Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
И другие значения, см. Фрактал (значения) .
Множество Мандельброта

Увеличить набор Мандельброта

В математике , фрактальное представляет собой подмножество евклидова пространства которого фрактальной размерность строго превышает его топологическую размерность . Фракталы выглядят одинаково на разных уровнях, как показано в последовательном увеличении множества Мандельброта . [1] [2] [3] [4] Фракталы демонстрируют похожие модели на все более малых масштабах, называемых самоподобием , также известными как расширяющаяся симметрия или разворачивающаяся симметрия; если это повторение точно такое же на всех уровнях, как в губке Менгера , [5]он называется аффинным самоподобным. Фрактальная геометрия относится к математическому разделу теории меры .

Одним из отличий фракталов от конечных геометрических фигур является их масштабирование . При удвоении длины ребер многоугольника его площадь умножается на четыре, то есть на два (отношение длины новой стороны к старой), возведенные в степень двойки (размер пространства, в котором находится многоугольник). Точно так же, если радиус сферы удваивается, ее объем увеличивается на восемь, что составляет два (отношение нового радиуса к старому) в степени тройки (измерение, в котором находится сфера). Однако, если все одномерные длины фрактала удвоены, пространственное содержание фрактала масштабируется на степень, которая не обязательно является целым числом . [1] Эта сила называетсяфрактальная размерность фрактала и обычно превышает топологическую размерность фрактала . [6]

С аналитической точки зрения фракталы обычно нигде не дифференцируются . [1] [4] [7] Бесконечную фрактальную кривую можно представить себе как вьющуюся в пространстве иначе, чем обычную линию - хотя она все еще одномерна , ее фрактальная размерность указывает на то, что она также похожа на поверхность. [1] [6]

Ковер Серпинского (до уровня 6), фрактал с топологической размерностью 1 и размерностью Хаусдорфа 1,893

Начиная с 17 - го века с понятиями рекурсии , фракталы переместились через все более строгой математической обработке концепции к изучению непрерывных , но не дифференцируемых функций в 19 веке семенных работы Бернарда Больцано , Бернхард Риман и Карла Вейерштрасса , [ 8] и к появлению слова фрактал в 20 веке с последующим ростом интереса к фракталам и компьютерному моделированию в 20 веке. [9] [10] Термин «фрактал» впервые использовал математик Бенуа Мандельброт.в 1975 году. Мандельброт основал его на латинском frāctus , что означает «сломанный» или «расколотый», и использовал его для распространения концепции теоретических дробных размеров на геометрические узоры в природе . [1] [11]

Среди математиков есть некоторые разногласия по поводу того, как следует формально определять концепцию фрактала. Сам Мандельброт охарактеризовал это как «красиво, чертовски сложно, все более полезно. Это фракталы». [12] Более формально, в 1982 году Мандельброт заявил, что «фрактал по определению - это множество, для которого размерность Хаусдорфа – Безиковича строго превышает топологическую размерность ». [13] Позже, посчитав это слишком ограничительным, он упростил и расширил определение до следующего: «Фрактал - это форма, состоящая из частей, в некотором роде схожих с целым». [14] Еще позже Мандельброт остановился на таком использовании языка: «... использовать фрактал без педантичного определения, использоватьфрактальная размерность как общий термин, применимый ко всем вариантам » [15].

Все согласны с тем, что теоретические фракталы - это бесконечно самоподобные, повторяющиеся и подробные математические конструкции, имеющие фрактальные измерения, многие примеры которых были сформулированы и подробно изучены. [1] [2] [3] Фракталы не ограничиваются геометрическими узорами, но также могут описывать процессы во времени. [5] [4] [16] [17] [18] [19] Фрактальные узоры с различной степенью самоподобия были визуализированы или изучены в изображениях, структурах и звуках [20] и обнаружены в природе , [21] [ 22] [23] [24] [25] технологии, [26] [27] [28] [29] искусство , [30] [31] архитектура [32] и право . [33] Фракталы имеют особое значение в области теории хаоса , так как графики большинства хаотических процессов являются фракталами. [34] Было обнаружено, что многие реальные и модельные сети обладают фрактальными характеристиками, такими как самоподобие. [35] [36] [37]

Введение [ править ]

Простое фрактальное дерево, созданное с помощью JavaScript

Слово «фрактал» часто имеет разные коннотации для широкой публики, в отличие от математиков, которые, скорее всего, знакомы с фрактальным искусством, а не с математической концепцией. Математическую концепцию сложно определить формально даже математикам, но ключевые особенности можно понять, имея небольшой математический опыт.

Например, свойство «самоподобия» легко понять по аналогии с увеличением с помощью объектива или другого устройства, которое увеличивает цифровые изображения, чтобы выявить более тонкую, ранее невидимую новую структуру. Однако если это делается на фракталах, никаких новых деталей не появляется; ничего не меняется, и один и тот же узор повторяется снова и снова, или для некоторых фракталов почти один и тот же узор повторяется снова и снова. Самоподобие само по себе не обязательно противоречит интуиции (например, люди неформально размышляли о самоподобии, например, в бесконечном регрессе в параллельных зеркалах или в гомункуле , маленьком человечке внутри головы маленького человека внутри головы ...) . Отличие фракталов в том, что воспроизводимый узор должен быть детализированным. [1] : 166; 18[2] [11]

Идея детализации связана с другой особенностью, которую можно понять без особой математической подготовки: например, наличие фрактальной размерности, превышающей ее топологическое измерение, относится к тому, как фрактал масштабируется по сравнению с тем, как обычно воспринимаются геометрические формы . Например, прямая линия обычно считается одномерной; если такую ​​фигуру повторно разбить на части, каждая 1/3 длины оригинала, то всегда есть три равных части. Под сплошным квадратом понимается двумерное изображение; если такую ​​фигуру повторно разбить на части, каждый из которых уменьшен в масштабе 1/3 в обоих измерениях, то всего получится 3 2= 9 шт. Мы видим, что для обычных самоподобных объектов n-мерность означает, что при повторном разбиении на части, каждая из которых уменьшена с масштабным коэффициентом 1 / r , всего получается r n частей. Теперь рассмотрим кривую Коха . Его можно повторно разбить на четыре части, каждая из которых уменьшена в масштабе 1/3. Итак, строго по аналогии, мы можем рассматривать «размерность» кривой Коха как единственное действительное число D , удовлетворяющее 3 D = 4. Это число математики называют фрактальной размерностью кривой Коха; это, конечно, нето, что принято считать размером кривой (это даже не целое число!). Тот факт, что кривая Коха имеет фрактальную размерность, отличную от ее традиционно понимаемой размерности (то есть ее топологической размерности), делает ее фрактальной.

3D компьютерный фрактал

Это также приводит к пониманию третьей особенности: фракталы как математические уравнения «нигде не дифференцируемы ». В конкретном смысле это означает, что фракталы нельзя измерить традиционными способами. [1] [4] [7] Чтобы уточнить, пытаясь найти длину волнистой нефрактальной кривой, можно было бы найти прямые сегменты какого-нибудь измерительного инструмента, достаточно маленького, чтобы положить конец до конца по волнам, где части могли бы стать достаточно маленьким, чтобы считаться соответствующим кривой при нормальном способе измеренияс рулеткой. Но при измерении бесконечно «волнистой» фрактальной кривой, такой как снежинка Коха, невозможно найти достаточно маленький прямой сегмент, чтобы соответствовать кривой, потому что зубчатый узор всегда будет снова появляться в сколь угодно малых масштабах, по существу, немного потянув. больше рулетки в общую длину, измеренную каждый раз, когда кто-то пытался подогнать ее все туже и туже к кривой. В результате требуется бесконечная лента, чтобы полностью покрыть всю кривую, т. Е. Снежинка имеет бесконечный периметр. [1]

История [ править ]

Кривая Коха является фракталом , который начинается с равностороннего треугольника , а затем заменяет среднюю треть каждого отрезка с парой линейных сегментов, образующих равносторонний шишка
Канторовский (тройной) набор.

