Набор Мандельброта

Набор Мандельброта (черный) в непрерывно окрашенной среде

Воспроизвести медиа

Прогрессивные бесконечные итерации раздела «Наутилус» набора Мандельброта, визуализированные с использованием webGL

Анимация Мандельброта, основанная на статическом количестве итераций на пиксель

Деталь набора Мандельброта

Множество Мандельброта ( / м æ п д əl б г ɒ т / ) представляет собой набор из комплексных чисел , для которых функция не расходится при итерированном из , т.е., для которых последовательность , и т.д., остается ограниченной по абсолютной величине . Его определение приписывают Адриену Дуади, который назвал его в честь математика Бенуа Мандельброта , пионера фрактальной геометрии. ^[1]${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f_ {c} (z) = z ^ {2} + c}$${\ displaystyle z = 0}$${\ displaystyle f_ {c} (0)}$${\ displaystyle f_ {c} (f_ {c} (0))}$

Приближение к множеству Мандельброта

Изображения множества Мандельброта демонстрируют тщательно продуманную и бесконечно сложную границу, которая выявляет все более мелкие рекурсивные детали при увеличении увеличения, делая границу множества Мандельброта фрактальной кривой . «Стиль» этой повторяющейся детали зависит от исследуемой области набора. Образы множества Мандельброта могут быть созданы путем выборки комплексных чисел и тестирования для каждой точки выборки , идет ли последовательность к бесконечности . Лечение на реальные и мнимые части из , как координат изображения на комплексной плоскости , то пиксели могут быть окрашены в соответствии с тем, как скоро последовательность${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f_ {c} (0), f_ {c} (f_ {c} (0)), \ dotsc}$ ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle | f_ {c} (0) |, | f_ {c} (f_ {c} (0)) |, \ dotsc}$пересекает произвольно выбранный порог. Если остается постоянным и вместо этого изменяется начальное значение , получается соответствующий набор Джулиа для точки .${\ displaystyle c}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle c}$

Множество Мандельброта стало популярным вне математики как из-за своей эстетической привлекательности, так и в качестве примера сложной структуры, возникающей в результате применения простых правил. Это один из самых известных примеров математической визуализации и математической красоты и мотива.

История [ править ]

Множество Мандельбро берет свое начало в сложной динамике - области, впервые исследованной французскими математиками Пьером Фату и Гастоном Жюлией в начале 20 века. Этот фрактал был впервые определен и нарисован в 1978 году Робертом Бруксом и Питером Мателски в рамках исследования кляйнианских групп . ^[2] На 1 марта 1980 года, в IBM «s Thomas J. Watson Research Center в Йорктаун Хайтс , Нью - Йорк , Бенуа Мандельброт впервые увидел визуализации множества. ^[3]

Мандельброт изучил пространство параметров из квадратичных полиномов в статье, опубликованной в 1980 году ^[4] Математическое исследование множества Мандельброта действительно начало с работой математик Adrien Дуади и Джон Х. Хаббард (1985), ^[1] , который установил много его фундаментальных свойств и назвал набор в честь Мандельброта за его влиятельную работу по фрактальной геометрии .

Математики Хайнц-Отто Пейтген и Петер Рихтер стали широко известны благодаря рекламе набора с фотографиями, книгами (1986), ^[5] и международной гастрольной выставкой немецкого Goethe-Institut (1985). ^{[6] [7]}

В статье на обложке журнала Scientific American за август 1985 г. широкая аудитория познакомилась с алгоритмом вычисления множества Мандельброта. На обложке было изображение с координатами −0,909 + −0,275 i, созданное Peitgen et al. ^{[8] [9]} Набор Мандельброта стал известен в середине 1980-х годов как демонстрация компьютерной графики , когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, чтобы строить и отображать набор в высоком разрешении. ^[10]

Работа Дуади и Хаббарда совпала с огромным ростом интереса к сложной динамике и абстрактной математике , и с тех пор изучение множества Мандельброта является центральным элементом этой области. Исчерпывающий список всех, кто внес свой вклад в понимание этого набора с тех пор, длинный, но он включает Михаила Любича , ^{[11] [12]} Курта Макмаллена , Джона Милнора , Мицухиро Шишикура и Жан-Кристофа Йоккоза .

