Теория чисел

Распределение простых чисел - центральный пункт теории чисел. Эта спираль Улама служит для иллюстрации, намекая, в частности, на условную независимость между простотой и значением некоторых квадратичных многочленов.

Теория чисел (или арифметика или более высокая арифметика в более раннем использовании) - это раздел чистой математики, посвященный в первую очередь изучению целых чисел и целочисленных функций . Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) сказал: «Математика - королева наук, а теория чисел - королева математики». ^{[1] [примечание 1]} Теоретики чисел изучают простые числа, а также свойства математических объектов, составленных из целых чисел (например, рациональных чисел ) или определенных как обобщения целых чисел (например, алгебраических целых чисел ).

Целые числа можно рассматривать либо сами по себе, либо как решения уравнений ( диофантова геометрия ). Вопросы теории чисел часто лучше всего понять при изучении аналитических объектов (например, дзета-функции Римана ), которые каким-либо образом кодируют свойства целых чисел, простых чисел или других теоретико-числовых объектов ( аналитическая теория чисел ). Можно также изучать действительные числа по отношению к рациональным числам, например, как аппроксимированные последними ( диофантово приближение ).

Более старый термин теории чисел - арифметика . К началу двадцатого века ее вытеснила «теория чисел». ^{[примечание 2]} (Слово « арифметика » используется широкой публикой для обозначения « элементарных вычислений »; оно также приобрело другие значения в математической логике , как арифметика Пеано , и информатике , как в арифметике с плавающей запятой .) Использование термина арифметика для теории чисел вернулось во второй половине 20-го века, возможно, отчасти из-за французского влияния. ^{[примечание 3]} В частности, арифметическиеобычно предпочитается как прилагательное к теории чисел .

История [ править ]

Истоки [ править ]

Рассвет арифметики [ править ]

Самой ранней исторической находкой арифметического характера является фрагмент таблицы: разбитая глиняная табличка Плимптон 322 ( Ларса, Месопотамия , ок. 1800 г. до н.э.) содержит список « пифагорейских троек », то есть целых чисел, таких что . Тройки слишком много и слишком велики, чтобы их можно было получить грубой силой . Заголовок над первым столбцом гласит: « Накилтум диагонали, который был вычтен таким образом, что ширина ...» ^[2]${\ Displaystyle (а, б, в)}$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

Схема таблицы предполагает ^[3], что она была построена с помощью того, что составляет, говоря современным языком, идентичность

${\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {2}} \ left (x - {\ frac {1} {x}} \ right) \ right) ^ {2} + 1 = \ left ({\ frac {1} {2}} \ left (x + {\ frac {1} {x}} \ right) \ right) ^ {2},}$

что подразумевается в рутинных старовавилонских упражнениях. ^[4] Если использовался какой-либо другой метод, ^[5] тройки сначала конструировались, а затем переупорядочивались , предположительно для фактического использования в качестве «таблицы», например, для приложений.${\ displaystyle c / a}$

Неизвестно, какими могли быть эти приложения и могли ли они существовать; Вавилонская астрономия , например, по-настоящему пришла в себя лишь позже. Вместо этого было высказано предположение, что таблица была источником числовых примеров для школьных задач. ^{[6] [примечание 4]}

В то время как вавилонская теория чисел - или то, что осталось от вавилонской математики, что можно назвать так, - состоит из этого единственного поразительного фрагмента, вавилонская алгебра (в смысле «алгебры» в средней школе) была исключительно хорошо развита. ^[7] Поздние неоплатонические источники ^[8] утверждают, что Пифагор изучил математику у вавилонян. Более ранние источники ^[9] утверждают, что Фалес и Пифагор путешествовали и учились в Египте .

Евклид IX 21–34, весьма вероятно, пифагорейский; ^[10] это очень простой материал («нечетное, умноженное на четное, есть четное», «если нечетное число измеряет [= делит] четное число, то оно также измеряет [= делит] его половину»), но это все, что необходимо, чтобы доказать, что это иррационально . ^[11] Пифагорейские мистики придавали большое значение четному и нечетному. ^[12] Открытие, которое является иррациональным, приписывают ранним пифагорейцам (до Теодора ). ^[13] Выявив (говоря современным языком), что числа могут быть иррациональными, это открытие, похоже, спровоцировало первый фундаментальный кризис в истории математики; его доказательство или разглашение иногда приписывают 2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$Гиппас , который был изгнан или отделен от пифагорейской секты. ^[14] Это заставило провести различие между числами (целыми числами и рациональными числами - предметами арифметики), с одной стороны, и длиной и пропорциями (которые мы бы отождествили с действительными числами, рациональными или нет), с другой стороны.

Пифагорейская традиция говорила также о так называемых многоугольных или фигуральных числах . ^[15] В то время как квадратные числа, кубические числа и т. Д. Теперь считаются более естественными, чем треугольные числа, пятиугольные числа и т. Д., Изучение сумм треугольных и пятиугольных чисел могло бы оказаться плодотворным в период раннего Нового времени (с 17 по начало 19 века).

