстоянии от другой. Вместо этого точки, которые все имеют одинаковое ортогональное расстояние от данной линии, лежат на кривой, называемой гиперциклом .

Другая особая кривая - орицикл , кривая, нормальные радиусы которой ( перпендикулярные линии) все ограничены параллельно друг другу (все асимптотически сходятся в одном направлении к одной и той же идеальной точке , центру орицикла).

Через каждую пару точек проходит по два орицикла. Центры орициклов являются идеальными точками этого перпендикуляра из отрезка между ними.

Для любых трех различных точек все они лежат на прямой, гиперцикле , орицикле или окружности.

Длина от линейного сегмента является самой короткой длиной между двумя точками. Длина дуги гиперцикла, соединяющего две точки, больше, чем у отрезка прямой, и короче, чем у орицикла, соединяющего те же две точки. Длины дуги обоих орициклов, соединяющих две точки, равны. Длина дуги окружности между двумя точками больше, чем длина дуги орицикла, соединяющего две точки.

Если гауссова кривизна плоскости равна −1, то геодезическая кривизна орицикла равна 1, а гиперцикла - от 0 до 1. ^[1]

Треугольники [ править ]

В отличие от евклидовых треугольников, в которых сумма углов всегда равна π радиан (180 °, прямой угол ), в гиперболической геометрии сумма углов гиперболического треугольника всегда строго меньше π радиан (180 °, прямой угол ). Разница называется дефектом .

Площадь гиперболического треугольника задаются его дефектом в радианах , умноженных на R ² . Как следствие, все гиперболические треугольники имеют площадь, меньшую или равную R ² π. Площадь гиперболического идеального треугольника, в котором все три угла равны 0 °, равна этому максимуму.

Как и в евклидовой геометрии , каждый гиперболический треугольник имеет вписанную окружность . В гиперболической геометрии, если все три его вершины лежат на орицикле или гиперцикле , треугольник не имеет описанной окружности .

Как и в сферической и эллиптической геометрии , в гиперболической геометрии, если два треугольника подобны, они должны быть конгруэнтными.

Обычный апейрогон [ править ]

Особый многоугольник в гиперболической геометрии - это правильный апейрогон , равномерный многоугольник с бесконечным числом сторон.

В евклидовой геометрии единственный способ построить такой многоугольник - это сделать так, чтобы длины сторон стремились к нулю, а апейрогон неотличим от круга, или сделать внутренние углы стремящимися к 180 градусам, а апейрогон приближается к прямой линии.

Однако в гиперболической геометрии у правильного апейрогона стороны любой длины (т. Е. Он остается многоугольником).

Биссектрисы стороны и угла будут, в зависимости от длины стороны и угла между сторонами, ограничивать или расходиться параллельно (см. Линии выше ). Если биссектрисы ограничивают параллель, апейрогон можно вписать и описать концентрическими орициклами .

Если биссектрисы расходятся параллельно, то псевдогон (явно отличный от апейрогона) может быть вписан в гиперциклы (все вершины находятся на одинаковом расстоянии от прямой, оси, а также середины боковых сегментов, все равноудалены от одной оси. )

Тесселяции [ править ]

Как и в случае с евклидовой плоскостью, гиперболическую плоскость можно составить мозаикой, используя правильные многоугольники в качестве граней .

Существует бесконечное число однородных мозаик, основанных на треугольниках Шварца ( p q r ), где 1 / p + 1 / q + 1 / r <1, где p ,  q ,  r - каждый порядок симметрии отражения в трех точках фундаментальный треугольник области , группа симметрии является гиперболической группой треугольника . Существует также бесконечно много однородных мозаик, которые не могут быть созданы из треугольников Шварца, для некоторых из них, например, требуются четырехугольники в качестве фундаментальных областей. ^[2]

Стандартизированная гауссова кривизна [ править ]

Хотя гиперболическая геометрия применима к любой поверхности с постоянной отрицательной гауссовой кривизной , обычно предполагается масштаб, в котором кривизна K равна −1.