История фракталов ведет свой путь от теоретических исследований к современным приложениям в компьютерной графике, при этом несколько известных людей внесли свой вклад в канонические фрактальные формы. [9] [10] Распространенной темой в древней традиционной африканской архитектуре является использование фрактального масштабирования, при котором небольшие части структуры имеют тенденцию выглядеть похожими на большие части, такие как круглая деревня, состоящая из круглых домов. [38] Согласно Пиковеру , математика, лежащая в основе фракталов, начала формироваться в 17 веке, когда математик и философ Готфрид Лейбниц задумался о рекурсивном самоподобии.(хотя он ошибся, полагая, что в этом смысле самоподобна только прямая линия ). [39] В своих работах Лейбниц использовал термин «дробные показатели», но сетовал на то, что «Геометрия» их еще не знала. [1] : 405 Действительно, согласно различным историческим источникам, после этого момента лишь немногие математики занимались проблемами, и работа тех, кто это делал, оставалась неясной в основном из-за сопротивления таким незнакомым возникающим концепциям, которые иногда назывались математическими «монстрами». . [7] [9] [10] Таким образом, только через два столетия 18 июля 1872 года Карл Вейерштрасс представил первое определение терминафункция с графиком , который сегодня считался бы фракталом, обладающим неинтуитивным свойством быть везде непрерывным, но нигде не дифференцируемым в Королевской прусской академии наук. [9] : 7 [10] Кроме того, разность частных становится сколь угодно большой по мере увеличения индекса суммирования. [40] Вскоре после этого, в 1883 году, Георг Кантор , посетивший лекции Вейерштрасса, [10] опубликовал примеры подмножеств вещественной прямой, известные как множества Кантора , которые обладали необычными свойствами и теперь признаны фракталами.[9] : 11–24 Также в последней половине того же века Феликс Кляйн и Анри Пуанкаре ввели категорию фракталов, которую стали называть «самообратными» фракталами. [1] : 166

Множество Жюлиа , фрактал, связанный с множеством Мандельброта
Серпинская прокладка может быть сгенерирована с помощью фрактального дерева.

Одна из следующих вех произошла в 1904 году, когда Хельге фон Кох , расширив идеи Пуанкаре и недовольный абстрактным и аналитическим определением Вейерштрасса, дал более геометрическое определение, включающее нарисованные от руки изображения аналогичной функции, которая теперь называется снежинкой Коха . [9] : 25 [10] Еще одна веха произошла десятью годами позже, в 1915 году, когда Вацлав Серпинский построил свой знаменитый треугольник, а год спустя - свой ковер . К 1918 году два французских математика, Пьер Фату и Гастон Жюлиахотя и работали независимо, по существу одновременно пришли к результатам, описывающим то, что сейчас рассматривается как фрактальное поведение, связанное с отображением комплексных чисел и итерационных функций, и приводящие к дальнейшим представлениям об аттракторах и репеллах (то есть точках, которые притягивают или отталкивают другие точки), которые стали очень важен при изучении фракталов. [4] [9] [10] Вскоре после того, как эта работа была представлена, к марту 1918 года, Феликс Хаусдорф расширил определение «размерности», существенно для эволюции определения фракталов, чтобы позволить множествам иметь нецелые числа. размеры. [10] Идея самоподобных кривых была развита Полем Леви., Который, в его 1938 бумажном самолете или пространственных кривых и поверхностях , состоящих из частей , сходных с Целым , описал новую фрактальную кривой, на кривой Lévy C . [примечания 1]

Странный аттрактор , который показывает мультифрактальное масштабирование
Равномерный фрактал треугольника центра масс
2x 120-градусный рекурсивный IFS

Различные исследователи постулировали, что без помощи современной компьютерной графики ранние исследователи были ограничены тем, что они могли изобразить на ручных рисунках, поэтому у них не было средств визуализировать красоту и оценить некоторые значения многих из обнаруженных ими паттернов ( Набор Джулии, например, можно было визуализировать только через несколько итераций как очень простые рисунки). [1] : 179 [7] [10] Однако все изменилось в 1960-х годах, когда Бенуа Мандельброт начал писать о самоподобии в таких статьях, как « Какова длина побережья Британии?». Статистическое самоподобие и дробное измерение , [41] [42], основанное на более ранней работеЛьюис Фрай Ричардсон . В 1975 году [11] Мандельброт закрепил за собой сотни лет мысли и математических разработок, придумав слово «фрактал», и проиллюстрировал свое математическое определение поразительными компьютерными визуализациями. Эти изображения, такие как его канонический набор Мандельброта , захватили воображение людей; многие из них были основаны на рекурсии, что привело к популярному значению термина «фрактал». [43] [7] [9] [39]

В 1980 году Лорен Карпентер выступил с презентацией на SIGGRAPH, где представил свое программное обеспечение для создания и визуализации фрактально сгенерированных ландшафтов. [44]

Определение и характеристики [ править ]

Одно часто цитируемое описание, которое Мандельброт опубликовал для описания геометрических фракталов, представляет собой «грубую или фрагментированную геометрическую форму, которая может быть разделена на части, каждая из которых является (по крайней мере приблизительно) копией целого в уменьшенном размере»; [1] это обычно полезно, но ограничено. Авторы расходятся во мнениях относительно точного определения фрактала , но чаще всего развивают основные идеи самоподобия и необычные отношения фракталов с пространством, в которое они встроены. [1] [5] [2] [4] [45]

Было решено, что фрактальные паттерны характеризуются фрактальными измерениями , но хотя эти числа определяют сложность (т.е. изменение деталей с изменением масштаба), они не описывают однозначно и не определяют детали того, как построить определенные фрактальные паттерны. [46] В 1975 году, когда Мандельброт придумал слово «фрактал», он сделал это для обозначения объекта, размерность Хаусдорфа – Безиковича которого больше его топологической размерности . [11] Однако этому требованию не отвечают кривые, заполняющие пространство, такие как кривая Гильберта . [примечания 2]

Из-за трудностей, связанных с поиском одного определения фракталов, некоторые утверждают, что фракталы вообще не следует строго определять. Согласно Фальконеру , фракталы должны, помимо того, что они нигде не дифференцируемы и могут иметь фрактальное измерение , только в общем случае должны характеризоваться гештальтом следующих характеристик; [2]

  • Самоподобие, которое может включать:
  • Точное самоподобие: идентично во всех масштабах, например, снежинка Коха.
  • Квазисамоподобие: аппроксимирует один и тот же образец в разных масштабах; может содержать уменьшенные копии всего фрактала в искаженном и вырожденном виде; например, спутники множества Мандельброта являются приближениями всего множества, но не точными копиями.
  • Статистическое самоподобие: случайное повторение модели, поэтому числовые или статистические показатели сохраняются в масштабах; например, случайно сгенерированные фракталы, подобные хорошо известному примеру береговой линии Британии, для которого нельзя ожидать найти сегмент, масштабированный и повторяющийся так же точно, как повторяющийся блок, который определяет фракталы, такие как снежинка Коха. [4]
  • Качественное самоподобие: как во временном ряду [16]
  • Мультифрактальное масштабирование: характеризуется более чем одним фрактальным измерением или правилом масштабирования
  • Тонкая или детальная структура в произвольно малых масштабах. Следствием этой структуры является то, что фракталы могут иметь эмерджентные свойства [47] (относящиеся к следующему критерию в этом списке).
  • Локальная и глобальная нерегулярность, которую нелегко описать традиционным языком евклидовой геометрии . Для изображений фрактальных узоров это выражается такими фразами, как «плавно нагромождение поверхностей» и «завихрения за завитками». [6]
  • Простые и «возможно рекурсивные » определения; см. Общие методы создания фракталов

В совокупности эти критерии формируют руководящие принципы для исключения определенных случаев, например тех, которые могут быть самоподобными без других типичных фрактальных особенностей. Прямая линия, например, самоподобна, но не фрактальна, потому что ей не хватает деталей, легко описывается на евклидовом языке, имеет ту же хаусдорфовую размерность, что и топологическую размерность , и полностью определяется без необходимости рекурсии. [1] [4]

Общие методы создания фракталов [ править ]

См. Также: ПО для генерации фракталов

Самоподобный паттерн ветвления, смоделированный in silico с использованием принципов L-систем [25]

Изображения фракталов могут быть созданы программами генерации фракталов . Из-за эффекта бабочки небольшое изменение одной переменной может иметь непредсказуемый результат.

