Комплексный анализ

График цветового круга функции f ( x ) =( х ² - 1) ( х - 2 - я ) ²/х ² + 2 + 2 я.
Оттенок представляет аргумент , яркость - величину.

Математический анализ → Комплексный анализ
Комплексный анализ
Сложные числа
Настоящий номер Мнимое число Сложная плоскость Комплексное сопряжение Комплексное число единицы
Сложные функции
Комплексная функция Аналитическая функция Голоморфная функция Уравнения Коши – Римана Формальный степенной ряд
Основная теория
Нули и полюсы Интегральная теорема Коши Местный примитив Интегральная формула Коши Номер обмотки Серия Laurent Изолированная особенность Теорема об остатке Конформная карта Лемма Шварца Гармоническая функция Уравнение Лапласа
Геометрическая теория функций
Люди
Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер Карл Фридрих Гаусс Жак Адамар Киёси Ока Бернхард Риманн Карл Вейерштрасс
Математический портал
v т е

Комплексный анализ , традиционно известный как теория функций комплексного переменного , является ветвью математического анализа , изучающей функции от комплексных чисел . Это полезно во многих областях математики, включая алгебраическую геометрию , теорию чисел , аналитическую комбинаторику , прикладную математику ; а также в физике , включая разделы гидродинамики , термодинамики и особенно квантовой механики . Кроме того, использование комплексного анализа также находит применение в инженерных областях, таких какатомная , аэрокосмическая , машиностроительная и электротехническая техника . ^{[ необходима цитата ]}

Поскольку дифференцируемая функция комплексной переменной равна ее ряду Тейлора (то есть она аналитическая ), комплексный анализ особенно касается аналитических функций комплексной переменной (то есть голоморфных функций ).

История [ править ]

Комплексный анализ - одна из классических ветвей математики, уходящая корнями в XVIII век и незадолго до этого. Важные математики, связанные с комплексными числами, включают Эйлера , Гаусса , Римана , Коши , Вейерштрасса и многих других в 20 веке. Комплексный анализ, в частности теория конформных отображений , имеет множество физических приложений, а также используется во всей аналитической теории чисел . В наше время он стал очень популярным благодаря новому импульсу сложной динамики и изображений фракталов, созданных путем повторения голоморфных функций.. Еще одно важное приложение комплексного анализа - теория струн, изучающая конформные инварианты квантовой теории поля .

Сложные функции [ править ]

Сложная функция - это функция от комплексных чисел до комплексных чисел. Другими словами, это функция, которая имеет подмножество комплексных чисел в качестве области и комплексных чисел в качестве области значений . Сложные функции , как правило , должны иметь домен , который содержит непустое открытое подмножество в комплексной плоскости .

Для любой сложной функции значения из области и их изображения в диапазоне могут быть разделены на действительную и мнимую части:${\ displaystyle z}$${\ displaystyle f (z)}$

${\ displaystyle z = x + iy \ quad {\ text {and}} \ quad f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y),}$

где все настоящие. ${\ Displaystyle х, у, и (х, у), v (х, у)}$

Другими словами, сложная функция может быть разложена на ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \quad }$ и ${\displaystyle \quad v:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,}$

т.е. на две действительные функции ( , ) двух действительных переменных ( , ).${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Точно так же любую комплекснозначную функцию f на произвольном множестве X можно рассматривать как упорядоченную пару двух действительных функций : (Re f , Im f ) или, альтернативно, как вектор-функцию из X в${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Некоторые свойства комплексных функций (например, непрерывность ) являются не чем иным, как соответствующими свойствами векторных функций двух действительных переменных. Другие концепции комплексного анализа, такие как дифференцируемость, являются прямым обобщением аналогичных концепций для реальных функций, но могут иметь очень разные свойства. В частности, каждая дифференцируемая комплексная функция является аналитической (см. Следующий раздел), и две дифференцируемые функции, которые равны в окрестности точки, равны на пересечении их области определения (если области связаны ). Последнее свойство лежит в основе принципа аналитического продолжения.который позволяет расширить каждую вещественную аналитическую функцию уникальным способом для получения комплексной аналитической функции, область определения которой представляет собой всю комплексную плоскость с удаленным конечным числом дуг кривых . Таким образом определяются многие базовые и специальные сложные функции, включая комплексную экспоненциальную функцию , функции комплексного логарифма и тригонометрические функции .

