Аксиомы Пеано

В математической логике , то аксиомы Пеаны , также известные как аксиомы Дедекинд Пеан или постулаты Пеаны , являются аксиомами для натуральных чисел , представленных в девятнадцатом веке итальянского математиком Джузеппе Пеано . Эти аксиомы использовались почти без изменений в ряде метаматематических исследований, включая исследования фундаментальных вопросов о том, является ли теория чисел последовательной и полной .

Необходимость формализации арифметики не была хорошо оценена до работы Германа Грассмана , который в 1860-х годах показал, что многие арифметические факты можно вывести из более основных фактов об операции-преемнике и индукции . ^[1] В 1881 году Чарльз Сандерс Пирс представил аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. ^[2] В 1888 году Ричард Дедекинд предложил другую аксиоматизацию арифметики натуральных чисел, а в 1889 году Пеано опубликовал их упрощенную версию в виде собрания аксиом в своей книге «Принципы арифметики, представленные новым методом ( лат.: Принципы арифметики, новая методика объяснения ).

Девять аксиом Пеано содержат три типа утверждений. Первая аксиома утверждает существование хотя бы одного члена множества натуральных чисел. Следующие четыре - общие утверждения о равенстве ; в современных методах лечения они часто воспринимаются не как часть аксиом Пеано, а скорее как аксиомы «лежащей в основе логики». ^[3] Следующие три аксиомы представляют собой утверждения первого порядка о натуральных числах, выражающие фундаментальные свойства операции-преемника. Девятая, последняя аксиома - это утверждение второго порядка принципа математической индукции по натуральным числам. Более слабая система первого порядка, называемая арифметикой Пеанополучается путем явного добавления символов операции сложения и умножения и замены аксиомы индукции второго порядка схемой аксиом первого порядка .

Формулировка [ править ]

Когда Пеано сформулировал свои аксиомы, язык математической логики находился в зачаточном состоянии. Система логической нотации, которую он создал для представления аксиом, не оказалась популярной, хотя она была происхождением современной нотации для членства в множестве (∈, которое происходит от ε Пеано) и импликации (⊃, которое происходит от перевернутого C '.) Пеано проводил четкое различие между математическими и логическими символами, которое еще не было распространено в математике; такое разделение впервые было введено в Begriffsschrift по Фреге , опубликованной в 1879 г. ^[4] Пеано не знал о работе Фреге и независимо воссоздан его логический аппарат на основе работыБуль и Шредер . ^[5]

Аксиомы Пеано определяют арифметические свойства натуральных чисел , как правило , представлены в виде набора N или The нелогических символов для аксиом состоят из постоянного символа 0 и одинарного символ функции S . ${\ displaystyle \ mathbb {N}.}$

Первая аксиома утверждает, что константа 0 является натуральным числом:

0 - натуральное число.

Следующие четыре аксиомы описывают отношение равенства . Поскольку они логически верны в логике первого порядка с равенством, они не считаются частью «аксиом Пеано» в современных трактовках. ^[5]

Для любого натурального числа х , х = х . То есть равенство рефлексивно .
Для всех натуральных чисел x и y , если x = y , то y = x . То есть равенство симметрично .
Для всех натуральных чисел x , y и z , если x = y и y = z , то x = z . То есть равенство транзитивно .
Для всех a и b , если b - натуральное число и a = b , то a также является натуральным числом. То есть натуральные числа замкнуты относительно равенства.

Остальные аксиомы определяют арифметические свойства натуральных чисел. В натуралах предполагаются быть закрыты под однозначным « преемником » функции S .

Для любого натурального числа п , S ( п ) представляет собой натуральное число. То есть, натуральные числа закрыты под S .
Для всех натуральных чисел т и п , т = п тогда и только тогда , когда S ( м ) = S ( п ) . То есть S - это инъекция .
Для любого натурального числа п , S ( п ) = 0 является ложным. То есть не существует натурального числа, следующий за 0.

Первоначальная формулировка аксиом Пеано использовала 1 вместо 0 в качестве «первого» натурального числа. ^[6] Этот выбор произвольный, поскольку эти аксиомы не наделяют константу 0 какими-либо дополнительными свойствами. Однако, поскольку 0 является аддитивным тождеством в арифметике, большинство современных формулировок аксиом Пеано начинаются с 0.

Аксиомы 1, 6, 7, 8 определяют унарное представление интуитивного понятия натуральных чисел: число 1 можно определить как S (0), 2 как S ( S (0)) и т. Д. Однако, учитывая понятие натуральные числа, как определено этими аксиомами, аксиомы 1, 6, 7, 8 не означают, что функция-последователь генерирует все натуральные числа, отличные от 0. Иными словами, они не гарантируют, что каждое натуральное число, кроме нуля, должно следовать некоторому другое натуральное число.

