Дифференциальная геометрия

Треугольник, погруженный в седловидную плоскость ( гиперболический параболоид ), а также две расходящиеся ультрапараллельные прямые .

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / многомерный Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джишхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джишхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

Дифференциальная геометрия - это математическая дисциплина, которая использует методы дифференциального исчисления , интегрального исчисления , линейной алгебры и полилинейной алгебры для изучения проблем геометрии . Теории плоских и пространственных кривых и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве послужили основой для развития дифференциальной геометрии в 18 веке и 19 - го века.

С конца 19 века дифференциальная геометрия превратилась в область, в более общем плане занимающуюся геометрическими структурами дифференцируемых многообразий . Дифференциальная геометрия тесно связана с дифференциальной топологией и геометрическими аспектами теории дифференциальных уравнений . Дифференциальная геометрия поверхностей захватов многих из ключевых идей и методов , свойственных этой области.

История развития [ править ]

Этот раздел, возможно, содержит синтез материала, который достоверно не упоминает или не имеет отношения к основной теме. Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . ( Февраль 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в результате и в связи с математическим анализом кривых и поверхностей. ^[1] Математический анализ кривых и поверхностей был разработан, чтобы ответить на некоторые назойливые и оставшиеся без ответа вопросы, которые возникали в математике , например, причины взаимосвязей между сложными формами и кривыми, рядами и аналитическими функциями. Эти вопросы, оставшиеся без ответа, свидетельствовали о более тесных, скрытых отношениях.

Общая идея естественных уравнений для получения кривых из локальной кривизны, по-видимому, впервые была рассмотрена Леонардом Эйлером в 1736 году, а многие примеры с довольно простым поведением были изучены в 1800-х годах. ^[2]

Когда кривые, поверхности заключены кривыми, и были найдены точки на кривых , чтобы количественно, и , как правило, связанное с математическими формами, формальное изучение характера кривых и поверхностей стало полем исследования в своем собственном праве, с Монжем «с в 1795 году, и особенно с публикацией Гауссом его статьи под названием «Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas» в Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores в 1827 году ^[3].

Первоначально примененный к евклидову пространству, дальнейшие исследования привели к неевклидову пространству, а также метрическим и топологическим пространствам.

Филиалы [ править ]

Риманова геометрия [ править ]

Риманова геометрия изучает римановы многообразия , гладкие многообразия с римановой метрикой . Это понятие расстояния, выраженное посредством гладкой положительно определенной симметричной билинейной формы, определенной на касательном пространстве в каждой точке. Риманова геометрия обобщает евклидову геометрию на пространства, которые не обязательно являются плоскими, хотя они все еще напоминают евклидово пространство в каждой точке бесконечно малой степени, то есть в первом порядке приближения . Различные концепции , основанные на длину, такие как длина дуги из кривых , площадь плоских областей, иобъем твердых тел имеет естественные аналоги в римановой геометрии. Понятие производной по направлению функции от многовариантного исчисления удлиняется в римановой геометрии к понятию ковариантной производной от более тензора . Многие концепции и методы анализа и дифференциальных уравнений были обобщены на случай римановых многообразий.

Сохраняющий расстояние диффеоморфизм между римановыми многообразиями называется изометрией . Это понятие также можно определить локально , т. Е. Для малых окрестностей точек. Любые две правильные кривые локально изометричны. Тем не менее, Theorema Egregium из Гаусса показал , что для поверхностей, существование локальной изометрии накладывает жесткие условия совместимости на их метриках: при гауссовой кривизне в соответствующих точках должна быть одинаковой. В более высоких измерениях тензор кривизны Римана- важный точечный инвариант, связанный с римановым многообразием, который измеряет, насколько оно близко к плоскому. Важным классом римановых многообразий являются римановы симметрические пространства , кривизна которых не обязательно постоянна. Это наиболее близкие аналоги «обычных» плоскости и пространства, рассматриваемые в евклидовой и неевклидовой геометрии .

Псевдориманова геометрия [ править ]

Псевдориманова геометрия обобщает риманову геометрию на случай, когда метрический тензор не обязательно должен быть положительно определенным . Частным случаем этого является лоренцево многообразие , которое является математической основой общей теории относительности гравитации Эйнштейна .

Геометрия Финслера [ править ]

Основным объектом изучения финслеровой геометрии являются финслеровы многообразия . Это дифференциальное многообразие с финслеровой метрикой , то есть банаховой нормой, определенной на каждом касательном пространстве. Римановы многообразия являются частными случаями более общих финслеровых многообразий. Финслеровой структурой на многообразии M называется функция F  : T M → [0, ∞) такая, что:

1. F ( x , my ) = m F ( x , y ) для всех ( x , y ) в T M и всех m ≥0 ,
2. F бесконечно дифференцируем в T M ∖ {0} ,
3. Вертикальный гессиан F ² положительно определен.