Мы не знаем четко арифметического материала ни в древнеегипетских, ни в ведических источниках, хотя и в том, и в другом есть некоторая алгебра. Китайская теорема об остатках появляется в качестве упражнения ^[16] в Sunzi Suanjing (3, 4 или 5 -го века н.э.) . ^[17] (Существует один важный шаг умалчивается в растворе Sunzi в: ^{[примечание 5]} это проблема , которая была позже решена Aryabhata «s Kuṭṭaka - см ниже ).

В китайской математике также присутствует некоторый числовой мистицизм ^{[примечание 6],} но, в отличие от пифагорейцев, он, похоже, ни к чему не привел. Подобно идеальным числам пифагорейцев, магические квадраты из суеверий перешли в развлечение.

Классическая Греция и ранний эллинистический период [ править ]

За исключением нескольких фрагментов, математика классической Греции известна нам либо по отчетам современных нематематиков, либо по математическим работам раннего эллинистического периода. ^[18] В случае теории чисел это означает, по большому счету , Платона и Евклида соответственно.

Хотя азиатская математика повлияла на греческое и эллинистическое обучение, похоже, что греческая математика также является местной традицией.

Евсевий , PE X, глава 4 упоминает Пифагора :

Фактически, упомянутый Пифагор, усердно изучая мудрость каждой нации, посетил Вавилон, Египет и всю Персию, наставляясь волхвами и жрецами; и в дополнение к этому он, как сообщается, учился у брахманов ( это индийские философы); от одних он собрал астрологию, от других - геометрию, арифметику и музыку от других, и разные вещи из разных народов, и только от мудрецов Греции он ничего не получил, поскольку они были связаны с бедность и недостаток мудрости: так, напротив, он сам стал автором наставлений греков о знаниях, полученных им из-за границы ». ^[19]

Аристотель утверждал, что философия Платона тесно связана с учениями пифагорейцев ^[20], и Цицерон повторяет это утверждение: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia («Говорят, Платон изучил все пифагорейское»). ^[21]

Платон очень интересовался математикой и четко различал арифметику и вычисления. (Под арифметикой он отчасти имел в виду теоретизирование чисел, а не то, что стали означать арифметика или теория чисел .) Именно через один из диалогов Платона, а именно Теэтет , мы знаем, что Теодор доказал, что их иррациональность. Теэтет был, как и Платон, учеником Феодора; он работал над различением различных видов несоизмеримых величин и, таким образом, был пионером в изучении систем счисления . (Книга X Элементов Евклида описана${\ displaystyle {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {5}}, \ dots, {\ sqrt {17}}}$Папп в значительной степени основан на работах Теэтета.)

Евклид посвятил часть своих « Элементов» простым числам и делимости, темам, которые однозначно относятся к теории чисел и являются ее основными (книги с VII по IX «Элементов Евклида» ). В частности, он дал алгоритм вычисления наибольшего общего делителя двух чисел ( алгоритм Евклида ; Элементы , Предложение VII.2) и первое известное доказательство бесконечности простых чисел ( Элементы , Предложение IX.20).

В 1773 году Лессинг опубликовал эпиграмму, которую он нашел в рукописи во время работы библиотекарем; он утверждал, что письмо , отправленное Архимед к Эратосфену . ^{[22] [23]} В эпиграмме предлагалось то, что стало известно как проблема Архимеда со скотом ; его решение (отсутствует в рукописи) требует решения неопределенного квадратного уравнения (которое сводится к тому, что позже будет ошибочно названо уравнением Пелла ). Насколько нам известно, такие уравнения впервые были успешно обработаны индийской школой . Неизвестно, был ли у Архимеда метод решения проблемы.

Диофант [ править ]

О Диофанте Александрийском известно очень мало ; он, вероятно, жил в третьем веке нашей эры, то есть примерно через пятьсот лет после Евклида. Шесть из тринадцати книг « Арифметики Диофанта» сохранились в греческом оригинале, а еще четыре сохранились в арабском переводе. Арифметика представляет собой совокупность выработанных задач , где задача неизменно найти рациональные решения системы полиномиальных уравнений, как правило , в форме или . Таким образом, в настоящее время мы говорим о диофантовых уравнениях, когда говорим о полиномиальных уравнениях, для которых должны быть найдены рациональные или целочисленные решения.${\displaystyle f(x,y)=z^{2}}$${\displaystyle f(x,y,z)=w^{2}}$

Можно сказать, что Диофант изучал рациональные точки, т. Е. Точки с рациональными координатами - на кривых и алгебраических многообразиях ; однако, в отличие от греков классического периода, которые делали то, что мы сейчас называем базовой алгеброй в геометрических терминах, Диофант делал то, что мы теперь называем базовой алгебраической геометрией в чисто алгебраических терминах. Говоря современным языком, Диофант нашел рациональную параметризацию многообразий; то есть, учитывая уравнение вида (скажем) , его цель состояла в том, чтобы найти (по существу) три рациональные функции, такие, что для всех значений и установка для дает решение${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0}$ ${\displaystyle g_{1},g_{2},g_{3}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x_{i}=g_{i}(r,s)}$${\displaystyle i=1,2,3}$${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0.}$

Диофант также изучал уравнения некоторых нерациональных кривых, для которых рациональная параметризация невозможна. Ему удалось найти некоторые рациональные точки на этих кривых ( эллиптические кривые , как оказалось, в том, что кажется их первым известным появлением), с помощью того, что составляет касательную конструкцию: преобразованную в координатную геометрию (которой не существовало во времена Диофанта). ), его метод можно было бы визуализировать как рисование касательной к кривой в известной рациональной точке, а затем нахождение другой точки пересечения касательной с кривой; этот другой пункт - новый рациональный момент. (Диофант также прибегал к тому, что можно было бы назвать частным случаем секущей конструкции.)