Формальное определение [ править ]

Множество Мандельброта представляет собой набор значений с в комплексной плоскости , для которых орбиты в критической точке г = 0 при итерации из квадратичного отображения

${\ displaystyle z_ {n + 1} = z_ {n} ^ {2} + c}$

остается ограниченным . ^[13] Таким образом, комплексное число с является членом множества Мандельброта , если при старте с г ₀ = 0 и применяя итерации повторно, абсолютное значение из г _п остается ограниченной для всех п > 0.

Например, для c = 1 последовательность равна 0, 1, 2, 5, 26, ..., которая стремится к бесконечности , поэтому 1 не является элементом множества Мандельброта. С другой стороны, при c = −1 последовательность равна 0, −1, 0, −1, 0, ..., что ограничено, поэтому −1 действительно принадлежит набору.

Множество Мандельброта также можно определить как локус связности семейства многочленов .

Основные свойства [ править ]

Множество Мандельброта является компактным , поскольку оно замкнуто и содержится в замкнутом круге радиуса 2 вокруг начала координат . В частности, точка принадлежит множеству Мандельброта тогда и только тогда, когда для всех . Другими словами, абсолютное значение должно оставаться равным 2 или ниже, чтобы быть в наборе Мандельброта , как если бы это абсолютное значение больше 2, последовательность ускользнет в бесконечность.${\ displaystyle c}$${\displaystyle |z_{n}|\leq 2}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle z_{n}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle M}$

С итерациями, нанесенными на вертикальную ось, можно увидеть, что множество Мандельброта раздваивается там, где множество конечно.${\displaystyle z_{n}}$

Пересечение из с действительной осью именно интервал [-2, 1/4]. Параметры в этом интервале можно поставить во взаимно однозначное соответствие с параметрами реальной логистической семьи ,${\displaystyle M}$

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad r\in [1,4].}$

Соответствие дается

${\displaystyle z=r\left({\frac {1}{2}}-x\right),\quad c={\frac {r}{2}}\left(1-{\frac {r}{2}}\right).}$

Фактически, это дает соответствие между всем пространством параметров логистического семейства и набором Мандельброта.

Дуади и Хаббард показали, что множество Мандельброта связано . Фактически, они построили явный конформный изоморфизм между дополнением множества Мандельброта и дополнением замкнутого единичного круга . Мандельброт первоначально предположил, что множество Мандельброта несвязно . Это предположение было основано на компьютерных изображениях, созданных программами, которые не могут обнаружить тонкие нити, соединяющие разные части . После дальнейших экспериментов он пересмотрел свою гипотезу, решив, что это должно быть связано. Также существует топологическое доказательство связности, которое было обнаружено в 2001 году Джереми Каном . ^[14]${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Динамическая формула униформизации дополнения к множеству Мандельброта, вытекающая из доказательства связности Дуади и Хаббарда , порождает внешние лучи множества Мандельброта. Эти лучи можно использовать для изучения множества Мандельброта в комбинаторных терминах и сформировать основу параплаза Йоккоса . ^[15]${\displaystyle M}$

Граница множества Мандельброта точно раздвоение локус квадратичной семьи; то есть набор параметров, для которых динамика резко изменяется при небольших изменениях It, может быть построен как предельный набор последовательности плоских алгебраических кривых , кривых Мандельброта , общего типа, известного как полиномиальные лемнискаты . Кривые Мандельброта задаются, полагая p ₀ = z , p _{n +1} = p _n ² + z , а затем интерпретируя набор точек | п _п${\displaystyle c}$${\displaystyle c.}$( z ) | = 2 в комплексной плоскости как кривая в вещественной декартовой плоскости степени 2 ^{n +1} по x и y . Эти алгебраические кривые появляются на изображениях множества Мандельброта, вычисленных с использованием "алгоритма времени ухода", упомянутого ниже.