Симплектическая геометрия [ править ]

Симплектическая геометрия - это изучение симплектических многообразий . Почти симплектическое многообразие является дифференцируемым многообразием , снабженным плавно меняющейся невырожденной кососимметрической билинейной формой на каждом касательном пространстве, т.е. невырожденной 2- формы со , называется симплектическая формой . Симплектическое многообразие - это почти симплектическое многообразие, для которого симплектическая форма ω замкнута: d ω = 0 .

Диффеоморфизм между двумя симплектическими многообразиями, сохраняет симплектическую форму называется симплектоморфизмом . Невырожденные кососимметричные билинейные формы могут существовать только на четномерных векторных пространствах, поэтому симплектические многообразия обязательно имеют четную размерность. В размерности 2 симплектическое многообразие - это просто поверхность, наделенная формой площади, а симплектоморфизм - это диффеоморфизм, сохраняющий площадь. Фазовое пространство механической системы является симплектическим многообразием , и они сделали неявный вид уже в работе Жозеф Луи Лагранж по аналитической механике , а затем в Карл Густав Якоби «s и Уильям Роуэн Гамильтонрусские формулировки классической механики .

В отличие от римановой геометрии, где кривизна обеспечивает локальный инвариант римановых многообразий, теорема Дарбу утверждает, что все симплектические многообразия локально изоморфны. Единственные инварианты симплектического многообразия глобальны по своей природе, и топологические аспекты играют заметную роль в симплектической геометрии. Первым результатом в симплектической топологии, вероятно, является теорема Пуанкаре – Биркгофа , предположенная Анри Пуанкаре и затем доказанная Г. Д. Биркгофом в 1912 году. Она утверждает, что если сохраняющее площадь отображение кольца скручивает каждую граничную компоненту в противоположных направлениях, то отображение имеет не менее двух фиксированных точек. ^[4]

Контактная геометрия [ править ]

Контактная геометрия имеет дело с некоторыми многообразиями нечетной размерности. Она близка к симплектической геометрии и, как и последняя, ​​возникла из вопросов классической механики. Контактная структура на (2 п + 1) n - мерного многообразия M задается гладкой гиперплоскость поля Н в касательном расслоении , который, насколько это возможно от быть связано с множеств уровня дифференцируемой функции на М (технический термин является «полностью неинтегрируемым касательным распределением гиперплоскостей»). Вблизи каждой точки p гиперплоскостное распределение определяется нигде не исчезающей 1-формой ${\ displaystyle \ alpha}$, которая уникальна с точностью до умножения на нигде не исчезающую функцию:

${\ Displaystyle H_ {p} = \ ker \ alpha _ {p} \ subset T_ {p} M.}$

Локальная 1-форма на M называется контактной, если ограничение ее внешней производной на H является невырожденной двумерной формой и, таким образом, индуцирует симплектическую структуру на H _p в каждой точке. Если распределение H может быть определено глобальной одномерной формой, то эта форма является контактной тогда и только тогда, когда форма верхней размерности${\ displaystyle \ alpha}$

${\displaystyle \alpha \wedge (d\alpha )^{n}}$

является формой объема на M , т.е. никуда не исчезает. Справедлив контактный аналог теоремы Дарбу: все контактные структуры на нечетномерном многообразии локально изоморфны и могут быть приведены к некоторой локальной нормальной форме путем подходящего выбора системы координат.

Сложная и кэлерова геометрия [ править ]

Комплексная дифференциальная геометрия - это изучение комплексных многообразий . Почти комплексное многообразие является реальным многообразием , наделенным тензором от типа (1, 1), то есть векторное расслоение эндоморфизмов (называется почти комплексная структура )${\displaystyle M}$

${\displaystyle J:TM\rightarrow TM}$, так что ${\displaystyle J^{2}=-1.\,}$

Из этого определения следует, что почти комплексное многообразие четномерно.

Почти комплексное многообразие называется комплексным, если , где - тензор типа (2, 1), связанный с , называемый тензором Нейенхейса (или иногда кручением ). Почти комплексное многообразие комплексно тогда и только тогда, когда оно допускает голоморфный координатный атлас . Почти эрмитова структура задаются почти комплексная структура J , наряду с римановой метрикой г , удовлетворяющим условие совместимости${\displaystyle N_{J}=0}$${\displaystyle N_{J}}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle g(JX,JY)=g(X,Y)\,}$.

Почти эрмитова структура естественным образом определяет дифференциальную двойную форму

${\displaystyle \omega _{J,g}(X,Y):=g(JX,Y)\,}$.

