Бернхард Риманн

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Бернхард Риманн
Бернхард Риман в 1863 году
Родившийся	Георг Фридрих Бернхард Риман 17 сентября 1826 г. Брезеленц , Королевство Ганновер (современная Германия )
Умер	20 июля 1866 г. (1866-07-20)(39 лет) Селаска , Королевство Италия
Национальность	Немецкий
Альма-матер	Геттингенский университет Берлинский университет
Известен	Посмотреть список
Научная карьера
Поля	Математика Физика
Учреждения	Геттингенский университет
Тезис	Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen complexen Größe  (1851)
Докторант	Карл Фридрих Гаусс
Другие научные консультанты	Готтхольд Эйзенштейн Мориц А. Стерн Карл В. Б. Гольдшмидт
Известные студенты	Густав Рох Эдуард Продажа
Влияния	JPGL Дирихле
Подпись

Георг Фридрих Бернхард Риман ( нем.: [ˈꞬeːɔʁk ˈfʁiːdʁɪç ˈbɛʁnhaʁt ˈʁiman] ( слушайте ) ; ^{[1] [2]} 17 сентября 1826 г. - 20 июля 1866 г.) был немецким математиком, который внес вклад в анализ , теорию чисел и дифференциальную геометрию . В области реального анализа он наиболее известен своей первой строгой формулировкой интеграла, интегралом Римана , а также своей работой над рядами Фурье . Его вклад в комплексный анализ, в частности, включает введение римановых поверхностей., открывая новые горизонты в естественном, геометрическом подходе к комплексному анализу. Его знаменитая статья 1859 года о функции подсчета простых чисел , содержащая исходное утверждение гипотезы Римана , считается одной из самых влиятельных статей в аналитической теории чисел . Своим новаторским вкладом в дифференциальную геометрию Риман заложил основы математики общей теории относительности . Многие считают его одним из величайших математиков всех времен. ^{[3] [4]}

Биография [ править ]

Ранние годы [ править ]

Риман родился 17 сентября 1826 года в Брезеленце , деревне недалеко от Данненберга в Королевстве Ганновер . Его отец, Фридрих Бернхард Риман, был бедным лютеранским пастором из Брезеленца, который участвовал в наполеоновских войнах . Его мать, Шарлотта Эбелл, умерла, прежде чем ее дети достигли совершеннолетия. Риман был вторым из шести детей, застенчивым и страдавшим от многочисленных нервных срывов. Риман с раннего возраста проявлял исключительные математические способности, такие как способности к расчету, но страдал от робости и боязни выступать на публике.

Образование [ править ]

В 1840 году Риман уехал в Ганновер, чтобы жить со своей бабушкой и посещать лицей (годы средней школы). После смерти бабушки в 1842 году он учился в средней школе Йоханнеум Люнебурга . В старшей школе Риман усиленно изучал Библию , но часто отвлекался на математику. Его учителя были поражены его способностью выполнять сложные математические операции, в которых он часто превосходил знания своего инструктора. В 1846 году, в возрасте 19 лет, он начал изучать филологию и христианское богословие , чтобы стать пастором и помогать с финансами своей семьи.

Весной 1846 года его отец, собрав достаточно денег, отправил Римана в Геттингенский университет , где он планировал получить степень в области теологии . Однако, оказавшись там, он начал изучать математику у Карла Фридриха Гаусса (в частности, его лекции по методу наименьших квадратов ). Гаусс рекомендовал Риману бросить богословскую работу и заняться математикой; получив одобрение отца, Риман перешел в Берлинский университет в 1847 году. ^[5] Во время учебы Карл Густав Якоб Якоби , Питер Густав Лежен Дирихле , Якоб Штайнер, и Готтхольд Эйзенштейн преподавали. Он пробыл в Берлине два года и вернулся в Геттинген в 1849 году.