Это приводит к упрощению некоторых формул. Вот несколько примеров:

• Площадь треугольника равна его угловому отклонению в радианах .
• Площадь орициклического сектора равна длине его орициклической дуги.
• Дуга орицикла , касающаяся одной конечной точки и ограничивающая параллель радиусу через другую конечную точку, имеет длину 1. ^[3]
• Отношение длин дуги между двумя радиусами двух концентрических орициклов, где орициклы находятся на расстоянии 1 друг от друга, равно e  : 1. ^[3]

Декартовы системы координат [ править ]

В гиперболической геометрии сумма углов четырехугольника всегда меньше 360 градусов, а гиперболические прямоугольники сильно отличаются от евклидовых прямоугольников, поскольку нет эквидистантных линий, поэтому правильный евклидов прямоугольник должен быть окружен двумя линиями и двумя гиперциклами. . Все это усложняет системы координат.

Однако существуют разные системы координат для геометрии гиперболической плоскости. Все они основаны на выборе точки (начала координат) на выбранной направленной линии ( ось x ), после чего существует множество вариантов.

Координаты Лобачевского x и y находятся путем опускания перпендикуляра на ось x . x будет меткой основания перпендикуляра. y будет расстоянием вдоль перпендикуляра данной точки от ее основания (положительное с одной стороны и отрицательное с другой).

Другая система координат измеряет расстояние от точки до орицикла через начало координат с центром вокруг и длину вдоль этого орицикла. ^[4]${\ displaystyle (0, + \ infty)}$

Другие системы координат используют модель Клейна или модель диска Пуанкаре, описанную ниже, и принимают евклидовы координаты как гиперболические.

Расстояние [ править ]

Постройте декартову систему координат следующим образом. Выберите прямую ( ось x ) в гиперболической плоскости (со стандартизированной кривизной −1) и пометьте точки на ней по их расстоянию от исходной точки ( x = 0) на оси x (положительное с одной стороны и отрицательный с другой). Для любой точки на плоскости можно определить координаты x и y , опустив перпендикуляр на ось x . x будет меткой основания перпендикуляра. y будет расстоянием вдоль перпендикуляра данной точки от ее основания (положительное с одной стороны и отрицательное с другой). Тогда расстояние между двумя такими точками будет ^{[цитата необходима ]}

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2} \ rangle) = \ operatorname {arcosh} \ left (\ cosh y_ { 1} \ cosh (x_ {2} -x_ {1}) \ cosh y_ {2} - \ sinh y_ {1} \ sinh y_ {2} \ right) \ ,.}$

Эта формула может быть получена из формул о гиперболических треугольниках .

, Соответствующий метрический тензор: .${\ Displaystyle (\ mathrm {d} s) ^ {2} = \ cosh ^ {2} y \, (\ mathrm {d} x) ^ {2} + (\ mathrm {d} y) ^ {2} }$

В этой системе координат прямые либо перпендикулярны оси x (с уравнением x = константа), либо описываются уравнениями вида

${\displaystyle \tanh y=A\cosh x+B\sinh x\quad {\text{ when }}\quad A^{2}<1+B^{2}}$

где A и B - действительные параметры, характеризующие прямую.

История [ править ]

С момента публикации « Элементов» Евклида около 300 г. до н. Э. Многие геометры предпринимали попытки доказать параллельный постулат . Некоторые пытались доказать это, допуская его отрицание и пытаясь вывести противоречие . Первыми среди них были Прокл , Ибн аль-Хайтам (Альхасен), Омар Хайям , ^[5] Насир ад-Дин ат-Туси , Витело , Герсонид , Альфонсо , а позже Джованни Героламо Саккери , Джон Уоллис , Иоганн Генрих Ламберт и Леджендр . ^[6]Их попытки были обречены на провал (как мы теперь знаем, постулат параллельности нельзя доказать с помощью других постулатов), но их усилия привели к открытию гиперболической геометрии.