Интуитивное представление о том, что каждое натуральное число может быть получено достаточно частым применением преемника к нулю, требует дополнительной аксиомы, которую иногда называют аксиомой индукции .

Если K - такой набор, что:
- 0 находится в K , а
- для любого натурального числа n , n, принадлежащего K, означает, что S ( n ) находится в K ,
тогда K содержит все натуральные числа.

Аксиому индукции иногда формулируют в следующем виде:

Если φ - унарный предикат такой, что:
- φ (0) верно, и
- для любого натурального числа п , ф ( п ) истинности следует , что φ ( S ( п )) истинно,
тогда φ ( n ) истинно для любого натурального числа n .

В исходной формулировке Пеано аксиома индукции является аксиомой второго порядка . Сейчас принято заменять этот принцип второго порядка более слабой схемой индукции первого порядка . Существуют важные различия между формулировками второго и первого порядка, как обсуждается в разделе § Теория арифметики первого порядка ниже.

Арифметика [ править ]

Аксиомы Пеано могут быть увеличены с операциями добавления и умножения и обычного общий (линейный) упорядочения на N . Соответствующие функции и отношения построены в теории множеств или логике второго порядка , и их уникальность можно показать с помощью аксиом Пеано.

Дополнение [ править ]

Сложение - это функция, которая отображает два натуральных числа (два элемента N ) в другое. Рекурсивно он определяется как:

{\ displaystyle {\ begin {align} a + 0 & = a, & {\ textrm {(1)}} \\ a + S (b) & = S (a + b). & {\ textrm {(2) }} \ end {выровнены}}}

Например:

{\begin{aligned}a+1&=a+S(0)&{\mbox{by definition}}\\&=S(a+0)&{\mbox{using (2)}}\\&=S(a),&{\mbox{using (1)}}\\\\a+2&=a+S(1)&{\mbox{by definition}}\\&=S(a+1)&{\mbox{using (2)}}\\&=S(S(a))&{\mbox{using }}a+1=S(a)\\\\a+3&=a+S(2)&{\mbox{by definition}}\\&=S(a+2)&{\mbox{using (2)}}\\&=S(S(S(a)))&{\mbox{using }}a+2=S(S(a))\\{\text{etc.}}&\\\end{aligned}}

Структура ( Н +) является коммутативным моноидом с единицей 0. ( N , +) также является сократимой магма , и , таким образом , встраиваемая в группе . Наименьшее групповое вложение N - это целые числа .

Умножение [ править ]

Точно так же умножение - это функция, отображающая два натуральных числа в другое. С учетом сложения он рекурсивно определяется как:

{\begin{aligned}a\cdot 0&=0,\\a\cdot S(b)&=a+(a\cdot b).\end{aligned}}

Легко видеть, что (или «1» на знакомом языке десятичного представления ) - это мультипликативное правое тождество : $S(0)$

a\cdot S(0)=a+(a\cdot 0)=a+0=a

Чтобы показать, что это также мультипликативное левое тождество, требуется аксиома индукции из-за способа определения умножения: $S(0)$

$S(0)$ является левой единицей 0: . $S(0)\cdot 0=0$
Если это левая личность (то есть ), то также левая Идентичность : . $S(0)$ $a$ $S(0)\cdot a=a$ $S(0)$ $S(a)$ $S(0)\cdot S(a)=S(0)+S(0)\cdot a=S(0)+a=a+S(0)=S(a+0)=S(a)$

Следовательно, по аксиоме индукции это мультипликативная левая единица всех натуральных чисел. Более того, можно показать, что умножение коммутативно и распределяет по сложению: $S(0)$

a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)

.

Таким образом, - коммутативное полукольцо . $(\mathbb {N} ,+,0,\cdot ,S(0))$

Неравенства [ править ]

Обычное отношение общего порядка ≤ натуральных чисел может быть определено следующим образом, предполагая, что 0 - натуральное число:

Для всех a , b ∈ N , a ≤ b тогда и только тогда, когда существует некоторый c ∈ N такой, что a + c = b .

Это отношение устойчиво относительно сложения и умножения: если a ≤ b , то: $a,b,c\in \mathbf {N}$

a + c ≤ b + c и
a · c ≤ b · c .

Таким образом, структура ( N , +, ·, 1, 0, ≤) является упорядоченным полукольцом ; поскольку между 0 и 1 нет натурального числа, это дискретное упорядоченное полукольцо.