Академия [ править ]

Римана провел свои первые лекции в 1854 году, которая основана на поле римановой геометрии и тем самым заложили основу для Альберта Эйнштейна «с общей теории относительности . В 1857 году была предпринята попытка продвинуть Римана до статуса экстраординарного профессора Геттингенского университета . Хотя эта попытка провалилась, в конце концов, Риману дали регулярную зарплату. В 1859 году, после смерти Дирихле (который занимал кафедру Гаусса в Геттингенском университете), он был назначен главой математического факультета Геттингенского университета. Он также был первым, кто предложил использовать измерения выше трех или четырех для описания физической реальности.^[6]

В 1862 году он женился на Элизе Кох, и у них родилась дочь Ида Шиллинг, которая родилась 22 декабря 1862 года ^[7].

Протестантская семья и смерть в Италии [ править ]

Риман бежал из Геттингена, когда армии Ганновера и Пруссии столкнулись там в 1866 году. ^[8] Он умер от туберкулеза во время своего третьего путешествия в Италию в Селаске (ныне деревня Вербания на озере Маджоре ), где он был похоронен на кладбище в Биганцоло ( Вербания).

Риман был преданным христианином, сыном протестантского священника, и видел в своей математической жизни еще один способ служить Богу. В течение своей жизни он строго придерживался христианской веры и считал ее самым важным аспектом своей жизни. На момент смерти он читал молитву «Отче наш» со своей женой и умер прежде, чем они закончили читать молитву. ^[9] Тем временем в Геттингене его домработница выбросила некоторые бумаги из его кабинета, в том числе многие неопубликованные работы. Риман отказался публиковать неполные работы, и некоторые глубокие идеи могли быть потеряны навсегда. ^[8]

Надгробие Римана в Биганцоло (Италия) относится к Римлянам 8:28 : ^[10]

Риманова геометрия [ править ]

Опубликованные работы Римана открыли области исследований, сочетающие анализ с геометрией. Впоследствии они станут основными частями теорий римановой геометрии , алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий . Теория римановых поверхностей была разработана Феликсом Кляйном и, в частности, Адольфом Гурвицем . Эта область математики является частью основы топологии и по-прежнему применяется в математической физике новыми способами .

В 1853 году Гаусс спросил Римана, его ученика, подготовить Habilitationsschrift на фундаменте геометрии. В течение многих месяцев Риман развивал свою теорию высших измерений и в 1854 году прочитал в Геттингене свою лекцию под названием « Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen » (« О гипотезах, лежащих в основе геометрии »). Он был опубликован только через двенадцать лет, в 1868 году, Дедекиндом, через два года после его смерти. Его ранний прием, кажется, был медленным, но теперь он признан одной из самых важных работ в геометрии.

Тема, основанная на этой работе, - риманова геометрия . Риман нашел правильный способ распространить на n измерений дифференциальную геометрию поверхностей, которую сам Гаусс доказал в своей теореме egregium . Фундаментальный объект называется тензором кривизны Римана . Для поверхностного случая это может быть уменьшено до числа (скаляра), положительного, отрицательного или нулевого; ненулевой и постоянный случаи являются моделями известных неевклидовых геометрий .

Идея Римана заключалась в том, чтобы ввести набор чисел в каждой точке пространства (т. Е. Тензор ), который описывал бы, насколько она изогнута или изогнута. Риман обнаружил, что в четырех пространственных измерениях требуется набор из десяти чисел в каждой точке для описания свойств многообразия , независимо от того, насколько оно искажено. Это знаменитая конструкция, лежащая в основе его геометрии, известная теперь как риманова метрика .

Комплексный анализ [ править ]

В своей диссертации он установил геометрическую основу для комплексного анализа с помощью римановых поверхностей , с помощью которых многозначные функции, такие как логарифм (с бесконечным числом листов) или квадратный корень (с двумя листами), могли стать взаимно однозначными функциями . Комплексные функции являются гармоническими функциями (то есть они удовлетворяют уравнению Лапласа и, следовательно , уравнениям Коши – Римана ) на этих поверхностях и описываются местоположением их особенностей и топологией поверхностей. Топологический «род» римановых поверхностей определяется выражением , где у поверхности есть листы, сходящиеся в${\ displaystyle g = w / 2-n + 1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle w}$точки ветвления. Ведь у римановой поверхности есть параметры (« модули »).${\ displaystyle g> 1}$${\ Displaystyle (3g-3)}$