Теоремы Alhacen, Хайям и ал-Туси на четырехугольников , в том числе четырехугольника Ибн аль-Хайтам-Lambert и Хайям-Саккери четырехугольника , были первые теоремы о гиперболической геометрии. Их работы по гиперболической геометрии оказали значительное влияние на ее развитие среди более поздних европейских геометров, включая Витело, Герсонидеса, Альфонсо, Джона Уоллиса и Саккери. ^[7]

В 18 веке Иоганн Генрих Ламберт ввел гиперболические функции ^[8] и вычислил площадь гиперболического треугольника . ^[9]

События 19 века [ править ]

В XIX веке гиперболическая геометрия широко исследовалась Николаем Ивановичем Лобачевским , Яношом Бойяи , Карлом Фридрихом Гауссом и Францем Тауринусом . В отличие от своих предшественников, которые просто хотели исключить параллельный постулат из аксиом евклидовой геометрии, эти авторы осознали, что открыли новую геометрию. ^{[10] [11]} Гаусс написал в 1824 году в письме Францу Таурину, что он построил его, но Гаусс не опубликовал свою работу. Гаусс назвал это « неевклидовой геометрией » ^[12].заставляя некоторых современных авторов продолжать рассматривать «неевклидову геометрию» и «гиперболическую геометрию» как синонимы. Таурин опубликовал результаты по гиперболической тригонометрии в 1826 году, утверждал, что гиперболическая геометрия самосогласован, но все же верил в особую роль евклидовой геометрии. Полная система гиперболической геометрии была опубликована Лобачевским в 1829/1830 годах, а Бойяи открыл ее независимо и опубликовал в 1832 году.

В 1868 году Эухенио Бельтрами предоставил модели (см. Ниже) гиперболической геометрии и использовал их, чтобы доказать, что гиперболическая геометрия была непротиворечивой тогда и только тогда, когда была евклидова геометрия.

Термин «гиперболическая геометрия» был введен Феликсом Клейном в 1871 году. ^[13] Кляйн последовал инициативе Артура Кэли, чтобы использовать преобразования проективной геометрии для получения изометрий . Идея заключалась в использовании конического сечения или квадрики для определения области и использования поперечного отношения для определения метрики . Проективные преобразования, которые оставляют коническое сечение или квадрику устойчивыми, являются изометриями. «Кляйн показал, что если абсолют Кэли - вещественная кривая, то часть проективной плоскости внутри нее изометрична гиперболической плоскости ...»^[14]

Для получения дополнительной информации см. Статью о неевклидовой геометрии и ссылки Кокстера ^[15] и Милнора . ^[16]

Философские следствия [ править ]

Открытие гиперболической геометрии имело важные философские последствия. До его открытия многие философы (например, Гоббс и Спиноза ) рассматривали философскую строгость в терминах «геометрического метода», имея в виду метод рассуждения, используемый в «Элементах» Евклида .

Кант в своей работе « Критика чистого разума» пришел к выводу, что пространство (в евклидовой геометрии ) и время не открываются людьми как объективные характеристики мира, но являются частью неизбежной систематической основы для организации нашего опыта. ^[17]

Говорят, что Гаусс ничего не публиковал о гиперболической геометрии из-за страха перед «возмущением беотийцев », которое разрушило бы его статус princeps mathematicorum (лат. «Князь математиков»). ^[18] «Шум беотийцев» приходил и уходил, дав толчок к большим улучшениям в математической строгости , аналитической философии и логике . Наконец, была доказана непротиворечивость гиперболической геометрии, и поэтому она является еще одной допустимой геометрией.

Геометрия Вселенной (только пространственные измерения) [ править ]

Поскольку евклидова, гиперболическая и эллиптическая геометрия согласованы друг с другом, возникает вопрос: какова реальная геометрия пространства, и если она гиперболическая или эллиптическая, какова ее кривизна?

