Нули и полюсы

Математический анализ → Комплексный анализ
Комплексный анализ
Комплексные числа
Настоящий номер Мнимое число Сложная плоскость Комплексное сопряжение Комплексное число единицы
Сложные функции
Комплексная функция Аналитическая функция Голоморфная функция Уравнения Коши – Римана Формальный степенной ряд
Основная теория
Нули и полюсы Интегральная теорема Коши Местный примитив Интегральная формула Коши Номер обмотки Серия Laurent Изолированная особенность Теорема об остатке Конформная карта Лемма Шварца Гармоническая функция Уравнение Лапласа
Геометрическая теория функций
Люди
Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер Карл Фридрих Гаусс Жак Адамар Киёси Ока Бернхард Риманн Карл Вейерштрасс
Математический портал
v т е

В комплексном анализе (раздел математики), шест определенный тип сингулярности функции, рядом с которой выполняется ведет себя относительно регулярно, в отличие от существенных особенностей , таких как 0 для логарифмической функции и точки ветвления , такие как 0 для функции комплексного квадратного корня .

Функция F из комплексного переменного г является мероморфен в окрестностях некоторой точки г ₀ , если либо F или его обратная функция 1 / е является голоморфным в некоторых окрестностях точек г ₀ (то есть, если е или 1 / F является комплексным дифференцируемыми в окрестность  z ₀ ).

Нуль мероморфной функции F является комплексным числом г такое , что F ( г ) = 0 . Полюс из F является нулевым из 1 / F .

Это вызывает двойственность между нулями и полюсами , которая получается заменой функции f ее обратной величиной 1 / f . Эта двойственность является фундаментальной для изучения мероморфных функций. Например, если функция мероморфна на всей комплексной плоскости , включая бесконечно удаленную точку , то сумма кратностей ее полюсов равна сумме кратностей ее нулей.

Определения [ править ]

Функция комплексного переменного г является голоморфной в открытой области U , если она дифференцируема по г в каждой точке U . Эквивалентно, он голоморфен, если он аналитичен , то есть если его ряд Тейлора существует в каждой точке U и сходится к функции в некоторой окрестности точки. Функция является мероморфной в U, если каждая точка U имеет такую ​​окрестность, что либо f, либо 1 / f голоморфна в нем.

Нуль мероморфной функции F является комплексным числом г такое , что F ( г ) = 0 . Полюс из F является нулем 1 / F .

Если F является функцией , которая является мероморфны в окрестности точки на комплексной плоскости , то существует целое число п такое , что ${\ displaystyle z_ {0}}$

${\ Displaystyle (г-я_ {0}) ^ {п} е (г)}$

голоморфна и отлична от нуля в окрестности (это следствие аналитического свойства). Если п > 0 , то есть полюс из порядка (или кратности) п о е . Если п <0 , то есть нуль порядка из F . Простой ноль и простой полюс - это термины, используемые для обозначения нулей, а полюса порядка Степень иногда используется как синоним порядка.${\ displaystyle z_ {0}}$${\ displaystyle z_ {0}}$${\ displaystyle z_ {0}}$${\ displaystyle | n |}$${\ displaystyle | n | = 1.}$

Эта характеристика нулей и полюсов подразумевает, что нули и полюсы изолированы , то есть каждый нуль или полюс имеет окрестность, которая не содержит никаких других нулей и полюсов.

Поскольку порядок нулей и полюсов определяется как неотрицательное число n и симметрия между ними, часто полезно рассматривать полюс порядка n как ноль порядка - n, а ноль порядка n - как полюс порядка - п . В этом случае точка, которая не является ни полюсом, ни нулем, рассматривается как полюс (или ноль) порядка 0.

Мероморфная функция может иметь бесконечно много нулей и полюсов. Так обстоит дело с гамма-функцией (см. Изображение в информационном окне), которая мероморфна во всей комплексной плоскости и имеет простой полюс у каждого неположительного целого числа. Дзета - функция Римана также мероморфны во всей комплексной плоскости, с одним полюсом порядка 1 при г = 1 . Его нули в левой полуплоскости - это все отрицательные четные целые числа, а гипотеза Римана - это гипотеза о том, что все остальные нули расположены вдоль Re ( z ) = 1/2 .