Голоморфные функции [ править ]

Комплексные функции, дифференцируемые в каждой точке открытого подмножества комплексной плоскости, называются голоморфными на . В контексте комплексного анализа производная at определяется как${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

Внешне это определение формально аналогично определению производной действительной функции. Однако поведение сложных производных и дифференцируемых функций существенно отличается от их реальных аналогов. В частности, для существования этого предела значение коэффициента разности должно приближаться к одному и тому же комплексному числу, независимо от того, как мы приближаемся в комплексной плоскости. Следовательно, комплексная дифференцируемость имеет гораздо более серьезные последствия, чем реальная дифференцируемость. Например, голоморфные функции бесконечно дифференцируемы , тогда как существование n- й производной не обязательно означает существование ( n${\displaystyle z_{0}}$+ 1) -я производная для действительных функций. Кроме того, все голоморфные функции удовлетворяют более сильному условию аналитичности , означающему, что функция в каждой точке своей области определения локально задается сходящимся степенным рядом. По сути, это означает, что функции, голоморфные на, могут быть сколь угодно хорошо аппроксимированы многочленами в некоторой окрестности каждой точки в . Это резко контрастирует с дифференцируемыми действительными функциями; есть бесконечно дифференцируемые действительные функции, которые нигде не аналитичны; см. Неаналитическая гладкая функция § Гладкая функция, которая нигде не является вещественно аналитической .${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

Большинство элементарных функций, включая экспоненциальную функцию , тригонометрические функции и все полиномиальные функции , соответствующим образом расширенные до сложных аргументов как функции , голоморфны по всей комплексной плоскости, что делает их целыми функциями , в то время как рациональные функции , где p и q - многочлены, голоморфны на областях, исключающих точки, где q равно нулю. Такие функции, голоморфные всюду, кроме множества изолированных точек, называются мероморфными функциями . С другой стороны, функция , и${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p/q}$${\displaystyle z\mapsto \Re (z)}$${\displaystyle z\mapsto |z|}$${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}$не голоморфны нигде на комплексной плоскости, что может быть показано их невыполнением условий Коши – Римана (см. ниже).

Важным свойством голоморфных функций является связь между частными производными их действительной и мнимой компонент, известная как условия Коши – Римана . Если , определяемое как , где , голоморфно в области , то должно выполняться для всех . Здесь дифференциальный оператор определяется как . Что касается действительной и мнимой частей функции, u и v , это эквивалентно паре уравнений и , где нижние индексы указывают частичное дифференцирование. Однако условия Коши – Римана не характеризуют голоморфные функции без дополнительных условий непрерывности (см.${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle (\partial f/\partial {\bar {z}})(z_{0})=0}$${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$${\displaystyle \partial /\partial {\bar {z}}}$${\displaystyle (1/2)(\partial /\partial x+i\partial /\partial y)}$${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$Теорема Лумана – Менхова ).

Голоморфные функции обладают некоторыми замечательными особенностями. Например, теорема Пикара утверждает , что диапазон целой функции может принимать только три возможные формы: , или для некоторых . Другими словами, если два различных комплексных чисел и не в пределах целой функции , то есть функция постоянной. Более того, голоморфная функция на связном открытом множестве определяется ее ограничением на любое непустое открытое подмножество.${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z_{0}\}}$${\displaystyle \{z_{0}\}}$${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

См. Также : аналитическая функция , когерентный пучок и векторные расслоения .