  • Системы итерированных функций (IFS) - используйте фиксированные геометрические правила замены; может быть стохастическим или детерминированным; [48] , например, Кривая Коха , канторово множество , Haferman ковер, [49] ковер Серпинского , Серпинская прокладка , кривая Пеано , Хартер-Heighway кривого дракона , Т-квадрат , Менгер губка
  • Странные аттракторы - используйте итерации карты или решения системы дифференциальных или разностных уравнений с начальным значением, которые демонстрируют хаос (например, см. Мультифрактальное изображение или логистическую карту )
  • L-системы - использовать перезапись строк; может напоминать паттерны ветвления, например, в растениях, биологических клетках (например, нейронах и клетках иммунной системы [25] ), кровеносных сосудах, легочной структуре [50] и т. д. или графические паттерны черепах, такие как кривые заполнения пространства и мозаики
  • Фракталы времени побега - используйте формулу или рекуррентное соотношение в каждой точке пространства (например, на комплексной плоскости ); обычно квази-самоподобный; также известные как фракталы «орбиты»; например, набор Мандельброта , Жюлиа , Горящий корабль фрактал , Нова фрактал и Ляпунову фрактал . Двухмерные векторные поля, которые генерируются одной или двумя итерациями формул времени ухода, также приводят к фрактальной форме, когда точки (или данные пикселей) повторно проходят через это поле.
  • Случайные фракталы - используйте стохастические правила; например, полет Леви , перколяционные кластеры , самоизбегающие прогулки , фрактальные ландшафты , траектории броуновского движения и броуновское дерево (т. е. дендритные фракталы, генерируемые путем моделирования агрегации, ограниченной диффузией, или кластеров агрегации, ограниченной реакцией). [4]
Фрактал, созданный правилом конечного подразделения для чередующейся связи.
  • Правила конечного подразделения - используйте рекурсивный топологический алгоритм для уточнения мозаик [51], и они аналогичны процессу деления клеток . [52] Итерационные процессы, использованные при создании множества Кантора и ковра Серпинского, являются примерами правил конечного подразделения, как и барицентрическое подразделение .

Смоделированные фракталы [ править ]

Фрактальные модели широко моделировались, хотя и в пределах диапазона масштабов, а не бесконечно, из-за практических ограничений физического времени и пространства. Модели могут имитировать теоретические фракталы или природные явления с фрактальными особенностями . Результатами процесса моделирования могут быть высокохудожественные визуализации, выходы для исследования или эталоны для фрактального анализа . Некоторые конкретные приложения фракталов к технике перечислены в другом месте . Изображения и другие результаты моделирования обычно называют «фракталами», даже если они не имеют строго фрактальных характеристик, например, когда можно увеличить область фрактального изображения, которая не проявляет никаких фрактальных свойств. Также они могут включать расчет или отображениеартефакты , не являющиеся характеристиками настоящих фракталов.

Смоделированные фрактал могут быть звуками, [20] цифровые изображения, электрохимические узоры, циркадные ритмы , [53] и др узоры Фрактальных были реконструированы в физическом 3-мерном пространстве [28] : 10 и практически, часто называют « в силикомарганце » моделирование. [50] Модели фракталов обычно создаются с использованием программного обеспечения для генерации фракталов, которое реализует такие методы, как описанные выше. [4] [16] [28] В качестве одной иллюстрации деревья, папоротники, клетки нервной системы, [25] кровь и сосуды легких, [50] и другие паттерны ветвления в природеможно смоделировать на компьютере с помощью рекурсивных алгоритмов и методов L-систем . [25] Рекурсивный характер некоторых моделей очевиден в некоторых примерах, ветвь от дерева или листца из папоротника является миниатюрной копией целого: не идентичен, но схож по характеру. Точно так же случайные фракталы использовались для описания / создания многих очень необычных объектов реального мира. Ограничение моделирования фракталов состоит в том, что сходство фрактальной модели с природным явлением не доказывает, что моделируемое явление сформировано процессом, аналогичным алгоритмам моделирования.

Природные явления с фрактальными особенностями [ править ]

Дополнительная информация: Образцы в природе

Приблизительные фракталы, встречающиеся в природе, демонстрируют самоподобие в расширенных, но конечных диапазонах масштабов. Например, связь между фракталами и листьями в настоящее время используется для определения количества углерода, содержащегося в деревьях. [54] Явления, имеющие фрактальные свойства, включают:

  • Актиновый цитоскелет [55]
  • Водоросли
  • Образцы окраски животных
  • Кровеносные сосуды и легочные сосуды [50]
  • Области облаков и дождя [56]
  • Береговые линии
  • Кратеры
  • Кристаллы [57]
  • ДНК [58]
  • Землетрясения [29] [59]
  • Линии разломов
  • Геометрическая оптика [60]
  • Частота пульса [21] [22]
  • Тоны сердца [22]
  • Молния болты
  • Рога горного козла
  • Сети [35]
  • Полимеры [61]
  • Перколяция [62]
  • Горные хребты
  • Океанские волны [63]
  • Ананас
  • Психологическое субъективное восприятие [64]
  • Белки [65]
  • Кольца Сатурна [66] [67]
  • Речные сети
  • Романеско брокколи
  • Снежинки [68]
  • Поры почвы [69]
  • Поверхности в турбулентных потоках [70] [71]
  • Деревья
  • Крупинки пыли [72]
  • Броуновское движение (порожденное одномерным винеровским процессом ). [73]

  • Кристаллы инея, встречающиеся в природе на холодном стекле, образуют фрактальные узоры.

  • Граница фрактального бассейна в геометрической оптической системе [60]

  • При разделении двух покрытых клеем акриловых листов образуется фрактал.

  • Высоковольтный пробой в блоке из акрилового стекла размером 4 дюйма (100 мм) создает фрактальную фигуру Лихтенберга.

  • Брокколи Романеско , демонстрирующая самоподобную форму, приближающуюся к естественному фракталу

  • Фрактальные схемы размораживания, полярный Марс. Узоры формируются путем сублимации замороженного CO 2 . Ширина изображения около километра.

  • Слизневая плесень Brefeldia maxima, фрактально растущая на дереве

В творчестве [ править ]

Дополнительная информация: Фрактальное искусство и математика и искусство

С 1999 года более 10 научных групп выполнили фрактальный анализ более чем 50 картин Джексона Поллока (1912–1956), которые были созданы путем заливки краски непосредственно на его горизонтальные холсты [74] [75] [76] [77] [ 78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] В последнее время фрактальный анализ использовался для достижения 93% успеха в различении реального Поллока от имитационного. [87] Когнитивные нейробиологи показали, что фракталы Поллока вызывают такое же снижение стресса у наблюдателей, как фракталы, созданные компьютером, и фракталы Природы. [88]

Декалькомания , техника, используемая такими художниками, как Макс Эрнст , позволяет создавать фрактальные узоры. [89] Это включает в себя нажатие краски между двумя поверхностями и их разъединение.

