Юля набор

Набор Джулии

Воспроизвести медиа

Трехмерные срезы (четырехмерного) множества Джулиа функции на кватернионах

В контексте сложной динамики , в теме математики , то множество Жюлиа и множество Фату два взаимодополняющие набор (Julia «шнурки» и Фата «дусты») , определенные из функции . Неформально набор Фату функции состоит из значений со свойством, что все близлежащие значения ведут себя одинаково при повторной итерации функции, а набор Жюлиа состоит из таких значений, что сколь угодно малое возмущение может вызвать радикальные изменения в последовательности повторяемой функции. значения. Таким образом, поведение функции на множестве Фату является «регулярным», а на множестве Жюлиа - « хаотическим ».

Множество Жюлиа функции f обычно обозначается J ( f ), а множество Фату обозначается F ( f ). ^[1] Эти наборы названы в честь французских математиков Гастона Жюлиа ^[2] и Пьера Фату ^[3], чьи работы положили начало изучению сложной динамики в начале 20 века.

Формальное определение [ править ]

Пусть f ( z ) - непостоянная голоморфная функция из сферы Римана на себя. Такие f ( z ) - это в точности непостоянные комплексные рациональные функции , то есть , где p ( z ) и q ( z ) - комплексные многочлены . Предположим, что p и q не имеют общих корней и хотя бы одно из них имеет степень больше 1. Тогда существует конечное число открытых множеств F ₁ , ..., F _r , которые остаются инвариантными в силу${\ Displaystyle е (г) = п (г) / д (г)}$ f ( z ) и таковы, что:

1. объединение множеств F _i плотно на плоскости и
2. f ( z ) ведет себя регулярно и одинаково на каждом из множеств F _i .

Последнее утверждение означает, что концы последовательностей итераций, порожденных точками F _i , либо являются одним и тем же множеством, которое в таком случае является конечным циклом, либо они являются конечными циклами множеств круговой или кольцевой формы, лежащих концентрически. В первом случае цикл притягивающий , во втором - нейтральный .

Эти множества F _i являются областями Фату функции f ( z ), а их объединение является множеством Фату F ( f ) функции f ( z ). Каждая из областей Фату содержит , по меньшей мере , одну критическую точку из F ( г ), то есть (конечная) точка г , удовлетворяющая , или , если степень числителя р ( г ) по меньшей мере , два больше , чем степень знаменатель q ( z ), или если для некоторого c и рациональной функции${\ displaystyle f '(z) = 0}$${\ Displaystyle F (Z) = \ infty}$${\ Displaystyle е (г) = 1 / г (г) + с}$g ( z ), удовлетворяющая этому условию.

Дополнением к F ( f ) является множество Жюлиа J ( f ) к f ( z ). Если все критические точки предпериодические, то есть они не периодические, но в конечном итоге попадают в периодический цикл, то J ( f ) - это вся сфера; в противном случае J ( f ) - нигде не плотное множество (без внутренних точек) и несчетное множество (той же мощности, что и действительные числа). Как и F ( f ), J ( f ) инвариантно слева относительно f ( z), и на этом наборе итерация является отталкивающей, что означает, что для всех w в окрестности z (в пределах J ( f )). Это означает, что f ( z ) ведет себя хаотично на множестве Жюлиа. Хотя в множестве Жюлиа есть точки, последовательность итераций которых конечна, таких точек только счетное число (и они составляют бесконечно малую часть множества Жюлиа). Последовательности, генерируемые точками вне этого набора, ведут себя хаотично - явление, называемое детерминированным хаосом .${\ Displaystyle | е (г) -f (ш) |> | zw |}$

Были проведены обширные исследования множеств Фату и Джулиа повторяющихся рациональных функций , известных как рациональные отображения. Например, известно, что множество Фату рационального отображения имеет либо 0, 1, 2, либо бесконечно много компонентов . ^[4] Каждый компонент множества Фату рациональной карты может быть отнесен к одному из четырех различных классов . ^[5]

Эквивалентные описания множества Джулии [ править ]

• J ( f ) - наименьшее замкнутое множество, содержащее не менее трех точек, которое полностью инвариантно относительно f .
• J ( f ) - замыкание множества отталкивающих периодических точек .
• Для всех точек z ∈ X , кроме двух , множество Жюлиа - это множество предельных точек полной обратной орбиты . (Это предлагает простой алгоритм построения множеств Жюлиа, см. Ниже.)${\ Displaystyle \ bigcup _ {п} е ^ {- п} (г)}$
• Если f - целая функция , то J ( f ) - это граница множества точек, сходящихся к бесконечности при итерации.
• Если f - многочлен, то J ( f ) - граница заполненного множества Жюлиа ; то есть те точки, орбиты которых при итерациях f остаются ограниченными.