Аксиома индукции иногда формулируется в следующей форме, в которой используется более сильная гипотеза, использующая отношение порядка «≤»:

Для любого предиката φ , если

φ (0) верно, и
для любых n , k ∈ N , если из k ≤ n следует, что φ ( k ) истинно, то φ ( S ( n )) истинно,

то для любого п ∈ N , φ ( п ) верно.

Эта форма аксиомы индукции, называемая сильной индукцией , является следствием стандартной формулировки, но часто лучше подходит для рассуждений о порядке ≤. Например, чтобы показать , что натуралы являются вполне упорядоченным -Каждая непустое подмножество из N имеет наименьший элемент -он может рассуждать следующим образом . Пусть дано непустое X ⊆ N и пусть X не имеет наименьшего элемента.

Поскольку 0 является наименьшим элементом N , оно должно быть , что 0 ∉ х .
Для любого п ∈ N , предположим , что для каждого к ≤ п , к ∉ х . Тогда S ( п ) ∉ X , ибо в противном случае было бы наименьший элемент X .

Таким образом, за счет сильного принципа индукции, для каждого п ∈ N , п ∉ X . Таким образом, X ∩ N = ∅ , что противоречит X будучи непустое подмножество N . Таким образом, X имеет наименьший элемент.

Теория арифметики первого порядка [ править ]

Все аксиомы Пеано, кроме девятой аксиомы (аксиомы индукции), являются утверждениями в логике первого порядка . ^[7] Арифметические операции сложения и умножения и отношения порядка также могут быть определены с использованием аксиом первого порядка. Аксиома индукции относится ко второму порядку , поскольку она дает количественную оценку по предикатам (то есть наборам натуральных чисел, а не натуральным числам), но ее можно преобразовать в схему аксиом индукции первого порядка . Такая схема включает одну аксиому на каждый предикат, определяемый в языке арифметики Пеано первого порядка, что делает ее более слабой, чем аксиома второго порядка. ^[8]Причина того, что он слабее, состоит в том, что количество предикатов в языке первого порядка исчисляемо, тогда как количество наборов натуральных чисел неисчислимо. Таким образом, существуют множества, которые нельзя описать на языке первого порядка (фактически, большинство множеств обладают этим свойством).

У аксиоматизаций первого порядка арифметики Пеано есть еще одно техническое ограничение. В логике второго порядка можно определить операции сложения и умножения из последующей операции , но это невозможно сделать в более строгих настройках логики первого порядка. Следовательно, операции сложения и умножения непосредственно включены в сигнатуру арифметики Пеано, и включены аксиомы, которые связывают эти три операции друг с другом.

Для этой цели достаточно следующего списка аксиом (вместе с обычными аксиомами равенства), который содержит шесть из семи аксиом арифметики Робинсона : ^[9]

$\forall x\ (0\neq S(x))$
$\forall x,y\ (S(x)=S(y)\Rightarrow x=y)$
$\forall x\ (x+0=x)$
$\forall x,y\ (x+S(y)=S(x+y))$
$\forall x\ (x\cdot 0=0)$
$\forall x,y\ (x\cdot S(y)=x\cdot y+x)$

В дополнение к этому списку числовых аксиом арифметика Пеано содержит схему индукции, которая состоит из рекурсивно перечислимого набора аксиом . Для каждой формулы φ ( x , y ₁ , ..., y _k ) на языке арифметики Пеано аксиомой индукции первого порядка для φ является предложение

\forall {\bar {y}}((\varphi (0,{\bar {y}})\land \forall x(\varphi (x,{\bar {y}})\Rightarrow \varphi (S(x),{\bar {y}})))\Rightarrow \forall x\varphi (x,{\bar {y}}))

где - сокращение для y ₁ , ..., y _k . Схема индукции первого порядка включает в себя каждый экземпляр аксиомы индукции первого порядка, то есть включает аксиому индукции для каждой формулы φ . ${\bar {y}}$

Эквивалентные аксиоматизации [ править ]

Существует множество различных, но эквивалентных аксиоматизаций арифметики Пеано. В то время как некоторые аксиоматизации, такие как только что описанная, используют сигнатуру, которая содержит символы только для 0 и операций преемника, сложения и умножения, другие аксиоматизации используют язык упорядоченных полуколец , включая дополнительный символ отношения порядка. Одна такая аксиоматизация начинается со следующих аксиом, описывающих дискретное упорядоченное полукольцо. ^[10]