Хотя Диофант в основном занимался рациональными решениями, он предполагал некоторые результаты для целых чисел, в частности, что каждое целое число представляет собой сумму четырех квадратов (хотя он никогда не заявлял об этом явно).

Арьябхана, Брахмагупта, Бхаскара [ править ]

Хотя греческая астрономия, вероятно, повлияла на индийское обучение, вплоть до введения тригонометрии ^[24], похоже, что в остальном индийская математика является местной традицией; ^[25] в частности, нет никаких доказательств того, что Элементы Евклида достигли Индии до 18 века. ^[26]

Ариабхаты (476-550 CE) , показали , что пары одновременных сравнений , могут быть решены с помощью способа , он называется kuṭṭaka или пульверизатором ; ^[27] это процедура, близкая к (обобщению) алгоритму Евклида , который, вероятно, был независимо открыт в Индии. ^[28] Арьябхана, похоже, имел в виду приложения к астрономическим расчетам. ^[24]${\displaystyle n\equiv a_{1}{\bmod {m}}_{1}}$${\displaystyle n\equiv a_{2}{\bmod {m}}_{2}}$

Брахмагупта (628 г. н.э.) начал систематическое изучение неопределенных квадратных уравнений - в частности, ошибочно названного уравнения Пелла , которым, возможно, сначала интересовался Архимед , и которое не начинали решаться на Западе до времен Ферма и Эйлера. Позднее последовали санскритские авторы, использующие техническую терминологию Брахмагупты. Общая процедура ( чакравала , или «циклический метод») для решения уравнения Пелла была наконец найдена Джаядевой (цитируется в одиннадцатом веке; в противном случае его работа утеряна); Самая ранняя сохранившаяся экспозиция появляется в «Биджа-ганите» Бхаскары II (XII век). ^[29]

Индийская математика оставалась в значительной степени неизвестной в Европе до конца восемнадцатого века; ^[30] Работа Брахмагупты и Бхаскары была переведена на английский язык в 1817 году Генри Колбруком . ^[31]

Арифметика в золотой век ислама [ править ]

В начале девятого века халиф аль-Мамун приказал переводы многих греческих математических работ и , по меньшей мере , одну работы санскрита (в Sindhind , который может ^[32] или не может ^[33] быть Brahmagupta «s Brāhmasphuṭasiddhānta ). Главный труд Диофанта , « Арифметика» , был переведен на арабский язык Кустой ибн Лукой (820–912). Часть трактата аль-Фахри ( аль-Караджи , 953 - ок. 1029) в некоторой степени построена на нем. Согласно Рашеду Рошди, современник Аль-Караджи Ибн аль-Хайсам знал ^[34], что позже будет называтьсяТеорема Вильсона .

Западная Европа в средние века [ править ]

За исключением трактата о квадратах в арифметической прогрессии Фибоначчи - который путешествовал и учился в Северной Африке и Константинополе - никакой теории чисел, о которой можно было бы говорить, не было сделано в Западной Европе в средние века. Ситуация в Европе начала меняться в конце эпохи Возрождения , благодаря обновленному изучению произведений греческой античности. Катализатором послужили исправления текста и перевод на латынь « Арифметики » Диофанта . ^[35]

Ранняя современная теория чисел [ править ]

Ферма [ править ]

Пьер де Ферма (1607–1665) никогда не публиковал свои сочинения; в частности, его работа по теории чисел почти полностью содержится в письмах к математикам и в частных заметках на полях. ^[36] В своих записях и письмах он почти не писал никаких доказательств - у него не было моделей в этом районе. ^[37]

За свою жизнь Ферма сделал следующие вклады в эту область:

• Одним из первых интересов Ферма были совершенные числа (которые появляются в Евклиде, Элементы IX) и дружественные числа ; ^{[примечание 7]} эти темы привели его к работе над целочисленными делителями , которые с самого начала были среди субъектов переписки (с 1636 г.), которые позволили ему войти в контакт с математическим сообществом того времени. ^[38]