Следующие два условия эквивалентны:

1. ${\displaystyle N_{J}=0{\mbox{ and }}d\omega =0\,}$
2. ${\displaystyle \nabla J=0\,}$

где есть связность Леви-Чивита из . В этом случае оно называется кэлеровой структурой , а кэлерово многообразие - это многообразие, наделенное кэлеровой структурой. В частности, кэлерово многообразие одновременно является комплексным и симплектическим многообразием . Большой класс кэлеровых многообразий (класс многообразий Ходжа ) задают все гладкие комплексные проективные многообразия .${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle g}$${\displaystyle (J,g)}$

Геометрия CR [ править ]

CR-геометрия - это изучение внутренней геометрии границ областей в сложных многообразиях .

Конформная геометрия [ править ]

Конформная геометрия - это изучение множества сохраняющих угол (конформных) преобразований на пространстве.

Дифференциальная топология [ править ]

Дифференциальная топология - это изучение глобальных геометрических инвариантов без метрической или симплектической формы.

Дифференциальная топология начинается с естественных операций , таких как производной Ли природных векторных расслоений и дифференциал де Рама из форм . Помимо алгеброидов Ли, алгеброиды Куранта также начинают играть более важную роль.

Группы лжи [ править ]

Группа Ли - это группа из категории гладких многообразий. Помимо алгебраических свойств, он обладает также дифференциально-геометрическими свойствами. Наиболее очевидная конструкция - это конструкция алгебры Ли, которая представляет собой касательное пространство в единице, снабженной скобкой Ли между левоинвариантными векторными полями . Помимо структурной теории существует также широкая область теории представлений .

Калибровочная теория [ править ]

Калибровочная теория - это исследование взаимосвязей векторных расслоений и главных расслоений. Она возникает из проблем математической физики и физических калибровочных теорий, которые лежат в основе стандартной модели физики элементарных частиц . Калибровочная теория занимается изучением дифференциальных уравнений для связностей на расслоениях и результирующих геометрических пространств модулей решений этих уравнений, а также инвариантов, которые могут быть получены из них. Эти уравнения часто возникают как уравнения Эйлера – Лагранжа, описывающие уравнения движения определенных физических систем в квантовой теории поля , и поэтому их изучение представляет значительный интерес для физики.

Связки и связи [ править ]

Аппарат векторных расслоений , главных расслоений и связностей на расслоениях играет чрезвычайно важную роль в современной дифференциальной геометрии. Гладкое многообразие всегда несет естественное векторное расслоение - касательное расслоение . Грубо говоря, эта структура сама по себе достаточна только для развития анализа на многообразии, в то время как выполнение геометрии требует, кроме того, некоторого способа связать касательные пространства в разных точках, т. Е. Понятия параллельного переноса . Важный пример - аффинные связи . Для поверхности в R ³, касательные плоскости в разных точках могут быть идентифицированы с помощью естественного параллелизма по путям, индуцированного окружающим евклидовым пространством, которое имеет хорошо известное стандартное определение метрики и параллелизма. В римановой геометрии , то связность Леви-Чивита служит той же цели. (Связность Леви-Чивита определяет линейный параллелизм в терминах данной произвольной римановой метрики на многообразии.) В более общем смысле, дифференциальные геометры рассматривают пространства с векторным расслоением и произвольной аффинной связностью, которая не определяется в терминах метрики. В физике многообразие может быть пространственно-временным континуумом, а связки и связи связаны с различными физическими полями.

Внутреннее против внешнего [ править ]

С начала и до середины XIX века дифференциальная геометрия изучалась с внешней точки зрения: кривые и поверхности считались лежащими в евклидовом пространстве более высокой размерности (например, поверхность в окружающем пространстве трех измерений) . Простейшие результаты - это дифференциальная геометрия кривых и дифференциальная геометрия поверхностей . Начиная с работ Римана , внутренняябыла разработана точка зрения, в которой нельзя говорить о движении «вне» геометрического объекта, поскольку он считается заданным свободно стоящим образом. Основным результатом здесь является теорема Гаусса egregium о том, что гауссова кривизна является внутренним инвариантом.

Внутренняя точка зрения более гибкая. Например, это полезно в теории относительности, где пространство-время, естественно, нельзя рассматривать как внешнее (что будет «вне» Вселенной?). Однако за техническую сложность приходится платить: внутренние определения кривизны и соединений становятся намного менее интуитивно понятными.

Эти две точки зрения могут быть согласованы, т.е. внешняя геометрия может рассматриваться как структура, дополняющая внутреннюю. (См. Теорему вложения Нэша .) В формализме геометрического исчисления как внешняя, так и внутренняя геометрия многообразия могут быть охарактеризованы одной бивекторнозначной однозначной формой, называемой оператором формы . ^[5]

Приложения [ править ]

Ниже приведены несколько примеров того, как дифференциальная геометрия применяется в других областях науки и математики.