В окрестности точки ненулевая мероморфная функция f является суммой ряда Лорана с не более чем конечной главной частью (члены с отрицательными значениями индекса):${\ displaystyle z_ {0},}$

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {k \ geq -n} a_ {k} (z-z_ {0}) ^ {k},}$

где n - целое число, и Опять же, если n > 0 (сумма начинается с , главная часть имеет n членов), у одного есть полюс порядка n , а если n ≤ 0 (сумма начинается с , нет главного часть), есть ноль порядка .${\ displaystyle a _ {- n} \ neq 0.}$${\ displaystyle a _ {- | n |} (z-z_ {0}) ^ {- | n |}}$${\displaystyle a_{|n|}(z-z_{0})^{|n|}}$${\displaystyle |n|}$

В бесконечности [ править ]

Функция является мероморфны на бесконечности , если она мероморфна в некоторой окрестности бесконечности (т.е. вне некоторого диска ), а также существует такое целое число п такое , что ${\displaystyle z\mapsto f(z)}$

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z^{n}}}}$

существует и является ненулевым комплексным числом.

В этом случае бесконечно удаленная точка является полюсом порядка n, если n > 0 , и нулем порядка, если n <0 .${\displaystyle |n|}$

Например, многочлен степени n имеет полюс степени n на бесконечности.

Комплексная плоскость продлена точкой на бесконечности, называется сферой Римана .

Если f - функция, мероморфная на всей сфере Римана, то она имеет конечное число нулей и полюсов, а сумма порядков ее полюсов равна сумме порядков ее нулей.

Каждая рациональная функция мероморфна на всей сфере Римана, и в этом случае сумма порядков нулей или полюсов является максимумом из степеней числителя и знаменателя.

Примеры [ править ]

Полюс порядка 9 на бесконечности для полиномиальной комплексной функции степени 9, такой как${\displaystyle f(z)=z^{9}}$

• Функция

${\displaystyle f(z)={\frac {3}{z}}}$

мероморфна на всей сфере Римана. Он имеет полюс порядка 1 или простой полюс в точке и простой нуль в бесконечности.${\displaystyle z=0,}$

• Функция

${\displaystyle f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}}$

мероморфна на всей сфере Римана. Он имеет полюс порядка 2 ат и полюс порядка 3 ат . Он имеет простой ноль в точке и четверной ноль в бесконечности.${\displaystyle z=5,}$${\displaystyle z=-7}$${\displaystyle z=-2,}$

• Функция

${\displaystyle f(z)={\frac {z-4}{e^{z}-1}}}$

мероморфен во всей комплексной плоскости, но не на бесконечности. Имеет полюса порядка 1 ат . Это можно увидеть, написав ряд Тейлора по всему происхождению.${\displaystyle z=2\pi ni{\text{ for }}n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle e^{z}}$

• Функция

${\displaystyle f(z)=z}$

имеет единственный полюс на бесконечности порядка 1 и единственный ноль в начале координат.

Все приведенные выше примеры, кроме третьего, являются рациональными функциями . Для общего обсуждения нулей и полюсов таких функций см. График «Полюс – ноль» § Системы с непрерывным временем .

Функция на кривой [ править ]

Понятие нулей и полюсов естественным образом распространяется на функции на комплексной кривой , то есть на комплексном аналитическом многообразии размерности один (над комплексными числами). Простейшими примерами таких кривых являются комплексная плоскость и риманова поверхность . Это расширение осуществляется путем передачи структур и свойств через диаграммы , которые являются аналитическими изоморфизмами .

Точнее, пусть f - функция от комплексной кривой M до комплексных чисел. Эта функция голоморфна (соответственно мероморфна) в окрестности точки z на M, если существует карта , голоморфная (соответственно мероморфная) в окрестности точки Тогда z является полюсом или нулем порядка n, если то же самое верно для${\displaystyle \phi }$${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}}$${\displaystyle \phi (z).}$${\displaystyle \phi (z).}$

Если кривая компактна , а функция f мероморфна на всей кривой, то количество нулей и полюсов конечно, а сумма порядков полюсов равна сумме порядков нулей. Это один из основных фактов, которые фигурируют в теореме Римана – Роха .

См. Также [ править ]

• Теория управления # Устойчивость
• Дизайн фильтра
• Фильтр (обработка сигнала)
• Теорема Гаусса – Лукаса
• Теорема Гурвица (комплексный анализ)
• Теорема мардена
• Критерий устойчивости Найквиста
• Полюс – нулевой участок
• Остаток (комплексный анализ)
• Теорема Руше
• Гипотеза Сендова

Ссылки [ править ]

• Конвей, Джон Б. (1986). Функции комплексного переменного I . Springer. ISBN 0-387-90328-3.
• Конвей, Джон Б. (1995). Функции одной комплексной переменной II . Springer. ISBN 0-387-94460-5.
• Хенрици, Питер (1974). Прикладной и вычислительный комплексный анализ 1 . Джон Вили и сыновья .

Внешние ссылки [ править ]

• Вайстейн, Эрик В. «Полюс» . MathWorld .