• В 1638 году Ферма без доказательств утверждал, что все целые числа могут быть выражены как сумма четырех квадратов или меньше. ^[39]
• Маленькая теорема Ферма (1640): ^[40] если a не делится на простое число p , то ^{[примечание 8]}${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}.}$
• Если a и b взаимно просты, то не делится ни на одно простое число, сравнимое с −1 по модулю 4; ^[41] и каждое простое число, сравнимое с 1 по модулю 4, можно записать в виде . ^[42] Эти два заявления также датируются 1640 годом; в 1659 году Ферма заявил Гюйгенсу, что он доказал последнее утверждение методом бесконечного спуска . ^[43]${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$
• В 1657 году Ферма поставил задачу решения перед английскими математиками. Проблема была решена за несколько месяцев Уоллис и Браункер. ^[44] Ферма счел их решение верным, но указал, что они предоставили алгоритм без доказательства (как и Джаядева и Бхаскара, хотя Ферма об этом не знал). Он заявил, что доказательство может быть найдено бесконечным спуском.${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$
• Ферма заявил и доказал (бесконечным спуском) в приложении к « Наблюдениям о Диофанте» (Obs. XLV) ^[45], что не имеет нетривиальных решений в целых числах. Ферма также упомянул своим корреспондентам, что нет нетривиальных решений, и что это также может быть доказано бесконечным спуском. ^[46] Первое известное доказательство принадлежит Эйлеру (1753; действительно, бесконечным спуском). ^[47]${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$
• Ферма утверждал (« последняя теорема Ферма »), что доказал, что для всех нет решений ; это утверждение появляется в его комментариях на полях его копии Диофанта.${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$${\displaystyle n\geq 3}$

Эйлер [ править ]

Интерес Леонарда Эйлера (1707–1783) к теории чисел впервые возник в 1729 году, когда его друг, любитель ^{[примечание 9]} Гольдбах , указал ему на некоторые работы Ферма по этому вопросу. ^{[48] [49]} Это было названо «возрождением» современной теории чисел ^[50] после того, как Ферма не сумел привлечь внимание современников к этому предмету. ^[51] Работа Эйлера по теории чисел включает следующее: ^[52]

• Доказательства утверждений Ферма. Сюда входит малая теорема Ферма (обобщенная Эйлером на непростые модули); тот факт, что если и только если ; начальная работа по доказательству того, что каждое целое число является суммой четырех квадратов (первое полное доказательство принадлежит Жозефу-Луи Лагранжу (1770), вскоре улучшено самим Эйлером ^[53] ); отсутствие ненулевых целочисленных решений (что подразумевает случай n = 4 последней теоремы Ферма, случай n = 3 из которых Эйлер также доказал родственным методом).${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {4}}}$${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}}$
• Уравнение Пелла , впервые ошибочно названное Эйлером. ^[54] Он писал о связи между непрерывными дробями и уравнением Пелла. ^[55]
• Первые шаги к аналитической теории чисел . В своей работе о суммах четырех квадратов, разбиениях , пятиугольных числах и распределении простых чисел Эйлер впервые применил то, что можно рассматривать как анализ (в частности, бесконечные ряды) в теории чисел. Поскольку он жил до появления комплексного анализа , большая часть его работы ограничивается формальным манипулированием степенными рядами . Тем не менее, он проделал очень заметную (хотя и не полностью строгую) раннюю работу над тем, что позже будет называться дзета-функцией Римана . ^[56]
• Квадратичные формы . Следуя примеру Ферма, Эйлер провел дальнейшее исследование вопроса о том, какие простые числа могут быть выражены в форме , некоторые из которых предвосхищают квадратичную взаимность . ^{[57] [58] [59]}${\displaystyle x^{2}+Ny^{2}}$
• Диофантовы уравнения . Эйлер работал над некоторыми диофантовыми уравнениями рода 0 и 1. ^{[60] [61]} В частности, он изучал работы Диофанта ; он попытался систематизировать ее, но время для таких усилий еще не пришло - алгебраическая геометрия все еще находилась в зачаточном состоянии. ^[62] Он сделал уведомление существует связь между диофантовыми задачами и эллиптическими интегралами , ^[62] , чьи исследованиями он сам инициировал.

Лагранж, Лежандр и Гаусс [ править ]

Жозеф-Луи Лагранж (1736–1813) был первым, кто дал полные доказательства некоторых работ и наблюдений Ферма и Эйлера - например, теоремы о четырех квадратах и базовой теории ошибочно названного «уравнения Пелля» (для которого алгоритмическое решение было найдено Ферматом и его современниками, а также Джаядевой и Бхаскарой II до них.) Он также изучал квадратичные формы в полной общности (в противоположность ) - определяя их отношение эквивалентности, показывая, как привести их в сокращенную форму и т. д.${\displaystyle mX^{2}+nY^{2}}$

Адриан-Мари Лежандр (1752–1833) был первым, кто сформулировал закон квадратичной взаимности. Он также предположил, что составляет теорему о простых числах и теорему Дирихле об арифметических прогрессиях . Он дал полную трактовку уравнения ^[63] и работал над квадратичными формами в соответствии с направлениями, впоследствии полностью развитыми Гауссом. ^[64] В преклонном возрасте он был первым, кто доказал «последнюю теорему Ферма» для (завершив работу Питера Густава Лежена Дирихле и приписав ему и Софи Жермен ). ^[65]${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$${\displaystyle n=5}$

В своих арифметических исследованиях (1798) Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) доказал закон квадратичной взаимности и развил теорию квадратичных форм (в частности, определив их состав). Он также ввел некоторые базовые обозначения ( сравнения ) и посвятил раздел вычислительным вопросам, включая тесты на простоту. ^[66] Последний раздел Disquisitiones установил связь между корнями единства и теорией чисел:

Теория деления круга ... которая рассматривается в гл. 7 не принадлежит сама по себе к арифметике, но ее принципы могут быть извлечены только из высшей арифметики. ^[67]

Таким образом, Гаусс, возможно, сделал первый набег как на работу Эвариста Галуа , так и на теорию алгебраических чисел .