Свойства множества Джулия и Фату [ править ]

Множество Жюлиа и множество Фата из F являются вполне инвариантными итерациями под голоморфную функцией F : ^[6]

${\ Displaystyle f ^ {- 1} (J (f)) = f (J (f)) = J (f),}$

${\ Displaystyle f ^ {- 1} (F (f)) = f (F (f)) = F (f).}$

Примеры [ править ]

Поскольку множество Жюлиа представляет собой единичный круг, и на нем итерация задается удвоением углов (операция, которая хаотична в точках, аргумент которых не является рациональной долей ). Есть две области Фату: внутренняя и внешняя части круга с итерацией к 0 и ∞ соответственно.${\ Displaystyle е (г) = г ^ {2}}$${\ displaystyle 2 \ pi}$

Для множества Жюлиа это отрезок прямой между -2 и 2. Есть одна область Фату : точки, не лежащие на отрезке, повторяются в направлении ∞. (Помимо сдвига и масштабирования области, эта итерация эквивалентна единичному интервалу, который обычно используется в качестве примера хаотической системы.)${\ Displaystyle г (г) = г ^ {2} -2}$${\ Displaystyle х \ до 4 (х - {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2}}$

Функции f и g имеют вид , где c - комплексное число. Для такой итерации множество Жюлиа, как правило, не простая кривая, а фрактал, и для некоторых значений c он может принимать удивительные формы. Смотрите картинки ниже.${\ displaystyle z ^ {2} + c}$

Для некоторых функций f ( z ) можно заранее сказать, что множество Жюлиа является фракталом, а не простой кривой. Это связано со следующим результатом на итерациях рациональной функции:

Теорема. Каждая из областей Фату имеет одну и ту же границу, которая, следовательно, является множеством Жюлиа.

Это означает, что каждая точка множества Джулиа является точкой накопления для каждого из доменов Фату. Следовательно, если существует более двух областей Фату, каждая точка множества Жюлиа должна иметь точки более чем двух различных открытых множеств, бесконечно близких, и это означает, что множество Жюлиа не может быть простой кривой. Это явление происходит, например, когда f ( z ) - итерация Ньютона для решения уравнения :${\ Displaystyle P (z): = z ^ {n} -1 = 0, n> 2}$

${\displaystyle f(z)=z-{\frac {P(z)}{P'(z)}}={\frac {1+(n-1)z^{n}}{nz^{n-1}}}\,.}$

На изображении справа показан случай n = 3.

Квадратичные многочлены [ править ]

Джулия устанавливает для , где значение варьируется от 0 до${\displaystyle z^{2}+0.7885\,e^{ia}}$${\displaystyle 2\pi }$

Очень популярная сложная динамическая система - это семейство комплексных квадратичных многочленов , частный случай рациональных отображений . Такие квадратичные многочлены могут быть выражены как

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c,}$

где c - комплексный параметр. Исправьте некоторые достаточно большие . (Например, если он входит в набор Мандельброта, то мы можем просто позволить .) Тогда заполненное множество Жюлиа для этой системы является подмножеством комплексной плоскости, заданной формулой${\displaystyle R>0}$${\displaystyle R^{2}-R\geq |c|}$${\displaystyle c}$${\displaystyle |c|\leq 2}$${\displaystyle R=2}$

${\displaystyle K(f_{c})=\left\{z\in \mathbb {C} :\forall n\in \mathbb {N} ,|f_{c}^{n}(z)|\leq R\right\},}$

где это п - й итерации в . Множество Julia этой функции является границей .${\displaystyle f_{c}^{n}(z)}$${\displaystyle f_{c}(z)}$${\displaystyle J(f_{c})}$${\displaystyle K(f_{c})}$