• В физике дифференциальная геометрия имеет множество приложений, в том числе:
  • Дифференциальная геометрия является языком , на котором Альберт Эйнштейн «s общая теория относительности выражается. Согласно теории, Вселенная является гладким многообразием оснащен псевдоримановом метрикой, описывающей кривизну из пространства - времени . Понимание этой кривизны необходимо для вывода спутников на орбиту вокруг Земли. Дифференциальная геометрия также незаменима при изучении гравитационного линзирования и черных дыр .
  • Дифференциальные формы используются при изучении электромагнетизма .
  • Дифференциальная геометрия имеет приложения как в лагранжевой, так и в гамильтоновой механике . В частности, симплектические многообразия можно использовать для изучения гамильтоновых систем .
  • Риманова геометрия и контактная геометрия использовались для построения формализма геометротермодинамики , нашедшего применение в классической равновесной термодинамике .
• В химии и биофизике при моделировании структуры клеточной мембраны при переменном давлении.
• В экономике дифференциальная геометрия имеет приложения в области эконометрики . ^[6]
• Геометрическое моделирование (включая компьютерную графику ) и компьютерное геометрическое проектирование основаны на идеях дифференциальной геометрии.
• В технике дифференциальная геометрия может применяться для решения задач цифровой обработки сигналов . ^[7]
• В теории управления дифференциальная геометрия может использоваться для анализа нелинейных регуляторов, в частности геометрического управления ^[8]
• В теории вероятностей , статистике и теории информации можно интерпретировать различные структуры как римановы многообразия, что дает область информационной геометрии , в частности, через информационную метрику Фишера .
• В структурной геологии дифференциальная геометрия используется для анализа и описания геологических структур.
• В компьютерном зрении дифференциальная геометрия используется для анализа форм. ^[9]
• При обработке изображений дифференциальная геометрия используется для обработки и анализа данных на неплоских поверхностях. ^[10]
• Доказательство Григорием Перельманом гипотезы Пуанкаре с использованием техники потоков Риччи продемонстрировало мощь дифференциально-геометрического подхода к вопросам топологии и подчеркнуло важную роль, которую играют его аналитические методы.
• В беспроводной связи , грассмановы коллекторы используются для формирования диаграммы направленности методов в нескольких антенных системах. ^[11]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Итан Д. Блох (27 июня 2011 г.). Первый курс геометрической топологии и дифференциальной геометрии . Бостон: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-8122-7. OCLC  811474509 .
• Берк, Уильям Л. (1997). Прикладная дифференциальная геометрия . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-26929-6. OCLC  53249854 .
• ду Карму, Манфредо Пердигау (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-212589-5. OCLC  1529515 .
• Франкель, Теодор (2004). Геометрия физики: введение (2-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-53927-2. OCLC  51855212 .
• Эльза Аббена; Саймон Саламон; Альфред Грей (2017). Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica (3-е изд.). Бока-Ратон: Чепмен и Холл / CRC. ISBN 978-1-351-99220-6. OCLC  1048919510 .
• Крейсциг, Эрвин (1991). Дифференциальная геометрия . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66721-8. OCLC  23384584 .
• Кюнель, Вольфганг (2002). Дифференциальная геометрия: кривые - поверхности - многообразия (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3988-1. OCLC  61500086 .
• Макклири, Джон (1994). Геометрия с отличительной точки зрения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-13311-4. OCLC  915912917 .
• Спивак, Майкл (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (5 томов) (3-е изд.). Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-72-1. OCLC  179192286 .
• тер Хаар Ромени, Барт М. (2003). Front-end видение и многомасштабный анализ изображений: многомасштабная теория компьютерного зрения и приложения, написанные в системе Mathematica . Дордрехт: Kluwer Academic. ISBN 978-1-4020-1507-6. OCLC  52806205 .

Внешние ссылки [ править ]

• "Дифференциальная геометрия" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Б. Конрад. Раздаточные материалы по дифференциальной геометрии, Стэнфордский университет
• Онлайн-курс Майкла Мюррея по дифференциальной геометрии, 1996 г. Архивировано 1 августа 2013 г. в Wayback Machine
• Современный курс по кривым и поверхностям, Ричард С. Пале, 2003 г. Архивировано 9 апреля 2019 г. в Wayback Machine
• Richard Palais в 3DXM Поверхности Галерея архивации 2019-04-09 в Wayback Machine
• Заметки Балаша Чикоша о дифференциальной геометрии
• Н. Дж. Хикс, Заметки о дифференциальной геометрии, Ван Ностранд.
• MIT OpenCourseWare: дифференциальная геометрия, осень 2008 г.