Срок погашения и разделение на подполя [ править ]

Начиная с начала девятнадцатого века постепенно происходили следующие события:

• Подъем к самосознанию теории чисел (или высшей арифметики ) как области исследования. ^[68]
• Развитие большей части современной математики , необходимые для основной современной теории чисел: комплексного анализа , теории групп , теории Галуа -accompanied большей строгости анализа и абстракции в алгебре.
• Грубое разделение теории чисел на ее современные области - в частности, аналитическую и алгебраическую теорию чисел .

Можно сказать, что алгебраическая теория чисел началась с изучения взаимности и циклотомии , но на самом деле стала самостоятельной с развитием абстрактной алгебры и ранней теории идеалов и теории оценки ; Смотри ниже. Традиционной отправной точкой для аналитической теории чисел является теорема Дирихле об арифметических прогрессиях (1837), ^{[69] [70]} , доказательство которой вводило L-функции и включало некоторый асимптотический анализ и предельный процесс для действительной переменной. ^[71] Первое использование аналитических идей в теории чисел на самом деле восходит к Эйлеру (1730-е годы), ^{[72] [73]}кто использовал формальные степенные ряды и нестрогие (или неявные) ограничивающие аргументы. Использование комплексного анализа в теории чисел появилось позже: работа Бернхарда Римана (1859) о дзета-функции является канонической отправной точкой; ^[74] Теорема Якоби о четырех квадратах (1839 г.), предшествующая ей, принадлежит к изначально другой ветви, которая к настоящему времени заняла ведущую роль в аналитической теории чисел ( модулярные формы ). ^[75]

История каждого подполя кратко рассматривается в отдельном разделе ниже; см. основную статью каждого подполя для более полного описания. Многие из наиболее интересных вопросов в каждой области остаются открытыми и активно работают над ними.

Основные подразделения [ править ]

Элементарная теория чисел [ править ]

Термин элементарный обычно обозначает метод, в котором не используется комплексный анализ . Например, теорема о простых числах была впервые доказана с помощью комплексного анализа в 1896 году, но элементарное доказательство было найдено только в 1949 году Эрдешом и Сельбергом . ^[76] Термин несколько неоднозначен: например, доказательства, основанные на сложных тауберовских теоремах (например, Винера – Икехара ), часто рассматриваются как довольно поучительные, но не элементарные, несмотря на использование анализа Фурье, а не комплексного анализа как такового. Здесь, как и везде, элементарное доказательство может быть длиннее и труднее для большинства читателей, чем неэлементарное.

Теория чисел имеет репутацию области, многие результаты которой могут быть изложены непрофессионалам. В то же время доказательства этих результатов не особенно доступны, отчасти потому, что диапазон инструментов, которые они используют, необычайно широк в математике. ^[77]

Аналитическая теория чисел [ править ]

Аналитическая теория чисел может быть определена

• с точки зрения его инструментов, как изучение целых чисел с помощью инструментов реального и комплексного анализа; ^[69] или
• с точки зрения его проблем, как изучение в рамках теории чисел оценок размера и плотности в противоположность тождествам. ^[78]

Некоторые предметы обычно рассматривается как часть аналитической теории чисел, например, решето теории , ^{[примечание 10]} лучше покрываются второе , а не первое определение: некоторые из решета теории, например, использует небольшой анализ, ^{[примечание 11]} тем не менее, это относится к аналитической теории чисел.

Ниже приведены примеры задач аналитической теории чисел: теорема о простых числах , гипотеза Гольдбаха (или гипотеза о простых числах-близнецах , или гипотезы Харди – Литтлвуда ), проблема Варинга и гипотеза Римана . Одними из наиболее важных инструментов аналитической теории чисел являются метод круга , методы решета и L-функции (или, скорее, изучение их свойств). Теория модульных форм (и, в более общем смысле, автоморфных форм ) также занимает все более центральное место в арсенале аналитической теории чисел. ^[79]

Можно задавать аналитические вопросы об алгебраических числах и использовать аналитические средства для ответа на такие вопросы; таким образом пересекаются алгебраическая и аналитическая теория чисел. Например, можно определить простые идеалы (обобщения простых чисел в области алгебраических чисел) и спросить, сколько существует простых идеалов до определенного размера. На этот вопрос можно ответить , изучив дзета-функции Дедекинда , которые являются обобщениями дзета-функции Римана , ключевого аналитического объекта, лежащего в основе предмета. ^[80]Это пример общей процедуры аналитической теории чисел: получение информации о распределении последовательности (здесь простых идеалов или простых чисел) из аналитического поведения правильно построенной комплекснозначной функции. ^[81]