$\forall x,y,z\ ((x+y)+z=x+(y+z))$ , т. е. сложение ассоциативно .
$\forall x,y\ (x+y=y+x)$ , т. е. сложение коммутативно .
$\forall x,y,z\ ((x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z))$ , т. е. умножение ассоциативно.
$\forall x,y\ (x\cdot y=y\cdot x)$ , т. е. умножение коммутативно.
$\forall x,y,z\ (x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z))$ , т. е. умножение распределяется по сложению.
$\forall x\ (x+0=x\land x\cdot 0=0)$ , т.е. ноль - это тождество для сложения и поглощающий элемент для умножения (фактически лишний ^{[примечание 1]} ).
$\forall x\ (x\cdot 1=x)$ , т. е. единица является единицей для умножения.
$\forall x,y,z\ (x<y\land y<z\Rightarrow x<z)$ , т. е. оператор «<» транзитивен .
$\forall x\ (\neg (x<x))$ , т. е. оператор '<' иррефлексивен .
$\forall x,y\ (x<y\lor x=y\lor y<x)$ , т. е. порядок удовлетворяет трихотомии .
$\forall x,y,z\ (x<y\Rightarrow x+z<y+z)$ , т.е. порядок сохраняется при добавлении того же элемента.
$\forall x,y,z\ (0<z\land x<y\Rightarrow x\cdot z<y\cdot z)$ , т.е. порядок сохраняется при умножении на один и тот же положительный элемент.
$\forall x,y\ (x<y\Rightarrow \exists z\ (x+z=y))$ , т.е. для любых двух различных элементов, чем больше, тем меньше плюс еще один элемент.
$0<1\land \forall x\ (x>0\Rightarrow x\geq 1)$ , т.е. ноль и единица различны, и между ними нет элемента. Другими словами, 0 покрывается 1, что говорит о дискретности натуральных чисел.
$\forall x\ (x\geq 0)$ , т.е. ноль - это минимальный элемент.

Теория, определяемая этими аксиомами, известна как РА ^- ; теория PA получается добавлением схемы индукции первого порядка. Важное свойство PA ^- это то, что любая структура, удовлетворяющая этой теории, имеет начальный сегмент (упорядоченный по ), изоморфный . Элементы в этом сегменте называются стандартными элементами, а другие элементы - нестандартными . $M$ $\leq$ $\mathbf {N}$

Модели [ править ]

Модель аксиом Пеано является тройной ( N , 0, S ) , где N является (необязательно бесконечное) множество, 0 ∈ N и S : N → N удовлетворяет аксиомам выше. Дедекинд доказал в своей книге 1888 года «Природа и значение чисел» ( нем . Was sind und was sollen die Zahlen?, Т. Е. «Что такое числа и для чего они нужны?»), Что любые две модели аксиом Пеано ( включая аксиому индукции второго порядка) изоморфны . В частности, учитывая две модели (N _A , 0 _A , S _A ) и ( N _B , 0 _B , S _B ) аксиом Пеано существует единственный гомоморфизм f : N _A → N _B, удовлетворяющий

{\begin{aligned}f(0_{A})&=0_{B}\\f(S_{A}(n))&=S_{B}(f(n))\end{aligned}}

и это биекция . Это означает, что аксиомы Пеано второго порядка категоричны . Однако это не относится к любой переформулировке аксиом Пеано первого порядка.

Теоретико-множественные модели [ править ]

Аксиомы Пеано могут быть получены из теоретико-множественных построений натуральных чисел и аксиом теории множеств, такой как ZF . ^[11] Стандартная конструкция натуральных чисел, разработанная Джоном фон Нейманом , начинается с определения 0 как пустого множества, ∅, и оператора s на множествах, определенных как:

s(a)=a\cup \{a\}

Множество натуральных чисел N определяется как пересечение всех замкнутых под s множеств , содержащих пустое множество. Каждое натуральное число равно (как набор) множеству натуральных чисел, меньших его:

{\begin{aligned}0&=\emptyset \\1&=s(0)=s(\emptyset )=\emptyset \cup \{\emptyset \}=\{\emptyset \}=\{0\}\\2&=s(1)=s(\{0\})=\{0\}\cup \{\{0\}\}=\{0,\{0\}\}=\{0,1\}\\3&=s(2)=s(\{0,1\})=\{0,1\}\cup \{\{0,1\}\}=\{0,1,\{0,1\}\}=\{0,1,2\}\end{aligned}}

и так далее. Множество N вместе с 0 и функцией-последователем s : N → N удовлетворяет аксиомам Пеано.

Арифметика Пеано равнозначна нескольким слабым системам теории множеств. ^[12] Одной из таких систем является ZFC, в которой аксиома бесконечности заменена ее отрицанием. Другая такая система состоит из общей теории множеств ( экстенсиональность , существование пустого множества и аксиома присоединения ), дополненной схемой аксиом, утверждающей, что свойство, которое имеет место для пустого множества и имеет место присоединения всякий раз, когда оно имеет место для присоединения должен выполняться для всех наборов.