Другие свойства [ править ]

Основные кардиоидные и периодические лампочки [ править ]

Глядя на изображение набора Мандельброта, сразу замечаешь большую кардиоидную область в центре. Эта основная кардиоида представляет собой область параметров, для которых карта${\displaystyle c}$

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$

имеет притягивающую неподвижную точку . Он состоит из всех параметров формы

${\displaystyle c={\frac {\mu }{2}}\left(1-{\frac {\mu }{2}}\right)}$

для некоторых в открытом единичном диске .${\displaystyle \mu }$

Слева от основной кардиоиды, прикрепленной к ней на острие , видна лампочка круглой формы . Эта лампочка состоит из тех параметров, для которых есть цикл притяжения с периодом 2 . Этот набор параметров представляет собой реальную окружность, а именно, радиусом 1/4 около -1.${\displaystyle c=-3/4}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f_{c}}$

Есть бесконечно много других луковиц по касательной к основной кардиоиде: для каждого рационального числа , с р и д копервичным , есть такая лампа , которая является касательной в параметре${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$

${\displaystyle c_{\frac {p}{q}}={\frac {e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}{2}}\left(1-{\frac {e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}{2}}\right).}$

Эту лампочку называют лампочкой множества Мандельброта. Он состоит из параметров, которые имеют привлекающий цикл периода и комбинаторного числа вращения . Точнее, все периодические компоненты Фату, содержащие цикл притяжения, касаются общей точки (обычно называемой фиксированной точкой ). Если мы помечаем эти компоненты с ориентацией против часовой стрелки, то компонент сопоставляется с компонентом .${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle U_{0},\dots ,U_{q-1}}$${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle U_{j}}$${\displaystyle U_{j+p\,(\operatorname {mod} q)}}$

Изменение поведения, происходящее в , известно как бифуркация : притягивающая фиксированная точка «сталкивается» с периодом отталкивания q -циклом. Когда мы проходим через параметр бифуркации в -колбу, притягивающая неподвижная точка превращается в отталкивающую фиксированную точку ( -фиксированная точка), а период q -цикла становится притягивающим.${\displaystyle c_{\frac {p}{q}}}$${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$${\displaystyle \alpha }$

Гиперболические компоненты [ править ]

Все лампочки, с которыми мы столкнулись в предыдущем разделе, были внутренними компонентами множества Мандельброта, в котором карты имеют притягивающий периодический цикл. Такие компоненты называются гиперболическими .${\displaystyle f_{c}}$

Предполагается, что это единственные внутренние регионы . Эта проблема, известная как плотность гиперболичности , может быть самой важной открытой проблемой в области сложной динамики. Гипотетические негиперболические компоненты множества Мандельброта часто называют «странными» или призрачными компонентами. ^{[16] [17]} Для вещественных квадратичных многочленов положительный ответ на этот вопрос был дан в 1990-е годы независимо от Любича, Грачика и Свентека. (Обратите внимание, что гиперболические компоненты, пересекающие вещественную ось, точно соответствуют периодическим окнам на диаграмме Фейгенбаума . Таким образом, этот результат утверждает, что такие окна существуют около каждого параметра на диаграмме.)${\displaystyle M}$

Не каждый гиперболический компонент может быть достигнут последовательностью прямых бифуркаций от основной кардиоиды множества Мандельброта. Однако такой компонент может быть достигнут последовательностью прямых бифуркаций от главной кардиоиды маленькой копии Мандельброта (см. Ниже).