• Заполненный набор Джулии для f _c , c  = 1 - φ, где φ - золотое сечение

• Множество Жюлиа для f _c , c  = (φ - 2) + (φ - 1) i  = −0.4 + 0.6 i

• Набор  Жюли для f _c , c = 0,285 + 0 i

• Набор Джулии для f _c , c  = 0,285 + 0,01 i

• Набор Джулии для f _c , c  = 0,45 + 0,1428 i

• Множество Жюлиа для f _c , c  = −0,70176 - 0,3842 i

• Множество Жюлиа для f _c , c  = −0,835 - 0,2321 i

• Множество Жюлиа для f _c , c  = −0,8 + 0,156 i

• Множество Жюлиа для f _c , c  = −0,7269 + 0,1889 i

• Множество Жюлиа для f _c , c  = −0,8 i

Плоскость параметров квадратичных многочленов, то есть плоскость возможных значений c, дает начало знаменитому множеству Мандельброта . Действительно, множество Мандельброта определяется как множество всех с таким , что будет подключен . Для параметров вне множества Мандельброта множество Жюлиа является канторовым пространством : в этом случае его иногда называют пылью Фату .${\displaystyle J(f_{c})}$

Во многих случаях множество Жюлиа точки c выглядит как множество Мандельброта в достаточно малых окрестностях точки c . Это верно, в частности, для так называемых параметров Мисюревича , то есть параметров c, для которых критическая точка является предпериодической . Например:

• При c = i , более коротком переднем пальце передней части стопы, набор Джулии выглядит как разветвленная молния.
• При c = −2, кончике длинного остроконечного хвоста, множество Джулиа представляет собой отрезок прямой линии.

Другими словами, множества Жюлиа локально подобны вокруг точек Мисюревича . ^[7]${\displaystyle J(f_{c})}$

Обобщения [ править ]

Определение множеств Жюлиа и Фату легко переносится на случай некоторых карт, образ которых содержит их область определения; прежде всего трансцендентные мероморфные функции и отображения конечного типа Адама Эпштейна .

Множества Жюлиа также обычно определяются при изучении динамики нескольких комплексных переменных.

Псевдокод [ править ]

Приведенные ниже реализации псевдокода жестко кодируют функции для каждого фрактала. Рассмотрите возможность реализации сложных числовых операций, чтобы обеспечить более динамичный и повторно используемый код.

Псевдокод для обычных наборов Джулии [ править ]

${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$

R  =  escape  radius  # выберите R> 0 так, чтобы R ** 2 - R> = sqrt (cx ** 2 + cy ** 2)для  каждого  пикселя  ( х ,  у )  на  на  экране ,  сделать :  {  ге  =  масштабируются  й  координаты  из  пикселей  # (масштаб , чтобы быть между -R и R)  # гми представляет собой действительную часть г.  ZY  =  масштабируется  у  координат  из  пикселей  # (масштаб , чтобы быть между -R и R)  # ZY представляет собой мнимую часть г. итерация  =  0  max_iteration  =  1000  while  ( zx  *  zx  +  zy  *  zy  <  R ** 2  AND  итерация  <  max_iteration )  {  xtemp  =  zx  *  zx  -  zy  *  zy  zy  =  2  *  zx  *  zy  +  cy  zx  =  xtemp  +  cx  итерация  =  итерация  +  1  }  если  ( итерация  ==  max_iteration )  вернуть  черный ;  иначе  вернуть  итерацию ; }

Псевдокод для множеств Джулиа [ править ]

${\displaystyle f(z)=z^{n}+c}$

R  =  escape  radius  # выберите R> 0 так, чтобы R ** n - R> = sqrt (cx ** 2 + cy ** 2)для  каждого  пикселя  ( х ,  у )  на  на  экране ,  сделать : {  ге  =  масштабируются  й  координатами  из  пикселей  # (масштаб , чтобы быть между -R и R)  ZY  =  масштабируется  у  координат  из  пикселей  # (масштаб , чтобы быть между -R и R )  итерация  =  0  max_iteration  =  1000  while  ( zx  *  zx  +  zy  *  zy  <  R ** 2  AND  итерация  <  max_iteration )  {  xtmp  =  ( zx  *  zx  +  zy  *  zy )  ^  ( n  /  2 )  *  cos ( n  *  atan2 ( zy ,  zx ))  +  cx ;  zy  =  ( zx  *  zx  + zy  *  zy )  ^  ( n  /  2 )  *  sin ( n  *  atan2 ( zy ,  zx ))  +  cy ;  zx  =  xtmp ;  итерация  =  итерация  +  1  }  if  ( iteration  ==  max_iteration )  вернуть  черный цвет ;  иначе  вернуть  итерацию ; }