Кибернетик Рон Эглаш предположил, что фрактальная геометрия и математика преобладают в африканском искусстве , играх, гадании , торговле и архитектуре. Круглые дома появляются в кругах кругов, прямоугольные дома - в прямоугольниках прямоугольников и т. Д. Такие узоры масштабирования также можно найти в африканском текстиле, скульптуре и даже прическах косичек. [31] [90] Хокки Ситунгкир также предложил похожие свойства в индонезийском традиционном искусстве, батике и украшениях, которые можно найти в традиционных домах. [91] [92]

Этноматематик Рон Эглаш обсудил запланированную планировку города Бенина, взяв за основу фракталы не только в самом городе и деревнях, но даже в комнатах домов. Он прокомментировал, что «когда европейцы впервые приехали в Африку, они считали архитектуру очень дезорганизованной и, следовательно, примитивной. Им никогда не приходило в голову, что африканцы могли использовать форму математики, которую они еще даже не открыли». [93]

В 1996 году в интервью с Майклом Silverblatt , Дэвид Фостер Уоллес признал , что структура первого проекта Infinite Шутки он дал своему редактору Майкл Питч была вдохновлена фрактал, а именно треугольник Серпинского (аки Серпинского), но что отредактированный роман «больше похоже на однобокую серпинскую прокладку». [30]

Некоторые работы голландского художника MC Эшера , такие как Circle Limit III , содержат формы, повторяющиеся до бесконечности, которые становятся все меньше и меньше по мере приближения к краям, в шаблоне, который всегда будет выглядеть одинаково при увеличении.

  • Фрактал, моделирующий поверхность горы (анимация)

  • 3D рекурсивное изображение

  • Рекурсивное фрактальное изображение бабочки

  • Фрактальное пламя

Физиологические реакции [ править ]

Люди оказались особенно хорошо приспособленными к обработке фрактальных паттернов со значениями D от 1,3 до 1,5. [94] Когда люди видят фрактальные модели со значениями D от 1,3 до 1,5, это имеет тенденцию к снижению физиологического стресса. [95] [96]

Приложения в технологии [ править ]

Основная статья: Фрактальный анализ
  • Фрактальные антенны [97]
  • Фрактальный транзистор [98]
  • Фрактальные теплообменники [99]
  • Цифровое изображение
  • Архитектура [32]
  • Городской рост [100] [101]
  • Классификация по гистопатология слайдов
  • Фрактальный пейзаж или сложность береговой линии
  • Определение «жизни такой, какой мы ее не знаем» с помощью фрактального анализа [102]
  • Ферменты ( кинетика Михаэлиса-Ментен )
  • Генерация новой музыки
  • Сжатие сигналов и изображений
  • Создание цифровых фотоувеличений
  • Фрактал в механике грунтов
  • Дизайн компьютеров и видеоигр
  • Компьютерная графика
  • Органическая среда
  • Процедурная генерация
  • Фрактография и механика разрушения
  • Теория малоуглового рассеяния фрактально шероховатых систем
  • Футболки и другая мода
  • Генерация шаблонов для камуфляжа, таких как MARPAT
  • Цифровые солнечные часы
  • Технический анализ ценовых рядов
  • Фракталы в сетях [35]
  • Медицина [28]
  • Неврология [23] [24]
  • Диагностическая визуализация [27]
  • Патология [103] [104]
  • Геология [105]
  • География [106]
  • Археология [107] [108]
  • Механика грунта [26]
  • Сейсмология [29]
  • Поиск и спасение [109]
  • Технический анализ [110]
  • Кривые заполнения пространства порядка Мортона для когерентности кэша графического процессора при отображении текстур , [111] [112] [113] растеризации [114] [115] и индексации данных турбулентности. [116] [117]

Ионная тяга [ править ]

Когда двумерные фракталы повторяются много раз, периметр фрактала увеличивается до бесконечности, но площадь никогда не может превышать определенное значение. Фрактал в трехмерном пространстве аналогичен; такой фрактал может иметь бесконечную площадь поверхности, но никогда не превышать определенный объем. [118] Это может быть использовано для максимизации эффективности ионного движения при выборе конструкции и материала электронного эмиттера. Если все сделано правильно, эффективность процесса выбросов может быть максимальной. [119]

См. Также [ править ]

  • Теорема Банаха о неподвижной точке
  • Теория бифуркации
  • Подсчет коробок
  • Киматика
  • Детерминизм
  • Алгоритм алмаз-квадрат
  • Эффект Дросте
  • Функция Фейгенбаума
  • Константа формы
  • Фрактальная космология
  • Фрактальная производная
  • Фрактальная сетка
  • Фрактальная струна
  • Фрактон
  • Трансплантат
  • Приветливый
  • Лакунарность
  • Список фракталов по размерности Хаусдорфа
  • Mandelbulb
  • Mandelbox
  • Макрокосм и микрокосм
  • Матрешка
  • Губка Менгера
  • Мультифрактальная система
  • Фрактал Ньютона
  • Перколяция
  • Сила закона
  • Публикации по фрактальной геометрии
  • Случайная прогулка
  • Самостоятельная ссылка
  • Самоподобие
  • Теория систем
  • Странная петля
  • Турбулентность
  • Винеровский процесс

Примечания [ править ]

  1. ↑ Оригинальная статья, Леви, Поль (1938). "Les Courbes planes ou gauches et les surface composées de party semblables au tout". Journal de l'École Polytechnique : 227–247, 249–291., переведено у Эдгара , страницы 181–239.
  2. ^ Отображение кривой Гильберта не является гомеоморфизмом , поэтому оно не сохраняет топологическую размерность. Топологическая размерность и Хаусдорф размерность образа отображения Гильберта в R 2 оба 2. Заметим, однако, что топологическая размерность графа отображения Гильберта (набор в R 3 ) равно 1.

