Классификация компонентов Fatou

В математике компоненты Фату являются компонентами множества Фату . Они были названы в честь Пьера Фату .

Рациональный случай [ править ]

Если f - рациональная функция

${\ Displaystyle е = {\ гидроразрыва {P (z)} {Q (z)}}}$

определена в расширенной комплексной плоскости , и если это нелинейная функция (степень> 1)

${\ Displaystyle д (е) = \ макс (\ град (P), \, \ градус (Q)) \ geq 2,}$

то для периодической компоненты множества Фату выполняется ровно одно из следующего:${\ displaystyle U}$

1. ${\ displaystyle U}$содержит притягивающую периодическую точку
2. ${\ displaystyle U}$является параболической ^[1]
3. ${\ displaystyle U}$- это диск Зигеля : односвязная компонента Фату, на которой f ( z ) аналитически сопряжена с евклидовым поворотом единичного диска на себя на иррациональный угол поворота.
4. ${\ displaystyle U}$- кольцо Германа : двусвязная компонента Фату ( кольцо ), на которой f ( z ) аналитически сопряжена с евклидовым вращением круглого кольца, опять же на иррациональный угол поворота.

• 

  Набор Julia (белый) и набор Fatou (темно-красный / зеленый / синий) для с в комплексной плоскости.${\ displaystyle f: z \ mapsto z - {\ frac {g} {g '}} (z)}$${\ displaystyle g: z \ mapsto z ^ {3} -1}$

• 

  Множество Жюлиа с суперпритягивающими циклами (гиперболическими) внутри и снаружи

• 

  Кривые уровня и лучи в сверхпритягивающем корпусе

• 

  Юля набор с параболическим циклом

• 

  Набор Джулии с диском Зигеля (эллиптический корпус)

• 

  Комплект Julia с кольцом Herman

Привлечение периодической точки [ править ]

Компоненты карты содержат точки притяжения, которые являются решениями . Это связано с тем, что карта предназначена для поиска решений уравнения по формуле Ньютона-Рафсона . Решения, естественно, должны привлекать неподвижные точки.${\ Displaystyle е (г) = г- (г ^ {3} -1) / 3z ^ {2}}$${\displaystyle z^{3}=1}$${\displaystyle z^{3}=1}$

Кольцо Германа [ править ]

Карта

${\displaystyle f(z)=e^{2\pi it}z^{2}(z-4)/(1-4z)}$

и t = 0,6151732 ... даст кольцо Германа. ^[2] Шишикура показал, что степень такого отображения должна быть не менее 3, как в этом примере.

Более одного типа компонентов [ править ]

Если степень d больше 2, то существует более одной критической точки, а затем может быть более одного типа компонентов.

• 

  Герман + Параболик

• 

  Период 3 и 105

• 

  притягивающий и параболический

• 

  период 1 и период 1

Трансцендентальный случай [ править ]

Домен Бейкера [ править ]

В случае трансцендентных функций существует еще один тип периодических компонентов Фату, называемый областью Бейкера : это « области, на которых итерации стремятся к существенной особенности (невозможно для многочленов и рациональных функций)» ^{[3] [4]} Пример функции: ^[5]

${\displaystyle f(z)=z-1+(1-2z)e^{z}}$

Блуждающая область [ править ]

Трансцендентные карты могут иметь блуждающие области : это компоненты Фату, которые в конечном итоге не являются периодическими.

См. Также [ править ]

• Теорема об отсутствии блуждающей области
• Теорема Монтеля
• Джон Доменс ^[6]

Ссылки [ править ]

• Леннарт Карлесон и Теодор В. Гамелен, Комплексная динамика , Springer, 1993.
• Алан Ф. Бердон. Итерация рациональных функций , Springer, 1991.