Потенциальная функция и реальный номер итерации [ править ]

Множество Жюлиа для представляет собой единичную окружность, а во внешней области Фату потенциальная функция φ ( z ) определяется формулой φ ( z ) = log | z |, Эквипотенциальные линии для этой функции представляют собой концентрические окружности. Как у нас${\displaystyle f(z)=z^{2}}$${\displaystyle |f(z)|=|z|^{2}}$

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}},}$

где - последовательность итераций, порожденная z . Для более общей итерации было доказано, что если множество Жюлиа связно (то есть, если c принадлежит (обычному) множеству Мандельброта), то существует биголоморфное отображение ψ между внешней областью Фату и внешней областью единичный круг такой, что . ^[8] Это означает, что потенциальная функция на внешней области Фату, определяемая этим соответствием, определяется следующим образом:${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$${\displaystyle |\psi (f(z))|=|\psi (z)|^{2}}$

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}}.}$

Эта формула имеет значение также, если множество Жюлиа не связано, так что мы для всех c можем определить потенциальную функцию в области Фату, содержащей ∞, по этой формуле. Для общей рациональной функции f ( z ) такой, что ∞ является критической точкой и неподвижной точкой, то есть такой, что степень m числителя по крайней мере на два больше, чем степень n знаменателя, мы определяем потенциальную функцию в области Фату, содержащей ∞:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}},}$

где d = m - n - степень рациональной функции. ^[9]

Если N - очень большое число (например, 10 ¹⁰⁰ ), и если k - это номер первой итерации, такой, что мы имеем${\displaystyle |z_{k}|>N}$

${\displaystyle {\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}}={\frac {\log(N)}{d^{\nu (z)}}},}$

для некоторого действительного числа , которое следует рассматривать как реальный номер итерации , и мы имеем это:${\displaystyle \nu (z)}$

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}|/\log(N))}{\log(d)}},}$

где последнее число находится в интервале [0, 1).

Для итерации в направлении конечного цикла притяжения порядка r мы имеем, что если z * - точка цикла, то ( r- кратная композиция) и число${\displaystyle f(f(...f(z^{*})))=z^{*}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\left|(d(f(f(\cdots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}\right|}}\qquad (>1)}$

это притяжение цикла. Если ж точка очень близко г * и ш» является ш итерированными г раз, мы получаем , что

${\displaystyle \alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {|w-z^{*}|}{|w'-z^{*}|}}.}$

Следовательно, число почти не зависит от k . Определим потенциальную функцию в области Фату следующим образом:${\displaystyle |z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k}}$

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{(|z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k})}}.}$

Если ε - очень малое число, а k - номер первой итерации, такой, что мы имеем${\displaystyle |z_{k}-z^{*}|<\epsilon }$

${\displaystyle \varphi (z)={\frac {1}{(\varepsilon \alpha ^{\nu (z)})}}}$

для некоторого действительного числа , которое следует рассматривать как реальный номер итерации, и мы имеем это:${\displaystyle \nu (z)}$

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\varepsilon /|z_{k}-z^{*}|)}{\log(\alpha )}}.}$

Если притяжение равно ∞, что означает, что цикл является сверхпритягивающим , что опять же означает, что одна из точек цикла является критической точкой, мы должны заменить α на

${\displaystyle \alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |w'-z^{*}|}{\log |w-z^{*}|}},}$

где W» представляет ш итеративных г времен и формулы для ф ( г ) с помощью:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log(1/|z_{kr}-z^{*}|)}{\alpha ^{k}}}.}$

А теперь реальный номер итерации равен:

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}-z^{*}|/\log(\varepsilon ))}{\log(\alpha )}}.}$