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d e f g h i j k l m n o Мандельброт, Бенуа Б. (1983). Фрактальная геометрия природы . Макмиллан. ISBN 978-0-7167-1186-5.
  2. ^ a b c d e Фалконер, Кеннет (2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения . Джон Вили и сыновья. xxv. ISBN 978-0-470-84862-3.
  3. ^ a b Бриггс, Джон (1992). Фракталы: модели хаоса . Лондон: Темза и Гудзон. п. 148. ISBN 978-0-500-27693-8.
  4. ^ a b c d e f g h i j Vicsek, Tamás (1992). Явления фрактального роста . Сингапур / Нью-Джерси: World Scientific. С. 31, 139–146. ISBN 978-981-02-0668-0.
  5. ^ a b c Gouyet, Жан-Франсуа (1996). Физика и фрактальные структуры . Париж / Нью-Йорк: Массон Спрингер. ISBN 978-0-387-94153-0.
  6. ^ a b c Мандельброт, Бенуа Б. (2004). Фракталы и хаос . Берлин: Springer. п. 38. ISBN 978-0-387-20158-0. Фрактальное множество - это такое, для которого фрактальная размерность (Хаусдорфа-Безиковича) строго превышает топологическую размерность.
  7. ^ а б в г д Гордон, Найджел (2000). Представляем фрактальную геометрию . Даксфорд: Значок. п. 71 . ISBN 978-1-84046-123-7.
  8. Перейти ↑ Segal, SL (июнь 1978). «Продолжение примера Римана непрерывной« недифференцируемой »функции». Математический интеллект . 1 (2): 81–82. DOI : 10.1007 / BF03023065 . S2CID 120037858 . 
  9. ^ a b c d e f g h Эдгар, Джеральд (2004). Классика о фракталах . Боулдер, Колорадо: Westview Press. ISBN 978-0-8133-4153-8.
  10. ^ Б с д е е г ч я Trochet, Холли (2009). «История фрактальной геометрии» . MacTutor История математики . Архивировано из оригинального 12 марта 2012 года.
  11. ^ a b c d Альберс, Дональд Дж .; Александерсон, Джеральд Л. (2008). «Бенуа Мандельброт: своими словами». Математические люди: анкеты и интервью . Уэлсли, Массачусетс: А.К. Петерс. п. 214. ISBN 978-1-56881-340-0.
  12. ^ Мандельброт, Бенуа. «24/7 Лекция по фракталам» . Шнобелевские премии 2006 года . Невероятное исследование.
  13. ^ Мандельброт, BB: Фрактальная геометрия природы. WH Freeman and Company, Нью-Йорк (1982); п. 15.
  14. ^ Йенс Федер (2013). Фракталы . Springer Science & Business Media. п. 11. ISBN 978-1-4899-2124-6.
  15. ^ Джеральд Эдгар (2007). Мера, топология и фрактальная геометрия . Springer Science & Business Media. п. 7. ISBN 978-0-387-74749-1.
  16. ^ a b c Питерс, Эдгар (1996). Хаос и порядок на рынках капитала: новый взгляд на циклы, цены и волатильность рынка . Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0-471-13938-6.
  17. ^ Крапивский, ПЛ; Бен-Наим, Э. (1994). «Мультимасштабирование в стохастических фракталах». Физика Буквы A . 196 (3–4): 168. Bibcode : 1994PhLA..196..168K . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (94) 91220-3 .
  18. ^ Хасан, МК; Роджерс, GJ (1995). «Модели фрагментации и стохастические фракталы». Физика Буквы A . 208 (1–2): 95. Bibcode : 1995PhLA..208 ... 95H . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (95) 00727-к .
  19. ^ Хасан, МК; Павел, Н.И.; Пандит, РК; Куртс, Дж. (2014). «Диадическое множество Кантора и его кинетический и стохастический аналог». Хаос, солитоны и фракталы . 60 : 31–39. arXiv : 1401.0249 . Bibcode : 2014CSF .... 60 ... 31H . DOI : 10.1016 / j.chaos.2013.12.010 . S2CID 14494072 . 
  20. ^ a b Братья, Харлан Дж. (2007). «Структурное масштабирование в Сюите № 3 Баха для виолончели». Фракталы . 15 (1): 89–95. DOI : 10.1142 / S0218348X0700337X .
  21. ^ a b Тан, Джан Озан; Коэн, Майкл А .; Eckberg, Dwain L .; Тейлор, Дж. Эндрю (2009). «Фрактальные свойства вариабельности сердечного периода человека: физиологические и методологические последствия» . Журнал физиологии . 587 (15): 3929–41. DOI : 10.1113 / jphysiol.2009.169219 . PMC 2746620 . PMID 19528254 .  
  22. ^ a b c Булдырев, Сергей В .; Goldberger, Ary L .; Хавлин, Шломо ; Пэн, Чунг-Кан; Стэнли, Х. Юджин (1995). «Фракталы в биологии и медицине: от ДНК к сердцебиению» . В Бунде, Армин; Хавлин, Шломо (ред.). Фракталы в науке . Springer.
  23. ^ а б Лю, Цзин З .; Zhang, Lu D .; Юэ, Гуан Х. (2003). «Фрактальное измерение в мозжечке человека, измеренное с помощью магнитно-резонансной томографии» . Биофизический журнал . 85 (6): 4041–4046. Bibcode : 2003BpJ .... 85.4041L . DOI : 10.1016 / S0006-3495 (03) 74817-6 . PMC 1303704 . PMID 14645092 .  
  24. ^ a b Карпериен, Одри Л .; Jelinek, Herbert F .; Бьюкен, Аластер М. (2008). "Подсчет ячеек анализа формы микроглии при шизофрении, болезни Альцгеймера и аффективном расстройстве". Фракталы . 16 (2): 103. DOI : 10,1142 / S0218348X08003880 .
  25. ^ a b c d e Jelinek, Herbert F .; Карпериен, Одри; Корнфорт, Дэвид; Сезар, Роберто; Леандро, Хорхе де Хесус Гомеш (2002). «MicroMod-L-системный подход к нейронному моделированию». В Sarker, Ruhul (ред.). Материалы семинара: Шестой совместный семинар Австралии и Японии по интеллектуальным и эволюционным системам, Университетский дом, АНУ . Университет Нового Южного Уэльса. ISBN 9780731705054. OCLC  224846454 . Проверено 3 февраля 2012 года . Место проведения: Канберра, Австралия
  26. ^ а б Ху, Шугэн; Ченг, Цюмин; Ван, Ле; Се, Шуюнь (2012). «Мультифрактальная характеристика стоимости городской жилой земли в пространстве и времени». Прикладная география . 34 : 161–170. DOI : 10.1016 / j.apgeog.2011.10.016 .
  27. ^ a b Карпериен, Одри; Jelinek, Herbert F .; Леандро, Хорхе де Хесус Гомеш; Соареш, Жоао В.Б.; Cesar Jr, Роберто М .; Лаки, Алан (2008). «Автоматизированное выявление пролиферативной ретинопатии в клинической практике» . Клиническая офтальмология (Окленд, Новая Зеландия) . 2 (1): 109–122. DOI : 10.2147 / OPTH.S1579 . PMC 2698675 . PMID 19668394 .  
  28. ^ a b c d Losa, Gabriele A .; Нонненмахер, Тео Ф. (2005). Фракталы в биологии и медицине . Springer. ISBN 978-3-7643-7172-2.
  29. ^ a b c Ваннуччи, Паола; Леони, Лоренцо (2007). «Структурная характеристика декольте Коста-Рики: свидетельства сейсмически индуцированных пульсаций флюида». Письма о Земле и планетологии . 262 (3–4): 413. Bibcode : 2007E & PSL.262..413V . DOI : 10.1016 / j.epsl.2007.07.056 .
  30. ^ a b Уоллес, Дэвид Фостер (4 августа 2006 г.). "Книжный червь на KCRW" . Kcrw.com . Проверено 17 октября 2010 года .
  31. ^ а б Эглаш, Рон (1999). «Африканские фракталы: современные вычисления и традиционный дизайн» . Нью-Брансуик: Издательство Университета Рутгерса. Архивировано из оригинала на 3 января 2018 года . Проверено 17 октября 2010 года .
  32. ^ a b Оствальд, Майкл Дж. и Воган, Жозефина (2016) Фрактальное измерение архитектуры . Бирхаузер, Базель. DOI : 10.1007 / 978-3-319-32426-5 .
  33. ^ Барангер, Майкл. «Хаос, сложность и энтропия: физическая беседа для нефизиков» (PDF) .
  34. ^ а б в К. Песня, С. Хавлин, Х.А. Максе (2005). «Самоподобие сложных сетей». Природа . 433 (7024): 392–5. arXiv : cond-mat / 0503078 . DOI : 10,1038 / природа03248 . PMID 15674285 . S2CID 1985935 .  CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  35. ^ CM Song, S. Хавлин, HA Makse (2006). «Истоки фрактальности в росте сложных сетей». Физика природы 2 . 275 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  36. ^ HD Розенфельд, С. Хэвлин, Д. Бен-Авраам (2007). «Фрактальные и трансфрактальные рекурсивные безмасштабные сети». New J. Phys . 175 (9).CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  37. ^ Eglash, Рон (1999). Африканские фракталы Современные вычисления и местный дизайн . ISBN 978-0-8135-2613-3.
  38. ^ a b Пиковер, Клиффорд А. (2009). Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики . Стерлинг. п. 310. ISBN 978-1-4027-5796-9.
  39. ^ «Фрактальная геометрия» . www-history.mcs.st-and.ac.uk . Проверено 11 апреля 2017 года .
  40. ^ Мандельброт, Б. (1967). "Какова длина побережья Британии?" . Наука . 156 (3775): 636–638. Bibcode : 1967Sci ... 156..636M . DOI : 10.1126 / science.156.3775.636 . PMID 17837158 . S2CID 15662830 .  
  41. ↑ Бэтти, Майкл (4 апреля 1985 г.). «Фракталы - геометрия между измерениями» . Новый ученый . 105 (1450): 31.
