В комплексном анализе , существенная особенность функции является «тяжелой» особенностью , вблизи которой функция имеет нечетное поведение.
Категория существенной сингулярности - это "оставшаяся" или группа по умолчанию изолированных сингулярностей, которые особенно неуправляемы: по определению они не вписываются ни в одну из двух других категорий сингулярностей, с которыми можно иметь дело каким-либо образом - устраняемые сингулярности и полюсы .
Официальное описание [ править ]
Рассмотрим открытое подмножество в комплексной плоскости . Пусть некоторый элемент , и голоморфна . Точка называется существенной особенностью функции, если особенность не является ни полюсом, ни устранимой особенностью .
Например, функция имеет существенную особенность при .
Альтернативные описания [ править ]
Пусть будет комплексным числом, предположим, что оно не определено в точке, но является аналитическим в некоторой области комплексной плоскости, и что каждая открытая окрестность числа имеет непустое пересечение с .
- Если оба и существуют, то это устранимая особенность обоих и .
- Точно так же, если не существует , но существует, то есть полюс из и нуль в .
- Если ни ни существует, то это существенная особенность обоих и .
Другой способ охарактеризовать существенную особенность в том , что ряд Лорана в точке имеет бесконечное число слагаемых отрицательной степени (то есть, основная часть ряда Лорана является бесконечной суммой). Связанное с этим определение состоит в том, что если существует точка, для которой никакая производная от не сходится к пределу, как стремится к , то это существенная особенность . [1]
Поведение голоморфных функций вблизи их существенных особенностей описывается теоремой Казорати – Вейерштрасса и значительно более сильной великой теоремой Пикара . Последний говорит, что в каждой окрестности существенной особенности функция принимает любое комплексное значение, кроме, возможно, одного, бесконечно много раз. (Исключение необходимо; например, функция никогда не принимает значение 0.)
Ссылки [ править ]
- Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Essential Singularity . MathWorld . Вольфрам . Проверено 11 февраля 2014 .
- Ларс В. Альфорс; Комплексный анализ , Макгроу-Хилл, 1979 г.
- Раджендра Кумар Джайн, SRK Iyengar; Высшая инженерная математика . Стр. 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1-84265-185-4
Внешние ссылки [ править ]
- Essential Singularity от Стивена Вольфрама , Wolfram Демонстрации проекта .
- Существенная сингулярность в планетной математике