Основные результаты [ править ]

Одним из центральных инструментов комплексного анализа является линейный интеграл . Линейный интеграл вокруг замкнутого пути функции, голоморфной всюду внутри области, ограниченной замкнутым путем, всегда равен нулю, как утверждается интегральной теоремой Коши . Значения такой голоморфной функции внутри диска можно вычислить с помощью интеграла по путям на границе диска (как показано в интегральной формуле Коши ). Интегралы по траекториям в комплексной плоскости часто используются для определения сложных вещественных интегралов, и здесь, в частности, применима теория вычетов (см. Методы контурного интегрирования ). «Полюс» (или изолированная особенность) функции - это точка, в которой значение функции становится неограниченным или "взрывается". Если функция имеет такой полюс, то можно вычислить в нем вычет функции, который можно использовать для вычисления интегралов по путям, включающим функцию; это содержание мощной теоремы о вычетах . Замечательное поведение голоморфных функций вблизи существенных особенностей описывается теоремой Пикара . Функции, имеющие только полюсы, но не имеющие существенных особенностей , называются мероморфными . Ряды Лорана являются комплексным эквивалентом ряда Тейлора, но может использоваться для изучения поведения функций вблизи сингулярностей с помощью бесконечных сумм более хорошо изученных функций, таких как полиномы.

Ограниченная функция , голоморфная во всей комплексной плоскости должно быть постоянным; это теорема Лиувилля . Его можно использовать для получения естественного и краткого доказательства фундаментальной теоремы алгебры, которая утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто .

Если функция голоморфна во всей связанной области, то ее значения полностью определяются ее значениями в любой меньшей подобласти. Говорят, что функция в большей области аналитически продолжается от ее значений в меньшей области. Это позволяет расширить определение функций, таких как дзета-функция Римана , которые изначально определены в терминах бесконечных сумм, сходящихся только в ограниченных областях, почти до всей комплексной плоскости. Иногда, как в случае натурального логарифма , невозможно аналитически продолжить голоморфную функцию на неодносвязную область комплексной плоскости, но можно продолжить ее до голоморфной функции на тесно связанной поверхности, известной какРиманова поверхность .

Все это относится к комплексному анализу по одной переменной. Существует также очень богатая теория комплексного анализа более чем в одном комплексном измерении, в которой аналитические свойства, такие как разложение в степенной ряд, переносятся, тогда как большинство геометрических свойств голоморфных функций в одном комплексном измерении (например, конформности ) не переносятся. . Отображение теорема Римана о конформных отношениях определенных областей в комплексной плоскости, которая может быть наиболее важным результатом в одномерной теории, резко проваливается в более высоких измерениях.

Некоторые сложные пространства чаще всего используются в квантовой механике в качестве волновых функций .

См. Также [ править ]

• Аналитическое продолжение
• Векторное исчисление
• Сложная динамика
• Список тем комплексного анализа
• Теорема монодромии
• Реальный анализ
• Теорема Рунге
• Несколько сложных переменных

Ссылки [ править ]

• Альфорс, Л. , Комплексный анализ, 3-е изд. (Макгроу-Хилл, 1979).
• Стивен Д. Фишер , Комплексные переменные, 2-е изд. (Довер, 1999).
• Carathéodory, С. , Теория функций комплексного переменного (Челси, Нью - Йорк). [2 тома]
• Хенрици П. , Прикладной и вычислительный комплексный анализ (Wiley). [Три тома: 1974, 1977, 1986.]
• Крейсциг, Э. , Высшая инженерная математика, 10 изд. , Гл. 13–18 (Wiley, 2011).
• Маркушевич А.И. Теория функций комплексного переменного (Прентис-Холл, 1965). [Три тома.]
• Марсден и Хоффман, Базовый комплексный анализ. 3-е изд. (Freeman, 1999).
• Needham, Т. , Визуальный Комплексный анализ (Oxford, 1997).
• Рудин У. , Real и комплексный анализ, 3 -е изд. (Макгроу-Хилл, 1986).
• Шейдеманн В. Введение в комплексный анализ нескольких переменных (Birkhauser, 2005).
• Шоу В. Т. Комплексный анализ с помощью системы Mathematica (Кембридж, 2006 г.).
• Шпигель, Мюррей Р. Теория и проблемы комплексных переменных - с введением в конформное отображение и его приложения (McGraw-Hill, 1964).
• Штейн и Шакарчи, Комплексный анализ (Принстон, 2003).
• Абловиц и Фокас , Комплексные переменные: введение и приложения (Кембридж, 2003 г.).

Внешние ссылки [ править ]

• Страница комплексного анализа MathWorld от Wolfram Research