Аффинная геометрия

В аффинной геометрии используется аксиома Playfair, чтобы найти прямую, проходящую через C1 и параллельную B1B2, и найти прямую, проходящую через B2 и параллельную B1C1: их пересечение C2 является результатом указанного переноса.

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

В математике , аффинная геометрия является то , что осталось от евклидовой геометрии , когда не используется (математики часто говорят « когда забывают» ^{[1] [2]} ) в метрическом Понятии расстояния и угла.

Поскольку понятие параллельных прямых является одним из основных свойств, не зависящих от какой-либо метрики, аффинная геометрия часто рассматривается как исследование параллельных прямых. Следовательно, аксиома Плейфэра ( если прямая L и точка P не на L, есть ровно одна прямая, параллельная L, которая проходит через P ), является фундаментальной в аффинной геометрии. Сравнение фигур в аффинной геометрии выполняется с помощью аффинных преобразований , которые представляют собой отображения, сохраняющие выравнивание точек и параллельность линий.

Аффинная геометрия может быть разработана двумя по существу эквивалентными способами. ^[3]

В синтетической геометрии , аффинное пространство представляет собой набор точек , к которым связанно множество линий, которые удовлетворяют некоторые аксиомы (например, аксиома Playfair компании).

Аффинная геометрия также может быть разработана на основе линейной алгебры . В этом контексте аффинное пространство - это набор точек, снабженный набором преобразований (то есть биективных отображений ), трансляций, которые образуют векторное пространство (над заданным полем , обычно действительными числами ), и таким, что для любого заданного упорядоченная пара точек есть уникальный перевод, отправляющий первую точку во вторую; композиция из двух переводов является их суммой в векторном пространстве переводов.

Говоря более конкретно, это равносильно наличию операции, которая связывает любую упорядоченную пару точек с вектором, и другой операции, которая позволяет переводить точку на вектор, чтобы получить другую точку; эти операции требуются для удовлетворения ряда аксиом (особенно, что два последовательных перевода имеют эффект перевода на вектор суммы). При выборе любой точки в качестве "начала координат" точки находятся во взаимно однозначном соответствии с векторами, но нет предпочтительного выбора для начала координат; таким образом, аффинное пространство можно рассматривать как полученное из связанного с ним векторного пространства путем «забвения» начала координат (нулевого вектора).

Хотя в этой статье обсуждаются только аффинные пространства , понятие «забвение метрики» является гораздо более общим и может применяться к произвольным многообразиям в целом. Это распространение понятия аффинных пространств на многообразия в целом развито в статье об аффинной связности .

История [ править ]

В 1748 году Леонард Эйлер ввел термин affine ^{[4] [5]} (лат. Affinis , «родственный») в своей книге Introductio in analysin infinitorum (том 2, глава XVIII). В 1827 году Август Мёбиус писал об аффинной геометрии в своей книге Der barycentrische Calcul (глава 3).

После того, как Феликс Клейн «ы программы Erlangen , аффинная геометрия была признана как обобщение евклидовой геометрии . ^[6]

В 1912 году Эдвин Б. Уилсон и Гилберт Н. Льюис разработали аффинную геометрию ^{[7] [8]} для выражения специальной теории относительности .

В 1918 году Герман Вейль упомянул аффинную геометрию в своем тексте « Пространство, время, материя» . Он использовал аффинную геометрию для введения векторов сложения и вычитания ^[9] на самых ранних этапах своего развития математической физики . Позднее ET Whittaker писал: ^[10]

Геометрия Вейля исторически интересна как первая из аффинных геометрий, которые были детально проработаны: она основана на особом типе параллельного переноса [... с использованием] мировых линий световых сигналов в четырехмерном пространстве-времени. Короткий элемент одной из этих мировых линий можно назвать нулевым вектором ; тогда рассматриваемый параллельный перенос таков, что он переносит любой нулевой вектор в одной точке в положение нулевого вектора в соседней точке.

В 1984 г. «аффинная плоскость, ассоциированная с лоренцевым векторным пространством L ² » была описана Грасиелой Бирман и Кацуми Номидзу в статье «Тригонометрия в лоренцевой геометрии». ^[11]

Системы аксиом [ править ]

Было предложено несколько аксиоматических подходов к аффинной геометрии:

Закон Паппа [ править ]

Поскольку аффинная геометрия имеет дело с параллельными линиями, одно из свойств параллелей, отмеченное Паппом Александрийским , было взято в качестве предпосылки: ^{[12] [13]}

• Если находятся на одной строке и на другой, то${\ displaystyle A, B, C}$${\ displaystyle A ', B', C '}$

${\displaystyle (AB'\parallel A'B\ \land \ BC'\parallel B'C)\Rightarrow CA'\parallel C'A.}$

Предлагаемая полная система аксиом включает точку , линию и линию, содержащие точку в качестве примитивных понятий :

• Две точки содержатся всего в одной строке.
• Для любой прямой l и любой точки P , не лежащей на l , существует только одна строка, содержащая P и не содержащая никакой точки l . Эта линия называется параллельной к л .
• Каждая строка содержит не менее двух точек.
• Есть как минимум три точки, не принадлежащие одной линии.