Каждый из гиперболических компонентов имеет центр , который является точкой c, такой что внутренняя область Фату для имеет цикл суперпритяжения, то есть притяжение бесконечно (см. Изображение здесь ). Это означает, что цикл содержит критическую точку 0, так что 0 возвращается к себе после некоторых итераций. Следовательно, мы имеем это для некоторого n . Если мы назовем этот многочлен (позволяя ему зависеть от c вместо z ), мы получим его, и его степень равна . Следовательно, мы можем построить центры гиперболических компонент, последовательно решая уравнения${\displaystyle f_{c}(z)}$${\displaystyle f_{c}^{n}(0)=0}$${\displaystyle Q^{n}(c)}$${\displaystyle Q^{n+1}(c)=Q^{n}(c)^{2}+c}$${\displaystyle Q^{n}(c)}$${\displaystyle 2^{n-1}}$${\displaystyle Q^{n}(c)=0,n=1,2,3,...}$. Количество новых центров, производимых на каждом этапе, указано в OEIS Sloane :  A000740 .

Локальная связь [ править ]

Предполагается, что множество Мандельброта локально связно . Эта знаменитая гипотеза известна как MLC (от локально связного Мандельброта ). Благодаря работе Адриена Дуади и Джона Хаббарда эта гипотеза привела к простой абстрактной модели «защемленного диска» множества Мандельброта. В частности, из этого следует упомянутая выше важная гипотеза гиперболичности .

Работа Жана-Кристофа Йоккоза установила локальную связность множества Мандельброта при всех конечно перенормируемых параметрах; то есть, грубо говоря, те, которые содержатся только в конечном числе маленьких копий Мандельброта. ^[18] С тех пор локальная связность была доказана во многих других точках , но полная гипотеза все еще остается открытой.${\displaystyle M}$

Самоподобие [ править ]

Самоподобие в наборе Мандельброта показано увеличением круглого объекта при панорамировании в отрицательном направлении x . Центральная часть дисплея панорамируется от (-1, 0) до (-1,31, 0), а изображение увеличивается от 0,5 × 0,5 до 0,12 × 0,12, чтобы приблизительно соответствовать коэффициенту Фейгенбаума .${\displaystyle \delta }$

Множество Мандельброта автомодельно при увеличении в окрестностях точек Мисюревича . Также предполагается, что он самоподобен вокруг обобщенных точек Фейгенбаума (например, -1,401155 или -0,1528 + 1,0397 i ) в смысле сходимости к предельному набору. ^{[19] [20]} Множество Мандельброта в целом не является строго самоподобным, но оно квазиавтомодельно, поскольку небольшие, немного отличающиеся версии самого себя могут быть найдены в сколь угодно малых масштабах. Все эти маленькие копии набора Мандельброта немного отличаются, в основном из-за тонких нитей, соединяющих их с основным корпусом набора.

Дальнейшие результаты [ править ]

Хаусдорфова от границы множества Мандельброта равно 2 , как определено в результате Митсуайро Шишикура . ^[21] Неизвестно, имеет ли граница множества Мандельброта положительную плоскую меру Лебега .

В модели реальных вычислений Блюма – Шуба – Смейла множество Мандельброта не вычислимо, но его дополнение вычислимо перечислимо . Однако многие простые объекты ( например , график возведения в степень) также не вычисляются в модели BSS. В настоящее время неизвестно, можно ли вычислить множество Мандельброта в моделях реальных вычислений, основанных на вычислимом анализе , которые более точно соответствуют интуитивному понятию «построение набора с помощью компьютера». Хертлинг показал, что множество Мандельброта вычислимо в этой модели, если гипотеза гиперболичности верна.

Отношения с Джулией устанавливаются [ править ]

Как следствие определения множества Мандельброта, существует тесное соответствие между геометрией множества Мандельброта в данной точке и структурой соответствующего множества Жюлиа . Например, точка находится в множестве Мандельброта именно тогда, когда соответствующее множество Жюлиа связано.