  42. ^ Расс, Джон С. (1994). Фрактальные поверхности . 1 . Springer. п. 1. ISBN 978-0-306-44702-0. Проверено 5 февраля 2011 года .
  43. ^ kottke.org. 2009. Vol Libre, потрясающий компьютерный фильм 1980 года. [Онлайн] Доступно по адресу: http://kottke.org/09/07/vol-libre-an-amazing-cg-film-from-1980
  44. ^ Эдгар, Джеральд (2008). Мера, топология и фрактальная геометрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 1. ISBN 978-0-387-74748-4.
  45. ^ Karperien, Одри (2004). Определение морфологии микроглии: форма, функция и фрактальная размерность . Университет Чарльза Стерта. DOI : 10.13140 / 2.1.2815.9048 .
  46. ^ Спенсер, Джон; Томас, Майкл СК; Макклелланд, Джеймс Л. (2009). К единой теории развития: пересмотр коннекционизма и теории динамических систем . Оксфорд / Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-530059-8.
  47. ↑ Frame, Angus (3 августа 1998 г.). «Системы с повторяющимися функциями». В Pickover, Клиффорд А. (ред.). Хаос и фракталы: компьютерное графическое путешествие: десятилетний сборник передовых исследований . Эльзевир. С. 349–351. ISBN 978-0-444-50002-1. Проверено 4 февраля 2012 года .
  48. ^ "Ковер Хафермана" . WolframAlpha . Проверено 18 октября 2012 года .
  49. ^ a b c d Hahn, Horst K .; Георг, Манфред; Пайтген, Хайнц-Отто (2005). «Фрактальные аспекты трехмерной конструктивной оптимизации сосудов». In Losa, Gabriele A .; Нонненмахер, Тео Ф. (ред.). Фракталы в биологии и медицине . Springer. С. 55–66. ISBN 978-3-7643-7172-2.
  50. ↑ JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Правила конечного деления . Конформная геометрия и динамика, т. 5 (2001), стр. 153–196.
  51. ^ JW Кэннон, У. Флойд и У. Парри. Рост кристаллов, рост биологических клеток и геометрия . Формирование паттернов в биологии, зрении и динамике, стр. 65–82. World Scientific, 2000. ISBN 981-02-3792-8 , ISBN 978-981-02-3792-9 .  
  52. ^ Fathallah-Шейх Хасан М. (2011). «Фрактальное измерение циркадных часов дрозофилы». Фракталы . 19 (4): 423–430. DOI : 10.1142 / S0218348X11005476 .
  53. ^ "Охота на скрытое измерение". Nova . PBS. WPMB-Мэриленд. 28 октября 2008 г.
  54. ^ Sadegh, Sanaz (2017). «Плазменная мембрана отделена самоподобной кортикальной сеткой актина» . Physical Review X . 7 (1): 011031. arXiv : 1702.03997 . Bibcode : 2017PhRvX ... 7a1031S . DOI : 10.1103 / PhysRevX.7.011031 . PMC 5500227 . PMID 28690919 .  
  55. ^ Лавджой, Шон (1982). «Отношение площади к периметру для областей дождя и облаков». Наука . 216 (4542): 185–187. Bibcode : 1982Sci ... 216..185L . DOI : 10.1126 / science.216.4542.185 . PMID 17736252 . S2CID 32255821 .  
  56. ^ Карбоне, Алессандра; Громов, Михаил; Прусинкевич, Пшемыслав (2000). Формирование паттернов в биологии, видении и динамике . World Scientific. п. 78. ISBN 978-981-02-3792-9.
  57. ^ C.-K. Пэн, С.В. Булдырев, А.Л. Голдбергер, С. Хэвлин, Ф. Шортино, М. Саймонс, Х.Э. Стэнли (1992). «Дальние корреляции в нуклеотидных последовательностях». Природа . 356 (6365): 168–70. DOI : 10.1038 / 356168a0 . PMID 1301010 . S2CID 4334674 .  CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  58. ^ Сорнетт, Дидье (2004). Критические явления в естествознании: хаос, фракталы, самоорганизация и беспорядок: концепции и инструменты . Springer. С. 128–140. ISBN 978-3-540-40754-6.
  59. ^ a b Sweet, D .; Ott, E .; Йорк, Дж. А. (1999), "Сложная топология в хаотическом рассеянии: лабораторное наблюдение", Nature , 399 (6734): 315, Bibcode : 1999Natur.399..315S , doi : 10.1038 / 20573 , S2CID 4361904 
  60. ^ С. Хэвлин, Д. Бен-Аврахам (1982). «Фрактальная размерность полимерных цепей». J. Phys. . 15 (6): L311 – L316. DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 15/6/011 .
  61. ^ Бунде, Армин; Хавлин, Шломо (1996). Фракталы и неупорядоченные системы .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  62. ^ Аддисон, Пол С. (1997). Фракталы и хаос: иллюстрированный курс . CRC Press. С. 44–46. ISBN 978-0-7503-0400-9. Проверено 5 февраля 2011 года .
  63. ^ Пинкус, Дэвид (сентябрь 2009 г.). «Хаотическая жизнь: фрактальные мозги, фрактальные мысли» . Psyologytoday.com .
  64. ^ Энрайт, Мэтью Б .; Лейтнер, Дэвид М. (27 января 2005 г.). «Массовая фрактальная размерность и компактность белков» . Physical Review E . 71 (1): 011912. Bibcode : 2005PhRvE..71a1912E . DOI : 10.1103 / PhysRevE.71.011912 . PMID 15697635 . 
  65. ^ Такаясу, Х. (1990). Фракталы в физических науках . Манчестер: Издательство Манчестерского университета. п. 36 . ISBN 9780719034343.
  66. ^ Джун, Ли; Остоя-Старжевский, Мартин (1 апреля 2015 г.). «Края колец Сатурна фрактальны» . SpringerPlus . 4, 158: 158. DOI : 10,1186 / s40064-015-0926-6 . PMC 4392038 . PMID 25883885 .  
  67. ^ Мейер, Ив; Рокес, Сильви (1993). Прогресс в вейвлет - анализа и применения: Труды Международной конференции «Всплески и их приложения», Тулуза, Франция - июнь 1992 года . Atlantica Séguier Frontières. п. 25. ISBN 978-2-86332-130-0. Проверено 5 февраля 2011 года .
  68. ^ Ожован М.И., Дмитриев И.Е., Батюхнова О.Г. Фрактальная структура пор глинистого грунта. Атомная энергия, 74, 241–243 (1993).
  69. ^ Шринивасан, КР; Менево, К. (1986). «Фрактальные грани турбулентности». Журнал гидромеханики . 173 : 357–386. Bibcode : 1986JFM ... 173..357S . DOI : 10.1017 / S0022112086001209 .
  70. ^ де Сильва, CM; Philip, J .; Chauhan, K .; Meneveau, C .; Марусич, И. (2013). "Мультимасштабная геометрия и масштабирование турбулентно-нетурбулентной границы раздела в пограничных слоях с высоким числом Рейнольдса". Phys. Rev. Lett . 111 (6039): 192–196. Bibcode : 2011Sci ... 333..192A . DOI : 10.1126 / science.1203223 . PMID 21737736 . S2CID 22560587 .  
  71. ^ Сингх, Чамкор; Мацца, Марко (2019), «Электрификация гранулированных газов приводит к ограниченному росту фракталов», Scientific Reports , Nature Publishing Group, 9 (1): 9049, doi : 10.1038 / s41598-019-45447-x , PMC 6588598 , PMID 31227758  
  72. Перейти ↑ Falconer, Kenneth (2013). Фракталы, очень краткое введение . Издательство Оксфордского университета.
  73. ^ Тейлор, RP; и другие. (1999). «Фрактальный анализ капельных картин Поллока» . Природа . 399 (6735): 422. Bibcode : 1999Natur.399..422T . DOI : 10.1038 / 20833 . S2CID 204993516 . 
  74. ^ Мурейка, младший; Дайер, СС; Купчик, ГК (2005). «Мультифрактальная структура в непредставительном искусстве». Physical Review E . 72 (4): 046101–1–15. arXiv : физика / 0506063 . Bibcode : 2005PhRvE..72d6101M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.72.046101 . PMID 16383462 . S2CID 36628207 .  
  75. ^ Redies, C .; Hasenstein, J .; Дензлер, Дж. (2007). «Статистика фрактальных изображений в визуальном искусстве: сходство с естественными сценами». Пространственное видение . 21 (1): 137–148. DOI : 10.1163 / 156856807782753921 . PMID 18073055 . 
  76. ^ Ли, S .; Olsen, S .; Гуч, Б. (2007). «Моделирование и анализ картин Джексона Поллока». Журнал математики и искусств . 1 (2): 73–83. CiteSeerX 10.1.1.141.7470 . DOI : 10.1080 / 17513470701451253 . S2CID 8529592 .  
  77. ^ Альварес-Рамирес, Дж .; Ибарра-Вальдес, Ц .; Rodriguez, E .; Дагдуг, Л. (2008). "1 / f-шумовая структура в капельных картинах Поллока". Physica . 387 (1): 281–295. Bibcode : 2008PhyA..387..281A . DOI : 10.1016 / j.physa.2007.08.047 .
  78. ^ Грэм, диджей; Поле, ди-джей (2008). «Вариации интенсивности для репрезентативного и абстрактного искусства, а также для искусства Восточного и Западного полушарий» (PDF) . Восприятие . 37 (9): 1341–1352. CiteSeerX 10.1.1.193.4596 . DOI : 10,1068 / p5971 . PMID 18986061 . S2CID 2794724 .    
  79. ^ Альварес-Рамирес, Дж .; Echeverria, JC; Родригес, Э. (2008). «Производительность многомерного метода R / S для оценки экспоненты Херста». Physica . 387 (26): 6452–6462. Bibcode : 2008PhyA..387.6452A . DOI : 10.1016 / j.physa.2008.08.014 .