Для раскраски у нас должна быть циклическая шкала цветов (построенная математически, например) и содержащая H цветов, пронумерованных от 0 до H −1 (например, H = 500). Мы многократно реальное число фиксированного вещественного числа , определяющее плотность цвета в изображении, и взять на себя неотъемлемую часть этого числа по модулю H .${\displaystyle \nu (z)}$

Определение потенциальной функции и наш способ раскраски предполагают, что цикл является притягивающим, то есть не нейтральным. Если цикл нейтральный, мы не можем раскрасить домен Фату естественным образом. Поскольку конечной точкой итерации является вращающееся движение, мы можем, например, раскрасить на минимальное расстояние от цикла, оставшееся фиксированным на итерации.

Полевые линии [ править ]

Строки поля для итерации формы ${\displaystyle {\frac {(1-z^{3}/6)}{(z-z^{2}/2)^{2}}}+c}$

В каждой области Фату (которая не является нейтральной) есть две системы линий, ортогональных друг другу: эквипотенциальные линии (для потенциальной функции или действительного числа итераций) и силовые линии .

Если мы раскрашиваем область Фату в соответствии с номером итерации (а не реальным номером итерации , как определено в предыдущем разделе), полосы итерации показывают ход эквипотенциальных линий. Если итерация направлена ​​к ∞ (как в случае с внешней областью Fatou для обычной итерации ), мы можем легко показать ход линий поля, а именно, изменив цвет в соответствии с тем, как последняя точка в последовательности итераций находится выше или ниже оси x (первое изображение), но в этом случае (точнее: когда область Фату является сверхпритягивающей) мы не можем провести линии поля когерентно - по крайней мере, не с помощью метода, который мы здесь описываем. В этом случае силовую линию также называют внешним лучом .${\displaystyle \nu (z)}$${\displaystyle z^{2}+c}$

Пусть z - точка в области притяжения Фату. Если мы итерация Z большого числа раз, то конец последовательности итерации является конечным циклом С , а область Фата (по определению) множество точек последовательности итераций сходятся по отношению к которой C . Линии поля выдавать из точек С и из (бесконечного числа) указывает , что итерации в точке С . И они заканчиваются на множестве Жюлиа точками, которые не хаотичны (т. Е. Образуют конечный цикл). Пусть r - порядок цикла C (количество его точек), а z * - точка в C. У нас есть (r-кратная композиция), и мы определяем комплексное число α как${\displaystyle f(f(\dots f(z^{*})))=z^{*}}$

${\displaystyle \alpha =(d(f(f(\dots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}.}$

Если точки C такие , α - произведение чисел r . Действительное число 1 / | α | является притяжением цикла, и наше предположение, что цикл не является ни нейтральным, ни сверхтягивающим, означает, что 1 <1 / | α | <∞. Точка z * является неподвижной точкой для , и около этой точки карта имеет (в связи с линиями поля) характер вращения с аргументом β от α (то есть ).${\displaystyle z_{i},i=1,\dots ,r(z_{1}=z^{*})}$${\displaystyle f'(z_{i})}$${\displaystyle f(f(\dots f(z)))}$${\displaystyle f(f(\dots f(z)))}$${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{\beta i}}$

Чтобы раскрасить область Фату, мы выбрали небольшое число ε и установили последовательность итераций, чтобы они останавливались, когда , и мы раскрашиваем точку z в соответствии с числом k (или реальным номером итерации, если мы предпочитаем плавную раскраску) . Если мы выберем направление из z *, заданное углом θ, силовая линия, выходящая из z * в этом направлении, будет состоять из точек z таких, что аргумент ψ числа удовлетворяет условию, что${\displaystyle z_{k}(k=0,1,2,\dots ,z_{0}=z)}$${\displaystyle |z_{k}-z^{*}|<\epsilon }$${\displaystyle z_{k}-z^{*}}$

${\displaystyle \psi -k\beta =\theta \mod \pi .\,}$

Ведь если мы проходим полосу итераций в направлении силовых линий (и от цикла), номер итерации k увеличивается на 1, а число ψ увеличивается на β, поэтому число остается постоянным вдоль силовой линии.${\displaystyle \psi -k\beta \mod \pi }$

Картинки в строках поля для итерации формы ${\displaystyle z^{2}+c}$

Раскраска линий поля области Фату означает, что мы раскрашиваем промежутки между парами линий поля: мы выбираем ряд правильно расположенных направлений, исходящих из z * , и в каждом из этих направлений мы выбираем два направления вокруг этого направления. Поскольку может случиться так, что две линии поля пары не заканчиваются в одной и той же точке множества Джулиа, наши цветные линии поля могут разветвляться (бесконечно) на своем пути к множеству Джулиа. Мы можем раскрашивать на основе расстояния до центральной линии поля, и мы можем смешивать эту раскраску с обычной раскраской. Такие картины могут быть очень декоративными (второй рисунок).