Согласно HSM Coxeter :

Интерес к этим пяти аксиомам усиливается тем фактом, что они могут быть развиты в обширный массив утверждений, применимых не только к евклидовой геометрии, но и к геометрии времени и пространства Минковского (в простом случае 1 + 1 измерений, тогда как специальной теории относительности нужно 1 + 3). Расширение до евклидовой или минковской геометрии достигается добавлением различных дополнительных аксиом ортогональности и т. Д. ^[14]

Различные типы аффинной геометрии соответствуют интерпретации вращения . Евклидова геометрия соответствует обычной идее вращения , а геометрия Минковского соответствует гиперболическому вращению . Что касается перпендикулярных линий, они остаются перпендикулярными, когда плоскость подвергается обычному вращению. В геометрии Минковского линии, которые являются гиперболо-ортогональными, остаются в этом отношении, когда плоскость подвергается гиперболическому вращению.

Упорядоченная структура [ править ]

Аксиоматическое рассмотрение плоской аффинной геометрии может быть построено на основе аксиом упорядоченной геометрии путем добавления двух дополнительных аксиом: ^[15]

1. ( Аффинная аксиома параллелизма ) Для точки A и прямой r, не проходящей через A, существует не более одной прямой, проходящей через A, которая не пересекает r.
2. ( Дезарг ) Даны семь различных точек A, A ', B, B', C, C ', O, таких, что AA', BB 'и CC' являются различными прямыми, проходящими через O, и AB параллельна A'B 'и BC параллельна B'C ', тогда AC параллельна A'C'.

Аффинная концепция параллелизма формирует отношение эквивалентности на прямых. Поскольку аксиомы упорядоченной геометрии, представленные здесь, включают свойства, которые подразумевают структуру действительных чисел, эти свойства переносятся здесь, так что это аксиоматизация аффинной геометрии над полем действительных чисел.

Тернарные кольца [ править ]

Первая недезарговская плоскость была отмечена Дэвидом Гильбертом в его « Основах геометрии» . ^[16] Моултон плоскость является стандартной иллюстрацией. Чтобы обеспечить контекст для такой геометрии, а также для тех, в которых верна теорема Дезарга , была разработана концепция троичного кольца.

Рудиментарные аффинные плоскости строятся из упорядоченных пар, взятых из тройного кольца. Говорят, что плоскость обладает «второстепенным аффинным свойством Дезарга», когда два треугольника в параллельной перспективе, имеющие две параллельные стороны, также должны иметь параллельные третьи стороны. Если это свойство выполняется в рудиментарной аффинной плоскости, определенной тернарным кольцом, то существует отношение эквивалентности между «векторами», определяемыми парами точек из плоскости. ^[17] Кроме того, векторы образуют абелеву группу при сложении, тернарное кольцо линейно и удовлетворяет правой дистрибутивности:

( a + b ) c = ac + bc .

Аффинные преобразования [ править ]

Геометрически аффинные преобразования (аффинности) сохраняют коллинеарность: поэтому они преобразуют параллельные прямые в параллельные и сохраняют соотношение расстояний вдоль параллельных линий.

Мы идентифицируем как аффинные теоремы любой геометрический результат, инвариантный относительно аффинной группы (в программе Феликса Кляйна на Эрлангене это основная группа преобразований симметрии для аффинной геометрии). Рассмотрим в векторном пространстве V , то линейная группа GL ( V ). Это не вся аффинная группа , потому что мы должны позволить также переводы с помощью векторов V в V . (Такой перевод переводит любой w из V в w + v.) Аффинная группа порождается общей линейной группой и переводами и фактически является их полупрямым произведением . (Здесь мы думаем о V как о группе при ее операции сложения и используем определяющее представление GL ( V ) на V для определения полупрямого произведения.)${\displaystyle V\rtimes \mathrm {GL} (V)}$

Например, теорема плоской геометрии треугольников о совпадении прямых, соединяющих каждую вершину, с серединой противоположной стороны (в центроиде или барицентре ) зависит от понятий средней точки и центроида как аффинных инвариантов. Другие примеры включают теоремы Чевы и Менелая .