Этот принцип используется практически во всех глубоких результатах по множеству Мандельброта. Например, Шишикура доказал, что для плотного набора параметров на границе множества Мандельброта множество Жюлиа имеет размерность два по Хаусдорфу , а затем передает эту информацию в плоскость параметров. ^[21] Точно так же Йоккос сначала доказал локальную связность множеств Жюлиа, прежде чем установить ее для множества Мандельброта при соответствующих параметрах. ^[18] Адриан Дуади формулирует этот принцип так:

Пахать в динамической плоскости и собирать урожай в пространстве параметров.

Геометрия [ править ]

Для каждого рационального числа , где р и д являются взаимно простыми , гиперболического составляющей период д разветвляется от основного кардиоида. Часть множества Мандельброта, соединенная с основной кардиоидой в этой точке бифуркации, называется p / q- конечностью . Компьютерные эксперименты предполагают, что диаметр конечности стремится к нулю . Наилучшая известная текущая оценка - это неравенство Йоккоса , которое утверждает, что размер стремится к нулю .${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{q^{2}}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}$

Конечность с периодом q будет иметь q  - 1 «усиков» наверху. Таким образом, мы можем определить период данной лампочки, посчитав эти антенны. Мы также можем найти числитель числа вращения p , пронумеровав каждую антенну против часовой стрелки от лимба от 1 до q  - 1 и определив, какая антенна самая короткая. ^[22]

Пи в множестве Мандельброта [ править ]

В попытке продемонстрировать, что толщина p / q- конечности равна нулю, Дэвид Болл провел в 1991 году компьютерный эксперимент, в котором он вычислил количество итераций, необходимых для расхождения ряда при z = -3/4+ iε (-3/4являясь его местонахождением). Поскольку ряды не расходятся для точного значения z = -3/4, количество необходимых итераций увеличивается с малым ε . Оказывается, умножение значения ε на количество требуемых итераций дает приближение π, которое становится лучше при меньшем ε . Например, для ε = 0,0000001 количество итераций составляет 31415928, а произведение равно 3,1415928. ^[23] В 2001 году Аарон Клебанов доказал открытие Болла. ^[24]

Последовательность Фибоначчи в множестве Мандельброта [ править ]

Можно показать, что последовательность Фибоначчи находится внутри множества Мандельброта и что существует связь между основной кардиоидой и диаграммой Фарея . При отображении основной кардиоиды на диск можно заметить, что количество антенн, которые отходят от следующего по величине гиперболического компонента и которые расположены между двумя ранее выбранными компонентами, следует примеру последовательности Фибоначчи. Количество антенн также коррелирует с диаграммой Фарея, а значения знаменателя в пределах соответствующих дробных значений, которые относятся к расстоянию вокруг диска. Обе части этих дробных значений сами по себе могут быть суммированы после${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$для определения местоположения следующего гиперболического компонента в последовательности. Таким образом, последовательность Фибоначчи из 1, 2, 3, 5, 8, 13 и 21 может быть найдена внутри множества Мандельброта.

Галерея изображений последовательности увеличения [ править ]

Набор Мандельброта показывает более сложные детали, чем ближе человек смотрит или увеличивает изображение, что обычно называется «приближением». Следующий пример увеличения последовательности изображений до выбранного значения c дает представление о бесконечном богатстве различных геометрических структур и объясняет некоторые из их типичных правил.

Увеличение последнего изображения по отношению к первому составляет примерно 10 ¹⁰ к 1. Относительно обычного монитора он представляет собой часть множества Мандельброта диаметром 4 миллиона километров. Его граница будет показывать астрономическое количество различных фрактальных структур.

• Начинать. Набор Мандельброта с непрерывно окрашенной средой.

• Промежуток между «головой» и «телом», также называемый «долиной морских коньков».

• Слева двойные спирали, справа «морские коньки».