Алгебраическая теория чисел [ править ]

Алгебраическое число любое комплексное число , которое является решением некоторого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами; например, каждое решение из (скажем) является алгебраическим числом. Поля алгебраических чисел также называются полями алгебраических чисел или сокращенно числовыми полями . Алгебраическая теория чисел изучает поля алгебраических чисел. ^[82] Таким образом, аналитическая и алгебраическая теория чисел могут пересекаться и действительно пересекаются: первая определяется ее методами, вторая - объектами изучения.${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0}$

Можно утверждать, что простейшие виды числовых полей (а именно, квадратичные поля) уже были изучены Гауссом, поскольку обсуждение квадратичных форм в Disquisitiones arithmeticae может быть переформулировано в терминах идеалов и норм в квадратичных полях. ( Квадратичное поле состоит из всех чисел в форме , где и являются рациональными числами и являются фиксированным рациональным числом, квадратный корень которого не является рациональным.) В этом отношении метод чакравалы 11-го века сводится, говоря современным языком, к алгоритму для нахождения единиц действительного поля квадратичных чисел. Однако ни Бхаскара, ни Гаусс не знали о числовых полях как таковых.${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle d}$

Основы предмета в том виде, в каком мы его знаем, были заложены в конце девятнадцатого века, когда были разработаны идеальные числа , теория идеалов и теория оценки ; это три дополнительных способа справиться с отсутствием уникальной факторизации в полях алгебраических чисел. (Например, в поле , создаваемого поле рациональных чисел и число может быть факторизуются и как и , все , , и неприводимы, и , таким образом, в наивном смысле, аналогично простые числа среди целых чисел.) Первоначальный импульс разработка идеальных чисел ( Куммером ), по-видимому, пришла из изучения более высоких законов взаимности, ^[83]${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 6=2\cdot 3}$${\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}}$то есть обобщения квадратичной взаимности .

Количество полей часто изучаются в качестве расширений меньших числовых полей: поле L называется быть продолжением из поля K , если L содержит K . (Например, комплексные числа C являются расширением вещественных чисел R , а действительные числа R являются расширением рациональных чисел Q ). Классификация возможных расширений данного числового поля - сложная и частично открытая проблема. Абелевы расширения, то есть расширения L поля K такие, что группа Галуа ^{[примечание 12]} Gal ( L / K ) группыL над K - абелева группа - относительно хорошо изучены. Их классификация была предметом программы теории поля классов , которая была начата в конце 19 века (частично Кронекером и Эйзенштейном ) и проводилась в основном в 1900–1950 годах.

Примером активной области исследований в области алгебраической теории чисел является теория Ивасавы . Программа Ленглендса , один из основных текущих крупномасштабных исследовательских планов в области математики, иногда описывается как попытка обобщить теорию полей классов на неабелевы расширения числовых полей.

Диофантова геометрия [ править ]

Центральная проблема диофантовой геометрии состоит в том, чтобы определить, когда диофантово уравнение имеет решений, и если да, то сколько. Используемый подход состоит в том, чтобы думать о решениях уравнения как о геометрическом объекте.

Например, уравнение с двумя переменными определяет кривую на плоскости. В более общем смысле, уравнение или система уравнений с двумя или более переменными определяет кривую , поверхность или какой-либо другой подобный объект в n- мерном пространстве. В диофантовой геометрии спрашивают, есть ли какие-либо рациональные точки (точки, все координаты которых рациональны) или целые точки (точки, все координаты которых являются целыми числами) на кривой или поверхности. Если такие точки есть, следующий шаг - спросить, сколько их и как они распределяются. Основной вопрос в этом направлении заключается в том, существует ли конечное или бесконечное количество рациональных точек на данной кривой (или поверхности).

В уравнении Пифагора мы хотели бы изучить его рациональные решения, то есть такие решения , в которых x и y оба рациональны. Это то же самое, что и запрос всех целочисленных решений ; любое решение последнего уравнения дает нам решение , к первому. Это также то же самое, что запрос всех точек с рациональными координатами на кривой, описанной . (Эта кривая представляет собой окружность радиуса 1 вокруг начала координат.)${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$${\displaystyle x=a/c}$${\displaystyle y=b/c}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Перефразировка вопросов об уравнениях в терминах точек на кривых оказывается удачной. Конечность или нет числа рациональных или целых точек на алгебраической кривой, то есть рациональных или целочисленных решений уравнения , где - многочлен от двух переменных, оказывается, в решающей степени зависит от рода кривой. В роде может быть определен следующим образом : ^{[примечание 13]} позволяют переменным в быть комплексными числами; затем определяет 2-мерную поверхность в (проективном) 4-мерном пространстве (поскольку две комплексные переменные могут быть разложены на четыре действительные переменные, то есть на четыре измерения). Если посчитать количество (бублик) дырок на поверхности; мы называем это число родом${\displaystyle f(x,y)=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x,y)=0}$${\displaystyle f(x,y)=0}$оф . Другие геометрические понятия оказываются столь же важными.${\displaystyle f(x,y)=0}$