Лобачевский уже пытался измерить кривизну Вселенной путем измерения параллакса от Sirius и лечения Сириуса в качестве идеальной точки с углом параллельности . Он понял, что его измерения были недостаточно точными, чтобы дать однозначный ответ, но он пришел к выводу, что если геометрия Вселенной является гиперболической, то абсолютная длина как минимум в миллион раз больше диаметра земной орбиты (2 000 000  АС , 10 парсека ). ^[19] Некоторые утверждают, что его измерения были методологически ошибочными. ^[20]

Анри Пуанкаре в своем мысленном эксперименте со сферным миром пришел к выводу, что повседневный опыт не обязательно исключает другие геометрии.

Гипотеза геометризации дает полный список из восьми возможностей фундаментальной геометрии нашего пространства. Проблема при определении того, какой из них применим, заключается в том, что для получения окончательного ответа нам нужно иметь возможность смотреть на чрезвычайно большие формы - намного больше, чем что-либо на Земле или, возможно, даже в нашей галактике. ^[21]

Геометрия Вселенной (специальная теория относительности) [ править ]

Специальная теория относительности ставит пространство и время на равные, так что каждый рассматривает геометрию единого пространства-времени вместо того, чтобы рассматривать пространство и время по отдельности. ^{[22] [23]} Геометрия Минковского заменяет геометрию Галилея (которая представляет собой трехмерное евклидово пространство со временем теории относительности Галилея ). ^[24]

В ОТО, а не рассматривать евклидовым, эллиптические и гиперболические геометрии, соответствующие геометрии , чтобы рассмотреть пространство Минковского , де Ситтера и анти-де Ситтера , ^{[25] [26]} , соответствующая нулю, положительной и отрицательной кривизны соответственно.

Гиперболическая геометрия входит в специальную теорию относительности через скорость , которая заменяет скорость и выражается гиперболическим углом . Изучение этой скоростной геометрии получило название кинематической геометрии . Пространство релятивистских скоростей имеет трехмерную гиперболическую геометрию, где функция расстояния определяется из относительных скоростей «близких» точек (скоростей). ^[27]

Физические реализации гиперболической плоскости [ править ]

Гиперболическая плоскость - это плоскость, на которой каждая точка является седловой . В евклидовом пространстве существуют различные псевдосферы, которые имеют конечную область постоянной отрицательной гауссовой кривизны.

По теореме Гильберта невозможно изометрически погрузить полную гиперболическую плоскость (полную регулярную поверхность постоянной отрицательной гауссовой кривизны ) в трехмерное евклидово пространство.

Другие полезные модели гиперболической геометрии существуют в евклидовом пространстве, в котором метрика не сохраняется. Особенно известная бумажная модель, основанная на псевдосфере , принадлежит Уильяму Терстону .

Искусство вязания крючком использовалось (см. Математика и искусство волокна § Вязание и вязание крючком ) для демонстрации гиперболических плоскостей, первая из которых была сделана Дайной Тайминя . ^[28]

В 2000 году Кейт Хендерсон продемонстрировал быстро изготавливаемую бумажную модель, получившую название « гиперболический футбольный мяч » (точнее, усеченная треугольная мозаика порядка 7 ). ^{[29] [30]}

Инструкции о том , как сделать гиперболическое стеганое одеяло, разработанный Геламаном Фергюсоном , ^[31] были сделаны доступными по Джеффу недель . ^[32]

Модели гиперболической плоскости [ править ]

Существуют различные псевдосферические поверхности , которые на большой площади имеют постоянную отрицательную гауссову кривизну, наиболее известная из них - псевдосфера .

Но проще делать гиперболическую геометрию на других моделях.

Есть четыре модели , обычно используемые для гиперболической геометрии: модели Клейна , то модели диска Пуанкаре , то полуплоскость модели Пуанкаре и Лоренца или гиперболоид модели . Эти модели определяют гиперболическую плоскость, которая удовлетворяет аксиомам гиперболической геометрии. Несмотря на их названия, первые три из упомянутых выше были введены как модели гиперболического пространства Бельтрами , а не Пуанкаре или Кляйном . Все эти модели могут быть расширены до других размеров.