• «Морской конек» вверх ногами

«Тело» морского конька состоит из 25 «спиц», состоящих из двух групп по 12 «спиц» в каждой и одной «спицы», соединенной с главной кардиоидой. Эти две группы могут быть отнесены некоторой метаморфозой к двум «пальцам» «верхушки» множества Мандельброта; следовательно, количество «спиц» увеличивается от одного «морского конька» к другому на 2; «хаб» - это так называемая точка Мисюревича . Между «верхней частью тела» и «хвостом» можно распознать искаженную уменьшенную копию множества Мандельброта, называемую спутником.

• Центральная конечная точка "морского конька" также является точкой Мисюревича .

• Часть «хвоста» - есть только один путь, состоящий из тонких структур, которые ведут через весь «хвост». Этот зигзагообразный путь проходит через «центры» больших объектов с 25 «спицами» на внутренней и внешней границе «хвоста»; таким образом, набор Мандельброта является односвязным набором, что означает отсутствие островов и петлевых дорог вокруг дыры.

• Спутник. Два «коньковых хвоста» - это начало серии концентрических венцов со спутником в центре. Откройте это место в интерактивном средстве просмотра.

• Каждая из этих корон состоит из одинаковых «хвостов морского конька»; их количество увеличивается со степенью двойки, что является типичным явлением в среде спутников. Уникальный путь к центру спирали проходит через спутник от паза кардиоиды до вершины «антенны» на «голове».

• «Антенна» спутника. Могут распознаваться несколько спутников второго порядка.

• «Долина морских коньков» спутника. Все структуры с начала увеличения снова появятся.

• Двойные спирали и «морские коньки» - в отличие от 2-го изображения с самого начала, у них есть отростки, состоящие из структур типа «хвосты морского конька»; это демонстрирует типичное соединение n + 1 различных структур в среде спутников порядка n , здесь для простейшего случая n = 1.

• Двойные спирали со спутниками второго порядка - аналогично «морским конькам», двойные спирали можно интерпретировать как метаморфозу «антенны».

• Во внешней части приложений можно различить островки структур; они имеют форму, подобную множеству Джулии J _c ; самый большой из них находится в центре "двойного крючка" с правой стороны.

• Часть «двойной крючок»

• Острова

• Деталь одного острова

• Деталь спирали. Откройте это место в интерактивном средстве просмотра.

Острова на предпоследнем шаге, кажется, состоят из бесконечно большого числа частей, подобных множеству Кантора , как ^{[ требуется пояснение ] на} самом деле в случае соответствующего множества Жюлиа J _c . Однако они соединены крошечными конструкциями, так что все представляет собой односвязное множество. Крошечные структуры встречаются у спутника в центре, который слишком мал, чтобы их можно было распознать при таком увеличении. Значение c для соответствующего J _c не является значением центра изображения, но, относительно основной части набора Мандельброта, имеет то же положение, что и центр этого изображения относительно спутника, показанного на 6-м шаге увеличения.

Обобщения [ править ]

Наборы мультиброта [ править ]

Множества мультиброта - это ограниченные множества, находящиеся в комплексной плоскости для членов общего однозначного одномерного полиномиального семейства рекурсий.

${\displaystyle z\mapsto z^{d}+c.\ }$

Для целого числа d эти множества являются локусами связности для множеств Жюлиа, построенных по той же формуле. Также был изучен полный кубический локус связности; здесь рассматривается двухпараметрическая рекурсия , две критические точки которой представляют собой комплексные квадратные корни параметра k . Параметр находится в локусе кубической связности, если обе критические точки устойчивы. ^[25] Для общих семейств голоморфных функций , то граница из набора обобщающего Мандельброта к бифуркационному локусу , который является естественным объектом для изучения , даже когда связанность локус не является полезным.${\displaystyle z\mapsto z^{3}+3kz+c}$

Множество Multibrot получается путем изменения значения показателя г . В статье есть видео, в котором показано развитие от d = 0 до 7, при этом по периметру имеется 6 лепестков ie ( d - 1). Подобное развитие с отрицательными показателями степени приводит к (1 - d ) трещинам на внутренней стороне кольца.