Существует также тесно связанная область диофантовых приближений : если дано число , то выясняется, насколько хорошо оно может быть аппроксимировано рациональными числами. (Мы ищем приближения, которые являются хорошими относительно количества места, которое требуется для записи рационального числа: назовите (с ) хорошим приближением к if , where is large.) Этот вопрос представляет особый интерес, если является алгебраическим числом. Если нельзя хорошо аппроксимировать, то некоторые уравнения не имеют целочисленных или рациональных решений. Более того, некоторые понятия (особенно понятие высоты ) оказываются критическими как в диофантовой геометрии, так и при изучении диофантовых приближений. Этот вопрос также представляет особый интерес в${\displaystyle x}$${\displaystyle a/q}$${\displaystyle \gcd(a,q)=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |x-a/q|<{\frac {1}{q^{c}}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$трансцендентная теория чисел : если число может быть аппроксимировано лучше, чем любое алгебраическое число, то это трансцендентное число . Именно с помощью этого аргумента было показано, что π и e трансцендентны.

Не следует путать диофантову геометрию с геометрией чисел , которая представляет собой набор графических методов для ответа на определенные вопросы алгебраической теории чисел. Однако арифметическая геометрия - это современный термин, обозначающий почти ту же область, что и термин диофантова геометрия . Термин арифметическая геометрия , вероятно, используется чаще всего, когда кто-то хочет подчеркнуть связи с современной алгебраической геометрией (как, например, в теореме Фалтингса ), а не с методами диофантовых приближений.

Другие подполя [ править ]

Области ниже датируются не ранее середины двадцатого века, даже если они основаны на более старых материалах. Например, как объясняется ниже, вопрос об алгоритмах в теории чисел очень стар, в некотором смысле старше концепции доказательства; в то же время современные исследования вычислимости датируются только 1930-ми и 1940-ми годами, а теория вычислительной сложности - 1970-ми.

Вероятностная теория чисел [ править ]

Большая часть вероятностной теории чисел может рассматриваться как важный частный случай изучения переменных, которые почти, но не полностью, взаимно независимы . Например, случай, когда случайное целое число от одного до миллиона делится на два, и событие, когда оно делится на три, почти независимы, но не совсем.

Иногда говорят, что вероятностная комбинаторика использует тот факт, что все, что происходит, с большей вероятностью, чем должно иногда происходить; с равной справедливостью можно сказать, что многие приложения вероятностной теории чисел основаны на том факте, что все необычное должно быть редкостью. Если можно показать, что определенные алгебраические объекты (например, рациональные или целочисленные решения некоторых уравнений) находятся в хвосте определенных разумно определенных распределений, из этого следует, что их должно быть немного; это очень конкретное, не вероятностное утверждение, вытекающее из вероятностного.${\displaystyle 0}$

Иногда нестрогий вероятностный подход приводит к ряду эвристических алгоритмов и открытых проблем, в частности к гипотезе Крамера .

Арифметическая комбинаторика [ править ]

Если мы начнем с достаточно «толстым» бесконечным множеством , он содержит много элементов в арифметической прогрессии: , , скажет? Можно ли записывать большие целые числа как суммы элементов ?${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a+b,a+2b,a+3b,\ldots ,a+10b}$${\displaystyle A}$

Эти вопросы характерны для арифметической комбинаторики . Это в настоящее время сливающееся поле; он включает в себя аддитивную теорию чисел (которая занимается определенными очень специфическими наборами арифметических значений, такими как простые числа или квадраты) и, возможно, некоторую геометрию чисел вместе с некоторым быстро развивающимся новым материалом. Его внимание на вопросах счетов роста и распределения в части для его развития связей с эргодической теории , теории конечных групп , теории моделей и других областях. Также используется термин аддитивная комбинаторика ; однако наборы${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$изучаемые должны быть не наборами целых чисел, а скорее подмножествами некоммутативных групп , для которых традиционно используется символ умножения, а не символ сложения; они также могут быть подмножества колец , и в этом случае рост и · могут быть сопоставлены.${\displaystyle A+A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Вычислительная теория чисел [ править ]

Хотя слово « алгоритм» встречается только у некоторых читателей al-Khwārizmī , тщательные описания методов решения старше доказательств: такие методы (то есть алгоритмы) так же стары, как и любая известная математика - древнеегипетская, вавилонская, ведическая, китайская. - тогда как доказательства появились только у греков классического периода.