Модель Бельтрами – Клейна [ править ]

Модель Бельтрами – Клейна , также известная как модель проективного диска, модель диска Клейна и модель Клейна , названа в честь Эудженио Бельтрами и Феликса Клейна .

Для двух измерений эта модель использует внутреннюю часть единичной окружности для полной гиперболической плоскости , а хорды этой окружности являются гиперболическими линиями.

Для более высоких измерений эта модель использует внутреннюю часть единичного шара , а хорды этого n -шара являются гиперболическими линиями.

• Эта модель имеет преимущество в том, что линии прямые, но недостаток в том, что углы искажены (отображение не конформно ), а также круги не отображаются как круги.
• Расстояние в этой модели составляет половину логарифма перекрестного отношения , которое было введено Артуром Кэли в проективной геометрии .

Модель диска Пуанкаре [ править ]

Модель диска Пуанкаре , также известная как модель конформного диска, также использует внутреннюю часть единичной окружности , но линии представлены дугами окружностей, которые ортогональны граничной окружности, плюс диаметры граничной окружности.

• Эта модель сохраняет углы и, следовательно, является конформной . Следовательно, все изометрии в этой модели являются преобразованиями Мёбиуса .
• Круги полностью внутри диска остаются кругами, хотя евклидов центр круга ближе к центру диска, чем гиперболический центр круга.
• Ооциклы - это окружности внутри диска, которые касаются граничной окружности без точки контакта.
• Гиперциклы - это хорды с открытыми концами и дуги окружности внутри диска, которые заканчиваются на граничной окружности под неортогональными углами.

Модель полуплоскости Пуанкаре [ править ]

Модель полуплоскости Пуанкаре принимает половину евклидовой плоскости, ограниченную линией B плоскости, как модель гиперболической плоскости. Линия B не включена в модель.

Евклидова плоскость может быть принята за плоскость с декартовой системой координат, а ось x - за линию B, а полуплоскость - это верхняя половина ( y > 0) этой плоскости.

• Гиперболические линии затем либо наполовину окружностей , ортогональных к B или лучи , перпендикулярные B .
• Длина интервала на луче определяется логарифмической мерой, поэтому он инвариантен относительно гомотетического преобразования ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,\lambda y),\quad \lambda >0.}$
• Как и модель диска Пуанкаре, эта модель сохраняет углы и, следовательно, является конформной . Таким образом, все изометрии в этой модели являются преобразованиями Мёбиуса плоскости.
• Модель полуплоскости - это предел модели диска Пуанкаре, граница которого касается B в той же точке, а радиус модели диска стремится к бесконечности.

Модель гиперболоида [ править ]

Модель гиперболоида или модель Лоренца использует двумерный гиперболоид вращения (из двух листов, но с использованием одного), вложенный в трехмерное пространство Минковского . Эту модель обычно приписывают Пуанкаре, но Рейнольдс ^[33] говорит, что Вильгельм Киллинг использовал эту модель в 1885 году.

• Эта модель имеет прямое приложение к специальной теории относительности , поскольку 3-пространство Минковского является моделью пространства-времени , подавляющего одно пространственное измерение. Можно использовать гиперболоид для представления событий, которых различные движущиеся наблюдатели, излучающие наружу в пространственной плоскости из одной точки, достигнут за фиксированное собственное время .
• Гиперболическое расстояние между двумя точками на гиперболоиде затем можно определить с помощью относительной скорости между двумя соответствующими наблюдателями.
• Модель непосредственно обобщается на дополнительное измерение, где трехмерная гиперболическая геометрия относится к 4-пространству Минковского.

Модель полушария [ править ]

Модель полушария не часто используется как модель сама по себе, но она функционирует как полезный инструмент для визуализации преобразований между другими моделями.

Модель полушария использует верхнюю половину единичной сферы :${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,z>0.}$

Гиперболические линии представляют собой полукруги, ортогональные границе полушария.