Цветная линия поля (область между двумя линиями поля) разделена полосами итераций, и такая часть может быть поставлена ​​во взаимно однозначное соответствие с единичным квадратом: одна координата (вычисляется из) расстояния от одной из ограничивающих линий поля, другая - это (рассчитывается исходя из) расстояния от внутренней из ограничивающих полос итераций (это число является нецелой частью действительного номера итерации). Поэтому мы можем помещать картинки в линии поля (третье изображение).

Построение множества Джулии [ править ]

Методы:

• Метод оценки расстояния для множества Жюлиа (DEM / J)
• Обратный итерационный метод (IIM)

Использование обратной (обратной) итерации (IIM) [ править ]

Как упоминалось выше, множество Жюлиа может быть найдено как множество предельных точек множества прообразов (по существу) любой данной точки. Итак, мы можем попытаться построить набор Джулии для данной функции следующим образом. Начните с любой точкой г мы знаем, что в множестве Жюлиа, такие как отталкивающая периодической точка, и вычислить все прообразы г при некоторой высокой итерации по е .${\displaystyle f^{n}}$

К сожалению, поскольку количество повторных предварительных изображений растет экспоненциально, это невозможно с вычислительной точки зрения. Однако мы можем настроить этот метод аналогично методу «случайной игры» для систем с повторяющимися функциями . То есть на каждом шаге мы случайным образом выбираем одно из прообразов f .

Например, для квадратичного полинома f _c обратная итерация описывается следующим образом:

${\displaystyle z_{n-1}={\sqrt {z_{n}-c}}.}$

На каждом шаге случайным образом выбирается один из двух квадратных корней.

Обратите внимание, что некоторые части набора Джулии довольно трудны для доступа с помощью обратного алгоритма Джулии. По этой причине необходимо модифицировать IIM / J (он называется MIIM / J) или использовать другие методы для создания лучших изображений.

Использование DEM / J [ править ]

• Образы множеств Жюлиа для fc (z) = z * z + c
• с = -0,74543 + 0,11301 * я

• с = -0,75 + 0,11 * я

• с = -0,1 + 0,651 * я

• Набор Джулии, нарисованный путем оценки расстояния, итерация имеет вид 1-z ^ 2 + z ^ 5 / (2 + 4z) + c

• Трехмерный рендеринг набора Джулии с использованием оценки расстояния

Поскольку множество Джулии бесконечно тонкое, мы не можем эффективно нарисовать его путем обратной итерации от пикселей. Он будет казаться фрагментированным из-за непрактичности изучения бесконечного числа начальных точек. Поскольку количество итераций сильно меняется около набора Джулии, частичное решение состоит в том, чтобы подразумевать контур набора из ближайших цветовых контуров, но набор будет иметь тенденцию выглядеть мутным.

Лучший способ нарисовать набор Джулии в черно-белом цвете - это оценить расстояние пикселей (ЦМР) от набора и раскрасить каждый пиксель, центр которого находится близко к набору. Формула для оценки расстояния выводится из формулы для потенциальной функции φ ( z ). Когда эквипотенциальные линии для φ ( z ) расположены близко, число велико, и наоборот, поэтому эквипотенциальные линии для функции должны лежать приблизительно регулярно. Было доказано, что значение, найденное по этой формуле (с точностью до постоянного множителя), сходится к истинному расстоянию для z, сходящегося к множеству Джулиа. ^[9]${\displaystyle |\varphi '(z)|}$${\displaystyle \delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|}$