Высшие измерения [ править ]

Не существует идеального продолжения множества Мандельброта в 3D. Это потому, что нет трехмерного аналога комплексных чисел, по которому можно было бы повторять. Однако существует расширение комплексных чисел в 4 измерения, называемое кватернионами , которое создает идеальное расширение множества Мандельброта и множеств Джулиа в 4 измерения. ^[26] Затем они могут быть либо разрезаны, либо спроецированы в трехмерную структуру.

Другие, неаналитические, сопоставления [ править ]

Особый интерес представляет фрактал треугольника , геометрическое место связности антиголоморфного семейства.

${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}^{2}+c.}$

Треугольник (также иногда называемый Мандельбаром ) встретился Милнор в его исследовании срезов параметров реальных кубических многочленов . Это не связано локально. Это свойство унаследовано множеством связности вещественных кубических многочленов.

Другое неаналитическое обобщение - фрактал Горящего Корабля , который получается повторением следующего:

${\displaystyle z\mapsto (|\Re \left(z\right)|+i|\Im \left(z\right)|)^{2}+c.}$

Компьютерные рисунки [ править ]

Существует множество различных алгоритмов построения множества Мандельброта с помощью вычислительного устройства. Здесь будет продемонстрирован наиболее широко используемый и простейший алгоритм, а именно наивный «алгоритм времени ухода». В алгоритме времени ухода повторяющееся вычисление выполняется для каждой точки x , y в области графика, и на основе поведения этого вычисления выбирается цвет для этого пикселя.

Положения x и y каждой точки используются в качестве начальных значений в повторяющемся или повторяющемся вычислении (подробно описано ниже). Результат каждой итерации используется в качестве начальных значений для следующей. Значения проверяются во время каждой итерации, чтобы увидеть, достигли ли они критического состояния «выхода» или «выхода из кризиса». Если это условие достигается, вычисление останавливается, пиксель рисуется и исследуется следующая точка x , y .

Цвет каждой точки показывает, как быстро значения достигли точки перехода. Часто черный цвет используется для отображения значений, которые не удается избежать до предела итерации, и постепенно более яркие цвета используются для точек, которые выходят за пределы. Это дает визуальное представление о том, сколько циклов потребовалось до достижения условия выхода.

Для визуализации такого изображения рассматриваемая область комплексной плоскости делится на определенное количество пикселей . Чтобы раскрасить любой такой пиксель, позвольте быть средней точкой этого пикселя. Теперь мы перебираем критическую точку 0 под , проверяя на каждом шаге, имеет ли точка орбиты модуль больше 2. В этом случае мы знаем, что она не принадлежит набору Мандельброта, и окрашиваем наш пиксель в соответствии с количеством итерации, используемые для выяснения. В противном случае мы продолжаем повторять до фиксированного количества шагов, после чего решаем, что наш параметр «вероятно» находится в наборе Мандельброта или, по крайней мере, очень близок к нему, и окрашиваем пиксель в черный цвет.${\displaystyle c}$${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle c}$

В псевдокоде этот алгоритм выглядел бы следующим образом. Алгоритм не использует комплексные числа и вручную моделирует операции с комплексными числами, используя два действительных числа, для тех, кто не имеет сложного типа данных . Программу можно упростить, если язык программирования включает операции со сложными типами данных.