Модель полусферы является частью сферы Римана , и разные проекции дают разные модели гиперболической плоскости:

• Стереографическая проекция из на плоскость проектов соответствующих точек на диске модели Пуанкаре${\displaystyle (0,0,-1)}$${\displaystyle z=0}$
• Стереографическая проекция из на поверхность проектов соответствующих точек на гиперболоида модели${\displaystyle (0,0,-1)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1,z>0}$
• Стереографическая проекция из на плоскость проектов соответствующих точек на полуплоскости модели Пуанкаре${\displaystyle (-1,0,0)}$${\displaystyle x=1}$
• Ортографическая проекция на плоскость проецирует соответствующие точки на модели Бельтрами – Клейна .${\displaystyle z=C}$
• Центральная проекция из центра сферы на плоскость проецирует соответствующие точки на модели Ганса.${\displaystyle z=1}$

См. Далее: Связь между моделями (ниже)

Модель Ганса [ править ]

В 1966 году Дэвид Ганс предложил модель плоского гиперболоида в журнале American Mathematical Monthly . ^[34] Это ортографическая проекция модели гиперболоида на плоскость xy. Эта модель не так широко используется, как другие модели, но, тем не менее, весьма полезна для понимания гиперболической геометрии.

• В отличие от моделей Клейна или Пуанкаре, эта модель использует всю евклидову плоскость .
• Линии в этой модели представлены ветвями гиперболы . ^[35]

Модель группы [ править ]

В ленточной модели используется часть евклидовой плоскости между двумя параллельными линиями. ^[36] Расстояние сохраняется по одной линии через середину полосы. Предполагая, что диапазон задан как , показатель равен .${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|\operatorname {Im} z|<\pi /2\}}$${\displaystyle |dz|\sec(\operatorname {Im} z)}$

Связь между моделями [ править ]

Диск Пуанкаре, полусферическая и гиперболоидная модели связаны стереографической проекцией от −1. Модель Бельтрами – Клейна представляет собой ортографическую проекцию полусферической модели. Модель полуплоскости Пуанкаре здесь спроецирована из полусферической модели лучами с левого конца модели диска Пуанкаре.

По сути, все модели описывают одну и ту же структуру. Разница между ними в том, что они представляют собой разные карты координат, расположенные в одном и том же метрическом пространстве , а именно на гиперболической плоскости. Характерной особенностью самой гиперболической плоскости является то, что она имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну , которая не зависит от используемой координатной карты. В геодезических являются так же инвариантны: то есть, Геодезической карта для геодезических при преобразовании координат. Гиперболическая геометрия обычно вводится в терминах геодезических и их пересечений на гиперболической плоскости. ^[37]

Выбрав координатную карту (одну из «моделей»), мы всегда можем встроить ее в евклидово пространство той же размерности, но вложение явно не изометрично (поскольку кривизна евклидова пространства равна 0). Гиперболическое пространство может быть представлено бесконечно большим количеством различных карт; но вложения в евклидово пространство из-за этих четырех конкретных диаграмм демонстрируют некоторые интересные характеристики.

Поскольку четыре модели описывают одно и то же метрическое пространство, каждая может быть преобразована в другую.

См. Например:

• связь модели Бельтрами – Клейна с моделью гиперболоида ,
• связь модели Бельтрами – Клейна с моделью диска Пуанкаре ,
• и связь модели диска Пуанкаре с моделью гиперболоида .

Изометрии гиперболической плоскости [ править ]

Любая изометрия ( преобразование или движение ) гиперболической плоскости самой себе может быть реализована как композиция не более трех отражений . В n- мерном гиперболическом пространстве может потребоваться до n +1 отражений. (Это также верно для евклидовой и сферической геометрий, но приведенная ниже классификация отличается.)