Его вклады в эту область многочисленны. Знаменитая теорема об отображении Римана гласит, что односвязная область на комплексной плоскости «биголоморфно эквивалентна» (т. Е. Между ними существует биекция, голоморфная с голоморфным обратным) либо внутри единичной окружности, либо к внутренней ее части. Обобщением теоремы на римановы поверхности является знаменитая теорема об униформизации , которая была доказана в 19 веке Анри Пуанкаре и Феликсом Кляйном . Здесь также были впервые даны строгие доказательства после развития более богатого математического аппарата (в данном случае топологии). Для доказательства существования функций на римановых поверхностях он использовал условие минимальности, которое он назвал${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$Принцип Дирихле . Карл Вейерштрасс нашел пробел в доказательстве: Риман не заметил, что его рабочее предположение (о существовании минимума) может не работать; функциональное пространство могло быть неполным, и поэтому существование минимума не гарантировалось. Принцип Дирихле был окончательно установлен благодаря работе Дэвида Гильберта в «Вариационном исчислении». В остальном Риман произвел на Вейерштрасса большое впечатление, особенно его теория абелевых функций . Когда появилась работа Римана, Вейерштрасс забрал свою статью из журнала Crelle's Journal и не стал ее публиковать. У них было хорошее взаимопонимание, когда Риман посетил его в Берлине в 1859 году. Вейерштрасс поддержал своего ученика.Герман Амандус Шварц, чтобы найти альтернативы принципу Дирихле в комплексном анализе, в котором он добился успеха. Анекдот Арнольда Зоммерфельда ^[11] показывает трудности, с которыми современные математики столкнулись с новыми идеями Римана. В 1870 году Вейерштрасс взял с собой диссертацию Римана в отпуск в Риги и пожаловался, что ее трудно понять. Физик Герман фон Гельмгольц помог ему в работе в течение ночи и вернулся с комментарием, что это было «естественно» и «очень понятно».

Другие основные моменты включают его работу по абелевым функциям и тета-функциям на римановых поверхностях. Риман соревновался с Вейерштрассом с 1857 г. в решении обратных задач Якоби для абелевых интегралов, обобщения эллиптических интегралов . Риман использовал тэта-функции от нескольких переменных и свел задачу к определению нулей этих тэта-функций. Риман также исследовал матрицы периодов и охарактеризовал их с помощью «римановых соотношений периодов» (симметричная, действительная часть отрицательная). По Фердинанду Георгу Фробениусу и Соломону Лефшецу выполнение этого соотношения эквивалентно вложению (где${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} / \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$- решетка матрицы периодов) в проективном пространстве с помощью тета-функций. При определенных значениях это якобиево многообразие римановой поверхности, пример абелевого многообразия.${\ displaystyle n}$

Многие математики, такие как Альфред Клебш, продолжали работу Римана над алгебраическими кривыми. Эти теории зависели от свойств функции, определенной на римановых поверхностях. Например, теорема Римана – Роха (Рох был учеником Римана) кое-что говорит о числе линейно независимых дифференциалов (с известными условиями на нули и полюсы) римановой поверхности.

Согласно Детлфу Ловиц , ^[12] автоморфные функции появились впервые в статье о уравнении Лапласа на электрический заряженные цилиндрах. Однако Риман использовал такие функции для конформных отображений (таких как отображение топологических треугольников на окружность) в своей лекции 1859 г. о гипергеометрических функциях или в своем трактате о минимальных поверхностях .

Реальный анализ [ править ]

В области реального анализа он открыл интеграл Римана в своей абилитации. Среди прочего, он показал, что всякая кусочно-непрерывная функция интегрируема. Точно так же интеграл Стилтьеса восходит к математику Геттингера, и поэтому они вместе называются интегралом Римана – Стилтьеса .