Мы предполагаем, что f ( z ) рациональна, то есть где p ( z ) и q ( z ) - комплексные многочлены степеней m и n соответственно, и нам нужно найти производную приведенных выше выражений для φ ( z ) . И , как это только что меняется, мы должны вычислить производную от по отношению к г . Но as ( k- кратная композиция) является произведением чисел , и эта последовательность может быть вычислена рекурсивно , начиная с ( до${\displaystyle f(z)=p(z)/q(z)}$${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle z'_{k}}$${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle z_{k}=f(f(\cdots f(z)))}$${\displaystyle z'_{k}}$${\displaystyle f'(z_{k})}$${\displaystyle z'_{k+1}=f'(z_{k})z'_{k}}$${\displaystyle z'_{0}=1}$расчет следующей итерации ).${\displaystyle z_{k+1}=f(z_{k})}$

Для итерации в сторону ∞ (точнее, когда m  ≥  n  + 2, так что ∞ является суперпритягивающей неподвижной точкой), мы имеем

${\displaystyle |\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }{\frac {|z'_{k}|}{|z_{k}|d^{k}}},}$

( d = m  -  n ) и, следовательно:

${\displaystyle \delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }\log |z_{k}||z_{k}|/|z'_{k}|.\,}$

Для итерации в направлении конечного цикла притяжения (который не является сверхпритягивающим), содержащего точку z * и имеющего порядок r , мы имеем

${\displaystyle |\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }|z'_{kr}|/(|z_{kr}-z^{*}|^{2}\alpha ^{k}),\,}$

и следовательно:

${\displaystyle \delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }|z_{kr}-z^{*}|/|z'_{kr}|.\,}$

Формула суперпритягивающего цикла:

${\displaystyle \delta (z)=\lim _{k\to \infty }\log |z_{kr}-z^{*}|^{2}/|z'_{kr}|.\,}$

Мы вычисляем это число, когда итерация останавливается. Обратите внимание, что оценка расстояния не зависит от привлекательности цикла. Это означает, что он имеет значение для трансцендентных функций «бесконечной степени» (например, sin ( z ) и tan ( z )).

Помимо рисования границы, функция расстояния может быть представлена ​​как 3-е измерение для создания твердого фрактального ландшафта.

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Джулии .

• Кролик дуади
• Ограничение установлено
• Стабильные и нестабильные наборы
• Теорема об отсутствии блуждающей области
• Теория хаоса

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Леннарт Карлесон и Теодор В. Гамлен, Комплексная динамика , Springer, 1993
• Адриан Дуади и Джон Х. Хаббард, «Динамический этюд комплексов полиномов», Prepublications mathémathiques d'Orsay 2/4 ( 1984/1985 )
• Джон В. Милнор , Динамика в одной комплексной переменной (третье издание), Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press 2006 (Впервые появился в 1990 году как препринт Stony Brook IMS , доступный как arXiV: math.DS / 9201272. )
• Александр Богомольный , « Множество Мандельброта и индексация множеств Жюлиа » в разорванном узле .
• Евгений Демидов, « Анатомия множеств Мандельброта и Жюлиа » (2003)
• Алан Ф. Бердон, Итерация рациональных функций , Springer 1991, ISBN 0-387-95151-2 

Внешние ссылки [ править ]

В Викиучебнике есть книга на тему: Фракталы.

• «Набор Джулии» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Джулия Сет» . MathWorld .
• Джулия Set Fractal (2D) , Поль Бурк
• Джулия Сетс , Джейми Сойер
• Джулия Джевелс: Исследование наборов Джулии , Майкл Макгудвин
• Круги на полях Джулия Сет , Люси Прингл
• Интерактивный апплет Julia Set , Джош Грейг
• Исследователь множества Джулии и Мандельбротов , Дэвид Э. Джойс
• Простая программа для генерации наборов Жюлиа (Windows, 370 кб)
• Набор апплетов, один из которых может отображать наборы Julia с помощью Iterated Function Systems.
• Джулия знакомится с HTML5 Генератором фракталов HTML5 Google Labs в вашем браузере
• Julia GNU R Пакет для генерации набора Julia или Mandelbrot в заданной области и разрешении.
• Юля Сеты Визуальное объяснение Джулии Сеты.
• FractalTS Mandelbrot, Burning ship и соответствующий генератор наборов Julia.
• Юля установила изображения онлайн-рендеринга