  80. ^ Коддингтон, Дж .; Elton, J .; Rockmore, D .; Ван, Ю. (2008). «Мультифрактальный анализ и проверка подлинности картин Джексона Поллока». Труды SPIE . 6810 (68100F): 1–12. Bibcode : 2008SPIE.6810E..0FC . DOI : 10.1117 / 12.765015 . S2CID 7650553 . 
  81. ^ Аль-Айюб, М .; Irfan, MT; Аист, Д.Г. (2009). «Повышение уровня многофункциональных классификаторов визуальных текстур для аутентификации капельных картин Джексона Поллока». Труды SPIE по компьютерному зрению и анализу изображений искусства II . Компьютерное зрение и анализ изображений искусства II. 7869 (78690H): 78690H. Bibcode : 2011SPIE.7869E..0HA . DOI : 10.1117 / 12.873142 . S2CID 15684445 . 
  82. ^ Мурейка, младший; Тейлор, РП (2013). «Абстрактные экспрессионисты и автоматисты: мультифрактальная глубина?». Обработка сигналов . 93 (3): 573. DOI : 10.1016 / j.sigpro.2012.05.002 .
  83. ^ Тейлор, RP; и другие. (2005). «Аутентификация картин Поллока с использованием фрактальной геометрии». Письма с распознаванием образов . 28 (6): 695–702. DOI : 10.1016 / j.patrec.2006.08.012 .
  84. ^ Джонс-Смит, К .; и другие. (2006). "Фрактальный анализ: возвращаясь к картинам Поллока". Природа . 444 (7119): E9–10. Бибкод : 2006Natur.444E ... 9J . DOI : 10,1038 / природа05398 . PMID 17136047 . S2CID 4413758 .  
  85. ^ Тейлор, RP; и другие. (2006). «Фрактальный анализ: возвращаясь к картинам Поллока (Ответ)». Природа . 444 (7119): E10–11. Bibcode : 2006Natur.444E..10T . DOI : 10,1038 / природа05399 . S2CID 31353634 . 
  86. ^ Шамар, Л. (2015). «Что делает минтая минтая: подход машинного зрения» (PDF) . Международный журнал искусств и технологий . 8 : 1–10. CiteSeerX 10.1.1.647.365 . DOI : 10.1504 / IJART.2015.067389 .  
  87. ^ Тейлор, RP; Spehar, B .; Van Donkelaar, P .; Хагерхолл, CM (2011). «Перцепционные и физиологические ответы на фракталы Джексона Поллока» . Границы нейробиологии человека . 5 : 1–13. DOI : 10.3389 / fnhum.2011.00060 . PMC 3124832 . PMID 21734876 .  
  88. ^ Кадр, Майкл; и Mandelbrot, Benoît B .; Панорама фракталов и их использования
  89. ^ Нельсон, Брин; Сложная математика, лежащая в основе африканских деревень. Фрактальные модели используют повторение в большом и малом масштабе , San Francisco Chronicle, среда, 23 февраля 2009 г.
  90. ^ Ситунгкир, Хокки; Дахлан, Ролан (2009). Физика батик: имплементаси креатиф мелалуи сифат фрактал пада батик секара компьютерный . Джакарта: Грамедия Пустака Утама. ISBN 978-979-22-4484-7 
  91. ^ Rulistia, Novia D. (6 октября 2015). «Приложение отображает историю батика нации» . The Jakarta Post . Проверено 25 сентября 2016 года .
  92. ^ Koutonin, Mawuna (18 марта 2016). «История городов №5: Бенин-Сити, могучая средневековая столица, ныне потерянная без следа». Проверено 2 апреля 2018 года.
  93. ^ Тейлор, Ричард П. (2016). "Фрактальная беглость: интимная связь между мозгом и обработкой фрактальных стимулов". В Ди Иева, Антонио (ред.). Фрактальная геометрия мозга . Серия Спрингера в вычислительной нейробиологии. Springer. С. 485–496. ISBN 978-1-4939-3995-4.
  94. ^ Тейлор, Ричард П. (2006). «Снижение физиологического стресса с помощью фрактального искусства и архитектуры» . Леонардо . 39 (3): 245–251. DOI : 10.1162 / leon.2006.39.3.245 . S2CID 8495221 . 
  95. ^ Для дальнейшего обсуждения этого эффекта см. Taylor, Richard P .; Спехар, Бранка; Донкелаар, Пол Ван; Хагерхолл, Кэролайн М. (2011). «Перцепционные и физиологические ответы на фракталы Джексона Поллока» . Границы нейробиологии человека . 5 : 60. DOI : 10,3389 / fnhum.2011.00060 . PMC 3124832 . PMID 21734876 .  
  96. ^ Hohlfeld, Роберт G .; Коэн, Натан (1999). «Самоподобие и геометрические требования для частотной независимости в антеннах». Фракталы . 7 (1): 79–84. DOI : 10.1142 / S0218348X99000098 .
  97. ^ Райнер, Ричард; Вальтерайт, Патрик; Бенхелифа, Фуад; Мюллер, Стефан; Валчер, Герберт; Вагнер, Сандрин; Набережная, Рюдигер; Шлехтвег, Михаэль; Амбахер, Оливер; Амбахер, О. (2012). «Фрактальные структуры для низкоомных силовых транзисторов AlGaN / GaN большой площади». Труды ISPSD : 341–344. DOI : 10.1109 / ISPSD.2012.6229091 . ISBN 978-1-4577-1596-9. S2CID  43053855 .
  98. ^ Чживэй Хуанг; Юнхо Хван; Викрант Ауте; Райнхард Радермахер (2016). "Обзор фрактальных теплообменников" (PDF) Международная конференция по охлаждению и кондиционированию воздуха . Документ 1725
  99. ^ Chen, Yanguang (2011). "Моделирование фрактальной структуры распределений по размерам городов с помощью корреляционных функций" . PLOS ONE . 6 (9): e24791. arXiv : 1104.4682 . Bibcode : 2011PLoSO ... 624791C . DOI : 10.1371 / journal.pone.0024791 . PMC 3176775 . PMID 21949753 .  
  100. ^ «Приложения» . Архивировано из оригинального 12 октября 2007 года . Проверено 21 октября 2007 года .
  101. ^ "Обнаружение" жизни, какой мы ее не знаем "фрактальным анализом"
  102. ^ Смит, Роберт Ф .; Mohr, David N .; Торрес, Висенте Э .; Offord, Kenneth P .; Мелтон III, Л. Джозеф (1989). «Почечная недостаточность у внебольничных больных с легкой бессимптомной микрогематурией». Труды клиники Мэйо . 64 (4): 409–414. DOI : 10.1016 / s0025-6196 (12) 65730-9 . PMID 2716356 . 
  103. Перейти ↑ Landini, Gabriel (2011). «Фракталы в микроскопии». Журнал микроскопии . 241 (1): 1–8. DOI : 10.1111 / j.1365-2818.2010.03454.x . PMID 21118245 . S2CID 40311727 .  
  104. ^ Cheng, Qiuming (1997). «Мультифрактальное моделирование и анализ лакунарности». Математическая геология . 29 (7): 919–932. DOI : 10,1023 / A: 1022355723781 . S2CID 118918429 . 
  105. ^ Chen, Yanguang (2011). "Моделирование фрактальной структуры распределений по размерам городов с помощью корреляционных функций" . PLOS ONE . 6 (9): e24791. arXiv : 1104.4682 . Bibcode : 2011PLoSO ... 624791C . DOI : 10.1371 / journal.pone.0024791 . PMC 3176775 . PMID 21949753 .  
  106. ^ Burkle-Элизондо, Херардо; Вальдес-Сепеда, Рикардо Давид (2006). «Фрактальный анализ мезоамериканских пирамид». Нелинейная динамика, психология и науки о жизни . 10 (1): 105–122. PMID 16393505 . 
  107. ^ Браун, Клиффорд Т .; Витчи, Уолтер RT; Либович, Ларри С. (2005). «Разбитое прошлое: фракталы в археологии». Журнал археологического метода и теории . 12 : 37–78. DOI : 10.1007 / s10816-005-2396-6 . S2CID 7481018 . 
  108. ^ Саеди, Пантеха; Соренсен, Сорен А. (2009). «Алгоритмический подход к созданию тестовых полей после стихийных бедствий для поисковых и спасательных агентов» (PDF) . Материалы Всемирного инженерного конгресса 2009 : 93–98. ISBN  978-988-17-0125-1.
  109. ^ Bunde, A .; Хавлин, С. (2009). «Фрактальная геометрия, краткое введение». Энциклопедия сложности и системологии . п. 3700. DOI : 10.1007 / 978-0-387-30440-3_218 . ISBN 978-0-387-75888-6.
  110. ^ "Внутреннее устройство GPU" (PDF) .
  111. ^ "Сони патенты" .
  112. ^ "Описание swizzled и гибридных плиточных swizzled текстур" .
  113. ^ «US8773422B1 - Система, метод и компьютерный программный продукт для группировки линейно упорядоченных примитивов» . Патенты Google . 4 декабря 2007 . Проверено 28 декабря 2019 года .
  114. ^ «US20110227921A1 - Обработка данных трехмерной компьютерной графики на нескольких механизмах затенения» . Патенты Google . 15 декабря 2010 . Проверено 27 декабря 2019 года .
  115. ^ "Базы данных турбулентности Джонса Хопкинса" .
  116. ^ Li, Y .; Perlman, E .; Wang, M .; Ян, ю .; Meneveau, C .; Burns, R .; Chen, S .; Szalay, A .; Эйинк, Г. (2008). «Кластер общедоступной базы данных о турбулентности и приложения для изучения лагранжевой эволюции увеличения скорости турбулентности». Журнал турбулентности . 9 : N31. arXiv : 0804.1703 . Bibcode : 2008JTurb ... 9 ... 31L . DOI : 10.1080 / 14685240802376389 . S2CID 15768582 . 
  117. ^ «Введение в фрактальную геометрию» . www.fractal.org . Проверено 11 апреля 2017 года .
  118. ^ DeFelice, Дэвид (18 августа 2015). «НАСА - Ионная тяга» . НАСА . Проверено 11 апреля 2017 года .