Все изометрии гиперболической плоскости можно разделить на эти классы:

• Сохранение ориентации
  • личность изометрия - Ничто не движется; нулевые отражения; нулевые степени свободы .
  • инверсия через точку (пол-оборота) - два отражения через взаимно перпендикулярные линии, проходящие через данную точку, т.е. поворот на 180 градусов вокруг точки; две степени свободы .
  • вращение вокруг нормальной точки - два отражения через линии, проходящие через данную точку (включая инверсию как частный случай); точки перемещаются по кругам вокруг центра; три степени свободы.
  • «вращение» вокруг идеальной точки (ороляция) - два отражения через линии, ведущие к идеальной точке; точки движутся по орициклам с центром в идеальной точке; две степени свободы.
  • перевод по прямой - два отражения по линиям, перпендикулярным данной линии; точки от заданной линии перемещаются по гиперциклам; три степени свободы.
• Изменение ориентации
  • отражение через линию - одно отражение; две степени свободы.
  • совместное отражение через линию и перенос по той же линии - отражение и перенос коммутируют; требуется три отражения; три степени свободы. ^{[ необходима цитата ]}

Гиперболическая геометрия в искусстве [ править ]

Знаменитые гравюры М.С. Эшера « Предел круга III» и « Предел круга IV» достаточно хорошо иллюстрируют модель конформного диска ( модель диска Пуанкаре ). Белые линии в III не совсем геодезические (это гиперциклы ), но близки к ним. Также можно совершенно ясно увидеть отрицательную кривизну гиперболической плоскости через ее влияние на сумму углов в треугольниках и квадратах.

Например, в Circle Limit III каждая вершина принадлежит трем треугольникам и трем квадратам. В евклидовой плоскости их углы в сумме составляют 450 °; т.е. круг и четверть. Отсюда мы видим, что сумма углов треугольника в гиперболической плоскости должна быть меньше 180 °. Еще одно видимое свойство - экспоненциальный рост . В Circle Limit III , например, можно увидеть , что количество рыб в пределах расстояния п от центра возрастает экспоненциально. У рыб равная гиперболическая площадь, поэтому площадь шара радиуса n должна экспоненциально возрастать по n .

Искусство вязания крючка уже было использовано для демонстрации гиперболической плоскости ( на фото выше) с первым существом , сделанного Дайной Тайминя , ^[28] , чья книга Вышивание Приключения с гиперболической Planes выиграл 2009 Bookseller / Diagram Prize за странное Название года . ^[38]

HyperRogue - это игра в жанре рогалик, основанная на различных мозаиках гиперболической плоскости .

Высшие измерения [ править ]

Гиперболическая геометрия не ограничивается двумя измерениями; гиперболическая геометрия существует для каждого большего числа измерений.

Однородная структура [ править ]

Гиперболическое пространство размерности n является частным случаем риманова симметрического пространства некомпактного типа, поскольку оно изоморфно факторпространству

${\displaystyle \mathrm {O} (1,n)/(\mathrm {O} (1)\times \mathrm {O} (n)).}$

Ортогональная группа O (1, п ) действует нормой сохраняющих преобразований на пространстве Минковского R ^{1, п} , и он действует транзитивно на два гиперболоида нормы 1 векторов. Времяподобные прямые (т. Е. С касательными с положительной нормой), проходящие через начало координат, проходят через противоположные точки в гиперболоиде, поэтому пространство таких прямых дает модель гиперболического n -пространства. Стабилизатор какой - либо конкретная линия изоморфен продукт ортогональной группы O ( п ) и O (1), где O ( п) действует в касательном пространстве точки гиперболоида, а O (1) отражает прямую, проходящую через начало координат. Многие элементарные понятия гиперболической геометрии могут быть описаны в терминах линейной алгебры : геодезические пути описываются пересечениями с плоскостями через начало координат, двугранные углы между гиперплоскостями могут быть описаны скалярными произведениями нормальных векторов, а группы гиперболических отражений могут быть заданы явным образом. матричные реализации.