В своей абилитационной работе над рядами Фурье , где он следил за работой своего учителя Дирихле, он показал, что функции, интегрируемые по Риману, «представимы» рядами Фурье. Дирихле показал это для непрерывных кусочно-дифференцируемых функций (таким образом, со счетным числом недифференцируемых точек). Риман привел пример ряда Фурье, представляющего непрерывную, почти нигде не дифференцируемую функцию, случай, не охваченный Дирихле. Он также доказал лемму Римана – Лебега : если функция представима рядом Фурье, то коэффициенты Фурье стремятся к нулю при больших  n .

Эссе Римана было также отправной точкой для работы Георга Кантора с рядами Фурье, которая послужила толчком для теории множеств .

Он также работал с гипергеометрическими дифференциальными уравнениями в 1857 году, используя сложные аналитические методы, и представил решения через поведение замкнутых путей вокруг особенностей (описываемых матрицей монодромии ). Доказательство существования таких дифференциальных уравнений с помощью ранее известных матриц монодромии является одной из проблем Гильберта.

Теория чисел [ править ]

Он сделал несколько известных вкладов в современную аналитическую теорию чисел . В одной короткой статье , единственной опубликованной им по теме теории чисел, он исследовал дзета-функцию, которая теперь носит его имя, и установил ее важность для понимания распределения простых чисел . Гипотеза Римана была одной из его гипотез о свойствах функции.

В творчестве Римана есть еще много интересных разработок. Он доказал функциональное уравнение для дзета-функции (уже известное Леонарду Эйлеру ), за которым лежит тета-функция. Путем суммирования этой аппроксимирующей функции по нетривиальным нулям на прямой с действительной частью 1/2 он дал точную «явную формулу» для .${\ Displaystyle \ пи (х)}$

Римана знал Чебышёв работы «s на простое число теоремы . Он посетил Дирихле в 1852 году.

Сочинения [ править ]

• 1868 О гипотезах, лежащих в основе геометрии , переведено У.К. Клиффордом , Nature 8 1873 183 - перепечатано в Сборнике математических статей Клиффорда, Лондон, 1882 (Макмиллан); Нью-Йорк, 1968 г. (Челси) http://www.emis.de/classics/Riemann/ . Также в Ewald, William B., ed., 1996 «От Канта к Гильберту: Справочник по основам математики», 2 тома. Оксфордский университет. Пресс: 652–61.
• 1892 Собрание сочинений Бернхарда Римана (изд. Г. Вебера). На немецком. Перепечатано Нью-Йорк 1953 (Дувр)
• Риман, Бернхард (2004), Сборник статей , Kendrick Press, Heber City, UT, ISBN 978-0-9740427-2-5, MR  2121437

См. Также [ править ]

• Список вещей, названных в честь Бернхарда Римана
• Неевклидова геометрия
• О числе простых чисел, меньших заданной величины , статья Римана 1859 г., вводящая комплексную дзета-функцию

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Дербишир, Джон (2003), Основная одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема математики , Вашингтон, округ Колумбия: Джон Генри Пресс, ISBN 0-309-08549-7.
• Монастырский, Майкл (1999), Риман, Топология и физика , Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, ISBN 0-8176-3789-3.
• От Римана к дифференциальной геометрии и теории относительности (Лижен Джи, Атанас Пападопулос и Сумио Ямада, ред.) Springer, 2017, XXXIV, 647 с. ISBN 978-3-319-60039-0 

Внешние ссылки [ править ]

В Wikiquote есть цитаты, связанные с: Бернхардом Риманом

Викискладе есть медиафайлы по теме Бернхарда Римана .

В Wikisource есть текст статьи из Новой Международной энциклопедии 1905 года « Риман, Георг Фридрих Бернхард ».

• Бернхард Риман в проекте « Математическая генеалогия»
• Математические статьи Георга Фридриха Бернхарда Римана
• Публикации Римана на emis.de
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Бернхард Риман" , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет.
• Бернхард Риман - один из важнейших математиков
• Инаугурационная лекция Бернхарда Римана
• Вайсштейн, Эрик Вольфганг (ред.). «Риман, Бернхард (1826–1866)» . ScienceWorld .