Аффинные инварианты также могут помочь в вычислениях. Например, линии, разделяющие площадь треугольника на две равные половины, образуют конверт внутри треугольника. Отношение площади огибающей к площади треугольника является аффинно-инвариантным, поэтому его нужно рассчитать только из простого случая, такого как единичный равнобедренный прямоугольный треугольник, чтобы получить, например, 0,019860 ... или менее 2%, для всех треугольников.${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}$

Знакомые формулы, такие как половина основания, умноженная на высоту для площади треугольника, или треть основания, умноженное на высоту для объема пирамиды, также являются аффинными инвариантами. Хотя последнее менее очевидно, чем первое для общего случая, это легко увидеть для одной шестой единичного куба, образованного гранью (область 1) и средней точкой куба (высота 1/2). Следовательно, это справедливо для всех пирамид, даже для наклонных, вершина которых не находится непосредственно над центром основания, и пирамид с основанием в виде параллелограмма вместо квадрата. Формула далее обобщается на пирамиды, основание которых можно разрезать на параллелограммы, включая конусы, допуская бесконечное количество параллелограммов (с должным вниманием к сходимости). Тот же подход показывает, что четырехмерная пирамида имеет четырехмерный объем, составляющий четверть трехмерного объема ее.умножение основания параллелепипеда на высоту и т. д. для больших размеров.

Аффинное пространство [ править ]

Аффинная геометрия может рассматриваться как геометрия в аффинном пространстве заданной размерности п , координатизированы над полем K . Существует также (в двух измерениях) комбинаторное обобщение координатного аффинного пространства, развитое в синтетической конечной геометрии . В проективной геометрии аффинное пространство означает дополнение бесконечно удаленной гиперплоскости в проективном пространстве . Аффинное пространство также можно рассматривать как векторное пространство, операции которого ограничены теми линейными комбинациями, коэффициенты которых в сумме равны единице, например 2 x  -  y , x  - y  +  z , ( x  +  y  +  z ) / 3, i x  + (1 -  i ) y и т. д.

Синтетически аффинные плоскости - это двумерные аффинные геометрии, определенные в терминах отношений между точками и линиями (или иногда, в более высоких измерениях, гиперплоскостями ). Определяя аффинную (и проективную) геометрию как конфигурации точек и линий (или гиперплоскостей) вместо использования координат, можно получить примеры без полей координат. Главное свойство состоит в том, что все такие примеры имеют размерность 2. Конечные примеры в размерности 2 ( конечные аффинные плоскости ) оказались ценными при изучении конфигураций в бесконечных аффинных пространствах, в теории групп и в комбинаторике .

Несмотря на то, что они менее общие, чем конфигурационный подход, другие обсуждаемые подходы оказались очень успешными в освещении частей геометрии, связанных с симметрией .

Проективное представление [ править ]

В традиционной геометрии аффинная геометрия считается исследованием между евклидовой геометрией и проективной геометрией . С одной стороны, аффинная геометрия - это евклидова геометрия без сравнения ; с другой стороны, аффинная геометрия может быть получена из проективной геометрии путем обозначения конкретной линии или плоскости для представления точек на бесконечности . ^[18] В аффинной геометрии нет метрической структуры, но постулат параллельности соблюдается . Аффинная геометрия обеспечивает основу для евклидовой структуры, когда определены перпендикулярные линии, или основу для геометрии Минковского через понятиегиперболическая ортогональность . ^[19] С этой точки зрения, аффинное преобразование является проективное преобразование , что не переставляет конечных точек с точками на бесконечности, и аффинная геометрия преобразования является изучение геометрических свойств через действие в группе аффинных преобразований.

См. Также [ править ]

• Неевклидова геометрия

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра , глава 2: «Аффинная и проективная геометрия», Interscience Publishers .
• VG Ashkinuse & Яглом (1962) Идеи и методы аффинной и проективной геометрии (в русском ), Министерство образования, Москва.
• М.К. Беннетт (1995) Аффинная и проективная геометрия , John Wiley & Sons ISBN 0-471-11315-8 . 
• HSM Coxeter (1955) «Аффинная плоскость», Scripta Mathematica 21: 5–14, лекция, прочитанная перед Форумом Общества друзей Scripta Mathematica в понедельник, 26 апреля 1954 года.
• Феликс Кляйн (1939) Элементарная математика с продвинутой точки зрения: геометрия , перевод Э. Р. Хедрика и К. А. Нобла, стр. 70–86, Macmillan Company .
• Брюс Э. Мезерв (1955) « Фундаментальные концепции геометрии» , глава 5 «Аффинная геометрия», стр. 150–84, Addison-Wesley .
• Питер Шерк и Рольф Лингенберг (1975) Основы плоской аффинной геометрии , Математические выставки № 20, Университет Торонто Press .
• Ванда Шмилев (1984) От аффинной к евклидовой геометрии: аксиоматический подход , Д. Рейдел , ISBN 90-277-1243-3 . 
• Освальд Веблен (1918) Проективная геометрия , том 2, глава 3: Аффинная группа на плоскости, стр 70–118, Ginn & Company.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по аффинной геометрии .

• Питер Камерон «s проективного и аффинное Geometries из Лондонского университета .
• Жан Х. Галлье (2001). Геометрические методы и приложения для компьютерных наук и инженерии , глава 2: «Основы аффинной геометрии» (PDF), Springer Texts in Applied Mathematics # 38, онлайн-глава из Пенсильванского университета .