В малых размерностях существуют исключительные изоморфизмы групп Ли, которые дают дополнительные способы рассмотрения симметрий гиперболических пространств. Например, в размерности 2 изоморфизмы SO ⁺ (1, 2) ≅ PSL (2, R ) ≅ PSU (1, 1) позволяют интерпретировать модель верхней полуплоскости как фактор SL (2, R ) / SO (2) и модель диска Пуанкаре как фактор SU (1, 1) / U (1) . В обоих случаях группы симметрии действуют посредством дробно-линейных преобразований, поскольку обе группы являются сохраняющими ориентацию стабилизаторами в PGL (2, C )соответствующих подпространств сферы Римана. Преобразование Кэли не только переводит одну модель гиперболической плоскости в другую, но и реализует изоморфизм групп симметрии как сопряжение в большей группе. В размерности 3 дробно-линейное действие PGL (2, C ) на сфере Римана отождествляется с действием на конформной границе гиперболического 3-пространства, индуцированным изоморфизмом O ⁺ (1, 3) ≅ PGL (2, C ). Это позволяет изучать изометрии гиперболического 3-пространства, рассматривая спектральные свойства репрезентативных комплексных матриц. Например, параболические преобразования сопряжены с жесткими переводами в модели верхнего полупространства, и это как раз те преобразования, которые могут быть представлены унипотентными верхнетреугольными матрицами.

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с гиперболической геометрией .

• А'Кампо, Норберт и Пападопулос, Атанас, (2012) Заметки о гиперболической геометрии , в: Страсбургский мастер-класс по геометрии, стр. 1–182, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, Vol. 18, Цюрих: Европейское математическое общество (EMS), 461 страница, SBN ISBN 978-3-03719-105-7 , DOI 10.4171 / 105. 
• Кокстер, HSM , (1942) Неевклидова геометрия , University of Toronto Press, Торонто
• Фенчел , Вернер (1989). Элементарная геометрия в гиперболическом пространстве . Де Грюйтер Исследования по математике. 11 . Берлин-Нью-Йорк: Walter de Gruyter & Co.
• Фенчел , Вернер ; Нильсен, Якоб (2003). Асмус Л. Шмидт (ред.). Разрывные группы изометрий в гиперболической плоскости . Де Грюйтер Исследования по математике. 29 . Берлин: Walter de Gruyter & Co.
• Лобачевский, Николай I., (2010) Пангеометрия , отредактированный и переведенный Атанасом Пападопулосом, Наследие европейской математики, Vol. 4. Цюрих: Европейское математическое общество (EMS). xii, 310 ~ р, ISBN 978-3-03719-087-6 / hbk 
• Милнор, Джон В. , (1982) Гиперболическая геометрия: первые 150 лет , Bull. Амер. Математика. Soc. (NS) Том 6, номер 1, стр. 9–24.
• Рейнольдс, Уильям Ф., (1993) Гиперболическая геометрия на гиперболоиде , American Mathematical Monthly 100: 442–455.
• Стиллвелл, Джон (1996). Источники гиперболической геометрии . История математики. 10 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0529-9. Руководство по ремонту  1402697 .
• Сэмюэлс, Дэвид, (март 2006 г.) Журнал Knit Theory Discover, том 27, номер 3.
• Джеймс У. Андерсон, гиперболическая геометрия , Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9 
• Джеймс В. Кэннон, Уильям Дж. Флойд, Ричард Кеньон и Уолтер Р. Парри (1997) Гиперболическая геометрия , Публикации ИИГС, том 31.

Внешние ссылки [ править ]

• Бесплатное программное обеспечение Javascript для создания эскизов в модели диска Пуанкаре гиперболической геометрии Университет Нью-Мексико
• "Песня о гиперболической геометрии" Небольшой видеоклип об основах гиперболической геометрии, доступный на YouTube.
• "Геометрия Лобачевского" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Пространство Гаусса – Бойяи – Лобачевского» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Гиперболическая геометрия" . MathWorld .
• Подробнее о гиперболической геометрии, включая фильмы и уравнения для преобразования между различными моделями Университет штата Иллинойс в Урбана-Шампейн
• Гиперболические диаграммы Вороного стали проще, Фрэнк Нильсен
• Стотерс, Уилсон (2000). «Гиперболическая геометрия» . Университет Глазго . Cite journal requires |journal= (help), интерактивный обучающий сайт.
• Гиперболические плоские мозаики
• Модели гиперболической плоскости.