[1]

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Барнсли, Майкл Ф .; и Восход, Хоули; Фракталы везде . Бостон: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0 
  • Duarte, German A .; Фрактальный рассказ. О взаимосвязи между геометрией и технологией и ее влиянии на нарративные пространства . Билефельд: стенограмма, 2014. ISBN 978-3-8376-2829-6 
  • Фалконер, Кеннет; Приемы фрактальной геометрии . Джон Вили и сыновья, 1997. ISBN 0-471-92287-0 
  • Юргенс, Хартмут; Пайтген, Хайнц-Отто ; и Саупе, Дитмар; Хаос и фракталы: новые рубежи науки . Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-387-97903-4 
  • Мандельброт, Бенуа Б .; Фрактальная геометрия природы . Нью-Йорк: WH Freeman and Co., 1982. ISBN 0-7167-1186-9 
  • Пайтген, Хайнц-Отто; и Саупе, Дитмар; ред .; Наука о фрактальных изображениях . Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-96608-0. 
  • Пиковер, Клиффорд А .; изд .; Хаос и фракталы: компьютерное графическое путешествие - 10-летний сборник перспективных исследований . Elsevier, 1998. ISBN 0-444-50002-2 
  • Джонс, Джесси; Фракталы для Macintosh , Waite Group Press, Corte Madera, CA, 1993. ISBN 1-878739-46-8 . 
  • Лауверье, Ганс; Фракталы: бесконечно повторяющиеся геометрические фигуры , перевод Софии Гилл-Хоффштадт, Princeton University Press, Princeton NJ, 1991. ISBN 0-691-08551-X , ткань. ISBN 0-691-02445-6 в мягкой обложке. «Эта книга написана для широкой аудитории ...» Включает в себя примеры программ BASIC в приложении.  
  • Спротт, Жюльен Клинтон (2003). Хаос и анализ временных рядов . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-850839-7.
  • Валь, Бернт; Ван Рой, Питер; Ларсен, Майкл; и Кампман, Эрик; Изучение фракталов на Macintosh , Addison Wesley, 1995. ISBN 0-201-62630-6 
  • Лесмуар-Гордон, Найджел; Цвета бесконечности: красота, сила и смысл фракталов . 2004. ISBN 1-904555-05-5 (к книге прилагается DVD с документальным введением Артура Кларка в концепцию фракталов и множество Мандельброта .) 
  • Лю, Хуацзе; Фрактальное искусство , Чанша: Hunan Science and Technology Press, 1997, ISBN 9787535722348 . 
  • Гуйе, Жан-Франсуа; Физика и фрактальные структуры (предисловие Б. Мандельброта); Masson, 1996. ISBN 2-225-85130-1 и Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996. ISBN 978-0-387-94153-0 . Из печати. Доступна в формате PDF по адресу. «Физика и фрактальные структуры» (на французском языке). Jfgouyet.fr . Проверено 17 октября 2010 года .  
  • Бунде, Армин; Хавлин, Шломо (1996). Фракталы и неупорядоченные системы . Springer.
  • Бунде, Армин; Хавлин, Шломо (1995). Фракталы в науке . Springer.
  • бен-Авраам, Даниил; Хавлин, Шломо (2000). Диффузия и реакции во фракталах и неупорядоченных системах . Издательство Кембриджского университета.
  • Фалконер, Кеннет (2013). Фракталы, очень краткое введение . Издательство Оксфордского университета.

Внешние ссылки [ править ]

  • Фракталы в веб-архивах Библиотеки Конгресса (архив 16 ноября 2001 г.)
  • Масштабирование и фракталы, представленные Шломо Хавлином , Университет Бар-Илан
  • Охота в скрытом измерении , PBS NOVA , первый эфир 24 августа 2011 г.
  • Бенуа Мандельброт: фракталы и искусство грубости , TED , февраль 2010 г.
  • Техническая библиотека фракталов для управления жидкостью
  • Уравнения самоподобной фрактальной меры на основе исчисления дробного порядка (2007 г.)
  1. ^ Санто Банерджи, М.К. Хассан, Саян Мукерджи и А. Говрисанкар, Фрактальные паттерны в нелинейной динамике и приложениях. (CRC Press, Taylor & Francis Group, 2019)