Интересный ранний случай - это то, что мы сейчас называем алгоритмом Евклида . В своей основной форме (а именно, как алгоритм вычисления наибольшего общего делителя ) он появляется как Предложение 2 Книги VII в Элементах вместе с доказательством правильности. Однако в форме, которая часто используется в теории чисел (а именно, как алгоритм для нахождения целочисленных решений уравнения или, что то же самое, для нахождения величин, существование которых гарантируется китайской теоремой об остатках ), он сначала появляется в работах Арьябханы (V – VI века н.э.) в качестве алгоритма, называемого kuṭṭaka (« измельчитель »), без доказательства правильности.${\displaystyle ax+by=c}$

Есть два основных вопроса: «Можем ли мы это вычислить?» и "Можем ли мы быстро вычислить?" Кто угодно может проверить, является ли число простым, а если нет, разбить его на простые множители; делать это быстро - другое дело. Теперь мы знаем быстрые алгоритмы проверки простоты , но, несмотря на большую работу (как теоретическую, так и практическую), по-настоящему быстрого алгоритма факторинга нет.

Сложность вычислений может быть полезной: современные протоколы для шифрования сообщений (например, RSA ) зависят от функций, которые известны всем, но чьи инверсии известны лишь немногим избранным, и на их вычисление потребуется слишком много времени. самостоятельно. Например, эти функции могут быть такими, что их обратные значения могут быть вычислены только в случае факторизации некоторых больших целых чисел. Хотя известно множество сложных вычислительных задач, не связанных с теорией чисел, большинство рабочих протоколов шифрования в настоящее время основаны на сложности нескольких теоретико-числовых задач.

Некоторые вещи могут быть вообще не вычислимы; фактически, в некоторых случаях это можно доказать. Например, в 1970 году в качестве решения 10-й проблемы Гильберта было доказано, что не существует машины Тьюринга, которая могла бы решать все диофантовы уравнения. ^[84] В частности, это означает, что для вычислимо перечислимогоВ системе аксиом существуют диофантовы уравнения, для которых нет доказательства, исходя из аксиом, того, имеет ли система уравнений целочисленные решения или нет. (Мы обязательно будем говорить о диофантовых уравнениях, для которых нет целочисленных решений, поскольку для диофантова уравнения с хотя бы одним решением само решение является доказательством того, что решение существует. Мы не можем доказать, что конкретное диофантово уравнение уравнение такого типа, поскольку это означало бы, что оно не имеет решений.)

Приложения [ править ]

Теоретик чисел Леонард Диксон (1874–1954) сказал: «Слава Богу, что теория чисел не запятнана никаким приложением». Такой взгляд больше не применим к теории чисел. ^[85] В 1974 году Дональд Кнут сказал: «... практически каждая теорема элементарной теории чисел возникает естественным, мотивированным образом в связи с проблемой, связанной с тем, чтобы заставить компьютеры выполнять высокоскоростные численные вычисления». ^[86] Элементарная теория чисел преподается на курсах дискретной математики для компьютерных специалистов ; с другой стороны, теория чисел также имеет приложения к непрерывному в численном анализе . ^[87] А также известные приложения ккриптография , есть также приложения во многих других областях математики. ^{[88] [89] [ укажите ]}

Призы [ править ]

В Американском математическом обществе присуждает Коул премию в теории чисел . Более того, теория чисел - одна из трех математических дисциплин, награжденных Премией Ферма .

См. Также [ править ]

• Поле алгебраических функций
• Конечное поле
• p-адическое число

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Эта статья включает материалы из статьи Citizendium « Теория чисел », которая находится под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License, но не GFDL .

Дальнейшее чтение [ править ]

Два самых популярных введения в эту тему:

• Г. Х. Харди ; EM Wright (2008) [1938]. Введение в теорию чисел (ред. Д. Р. Хита-Брауна и Дж. Х. Сильвермана, 6-е изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-921986-5. Проверено 2 марта 2016 .
• Виноградов И.М. (2003) [1954]. Элементы теории чисел (переиздание изд. 1954 г.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications.

Книга Харди и Райта представляет собой всеобъемлющую классику, хотя ее ясность иногда страдает из-за того, что авторы настаивают на элементарных методах ( Апостол nd ). Главная привлекательность Виноградова состоит в его проблемах, которые быстро перерастают в собственные исследовательские интересы Виноградова; сам текст очень простой и близок к минимальному. Другие популярные первые представления:

• Иван М. Нивен ; Герберт С. Цукерман; Хью Л. Монтгомери (2008) [1960]. Введение в теорию чисел (оттиск 5-го издания 1991 г.). Джон Вили и сыновья . ISBN 978-81-265-1811-1. Проверено 28 февраля 2016 .
• Кеннет Х. Розен (2010). Элементарная теория чисел (6-е изд.). Pearson Education . ISBN 978-0-321-71775-7. Проверено 28 февраля 2016 .

Популярные варианты второго учебника включают:

• Боревич, А.И .; Шафаревич, Игорь Р. (1966). Теория чисел . Чистая и прикладная математика. 20 . Бостон, Массачусетс: Academic Press . ISBN 978-0-12-117850-5. Руководство по ремонту  0195803 .
• Серр, Жан-Пьер (1996) [1973]. Курс арифметики . Выпускные тексты по математике . 7 . Springer. ISBN 978-0-387-90040-7.

Внешние ссылки [ править ]

В Викицитаторе есть цитаты, связанные с: Теорией чисел

• СМИ, связанные с теорией чисел на Викискладе?
• Запись теории чисел в энциклопедии математики
• Сеть теории чисел