для каждого пикселя (Px, Py) на экране выполните x0: = масштабированная координата x пикселя (масштабируется в соответствии с масштабом X Мандельброта (-2,5, 1)) y0: = масштабированная координата y пикселя (масштабируется в соответствии с масштабом Y Мандельброта (-1, 1)) х: = 0,0 у: = 0,0 итерация: = 0 max_iteration: = 1000 while (x * x + y * y ≤ 2 * 2 И итерация <max_iteration) делать xtemp: = х * х - у * у + х0 у: = 2 * х * у + у0 x: = xtemp итерация: = итерация + 1  цвет: = палитра [итерация] сюжет (Px, Py, цвет)

Здесь, относя псевдокод к , и :${\displaystyle c}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f_{c}}$

• ${\displaystyle z=x+iy\ }$
• ${\displaystyle z^{2}=x^{2}+i2xy-y^{2}\ }$
• ${\displaystyle c=x_{0}+iy_{0}\ }$

и так, как можно увидеть в псевдокоде при вычислении x и y :

• ${\displaystyle x=\mathop {\mathrm {Re} } (z^{2}+c)=x^{2}-y^{2}+x_{0}}$ и ${\displaystyle y=\mathop {\mathrm {Im} } (z^{2}+c)=2xy+y_{0}.\ }$

Чтобы получить красочные изображения набора, присвоение цвета каждому значению количества выполненных итераций может быть выполнено с помощью одной из множества функций (линейной, экспоненциальной и т. Д.).

Ссылки в популярной культуре [ править ]

Множество Мандельброта считается многими наиболее популярным фракталом ^{[27] [28],} и на него несколько раз ссылались в массовой культуре.

• Джонатан Колтон песня «Манделброт» дань как сам фрактал и его первооткрывателя Benoit Мандельброта. ^[29]
• Вторая книга серии Mode по Пирса Энтони , Fractal Mode , описывает мир , который является идеальным 3D модель набора. ^[30]
• В романе Артура Кларка «Призрак из Большого банка» есть искусственное озеро, сделанное по форме множества Мандельброта. ^[31]
• Бенуа Мандельброт и одноименная группа были предметами Google Doodle 20 ноября 2020 года (96 лет со дня рождения покойного Бенуа Мандельброта). ^[32]
• У американской рок-группы Heart есть изображение Мандельброта на обложке их альбома 2004 года Jupiters Darling .

См. Также [ править ]

• Буддхаброт
• Фрактал Коллатца
• Фрактинт
• Перестановка Гилбрита
• Mandelbox
• Mandelbulb
• Губка Менгера
• Фрактал Ньютона
• Орбитальный портрет
• Орбитальная ловушка
• Подъемник

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Джон В. Милнор , Динамика в одной комплексной переменной (третье издание), Annals of Mathematics Studies 160, (Princeton University Press, 2006), ISBN 0-691-12488-4 (Впервые появился в 1990 году как препринт Stony Brook IMS , доступен как arXiV: math.DS / 9201272 ) 
  
• Найджел Лесмуар-Гордон, Цвета бесконечности: красота, сила и чувство фракталов , ISBN 1-904555-05-5 (включает DVD с участием Артура Кларка и Дэвида Гилмора ) 
  
• Хайнц-Отто Пайтген , Хартмут Юргенс , Дитмар Саупе , Хаос и фракталы: новые рубежи науки (Спрингер, Нью-Йорк, 1992, 2004), ISBN 0-387-20229-3 

Внешние ссылки [ править ]

В Викиучебнике есть книга на тему: Фракталы.

Викискладе есть медиафайлы по теме множества Мандельброта .

• Хаос и фракталы в Curlie
• Множество Мандельброта и множества Жюлиа Майкла Фрейма, Бенуа Мандельброта и Ниала Негера
• Видео: фрактальный масштаб Мандельброта до 6.066 e228
• Относительно простое объяснение математического процесса , от д - ра Холли Krieger , MIT
• Набор изображений Мандельброта онлайн-рендеринг
• Различные алгоритмы вычисления множества Мандельброта (по Rosetta Code )
• Калькулятор фракталов, написанный на Lua Деяном Добромировым, София, Болгария