Интерпретация в теории категорий [ править ]

Аксиомы Пеано также можно понять с помощью теории категорий . Пусть C - категория с конечным объектом 1 _C , и определим категорию отмеченных унарных систем US ₁ ( C ) следующим образом:

Объектами US ₁ ( C ) являются тройки ( X , 0 _X , S _X ), где X - объект C , а 0 _X : 1 _C → X и S _X : X → X - C -морфизмы.
Морфизм φ : ( X , 0 _X , S _X ) → ( Y , 0 _Y , S _Y ) - это C -морфизм φ : X → Y с φ 0 _X = 0 _Y и φ S _X = S _Y φ .

Тогда говорят, что C удовлетворяет аксиомам Дедекинда – Пеано, если US ₁ ( C ) имеет начальный объект; Этот исходный объект известен как природный объект числа в C . Если ( N , 0, S ) - это исходный объект, а ( X , 0 _X , S _X ) - любой другой объект, то уникальное отображение u : ( N , 0, S ) → ( X , 0 _X , S _X ) таково, что

{\begin{aligned}u(0)&=0_{X},\\u(Sx)&=S_{X}(ux).\end{aligned}}

Это точно рекурсивное определение 0 _X и S _X .

Нестандартные модели [ править ]

Хотя обычные натуральные числа удовлетворяют аксиомам PA , существуют и другие модели (называемые « нестандартными моделями »); из теоремы компактности следует, что существование нестандартных элементов не может быть исключено в логике первого порядка. ^[13] В восходящих Löwenheim-сколемовская теорема показывает , что существует нестандартные модели PA все бесконечных мощностей. Это не так для исходных (второго порядка) аксиом Пеано, которые имеют только одну модель, с точностью до изоморфизма. ^[14] Это иллюстрирует один из способов, которым система PA первого порядка слабее, чем аксиомы Пеано второго порядка.

При интерпретации как доказательство в рамках теории множеств первого порядка , такой как ZFC , доказательство категоричности Дедекинда для PA показывает, что каждая модель теории множеств имеет уникальную модель аксиом Пеано, с точностью до изоморфизма, которая встраивается как начальный сегмент всех другие модели PA, содержащиеся в этой модели теории множеств. В стандартной модели теории множеств эта наименьшая модель PA является стандартной моделью PA; однако в нестандартной модели теории множеств это может быть нестандартная модель PA. Этой ситуации нельзя избежать с помощью формализации теории множеств первого порядка.

Естественно спросить, можно ли явно построить счетную нестандартную модель. Ответ утвердительный, поскольку Сколем в 1933 году дал явное построение такой нестандартной модели . С другой стороны, теорема Тенненбаума , доказанная в 1959 году, показывает, что не существует счетной нестандартной модели PA, в которой вычислима операция сложения или умножения . ^[15] Этот результат показывает, что трудно быть полностью явным при описании операций сложения и умножения счетной нестандартной модели PA. Возможен только один вид заказа счетной нестандартной модели. Положив ω- порядковый тип натуральных чисел, ζ - порядковый тип целых чисел, η - порядковый тип рациональных чисел, порядковый тип любой счетной нестандартной модели PA - это ω + ζ · η , что можно представить как копия натуральных чисел с последующим плотным линейным порядком копий целых чисел.

Переполнение [ править ]

Разрез в нестандартной модели М представляет собой непустое подмножество С из М так , что С является закрытым вниз ( х < у и у ∈ C ⇒ х ∈ С ) и С замкнуто относительно преемника. Собственно разрез является разрезом , который является подмножеством M. Каждая нестандартная модель имеет множество правильных разрезов, в том числе и тот, который соответствует стандартным натуральным числам. Однако индукционная схема в арифметике Пеано не позволяет определить правильный разрез. Лемма о переполнении, впервые доказанная Абрахамом Робинсоном, формализует этот факт.

Сверхпролитие лемма ^[16] Пусть M будет нестандартная модель PA и пусть C будет правильный крой M . Предположим, что это набор элементов из M и формула на языке арифметики, так что

{\bar {a}}

\phi (x,{\bar {a}})

M\vDash \phi (b,{\bar {a}})

для всех б ∈ C .

Тогда существует c в M, который больше любого элемента C, такого что

M\vDash \phi (c,{\bar {a}}).

Последовательность [ править ]

Когда аксиомы Пеано были впервые предложены, Бертран Рассел и другие согласились с тем, что эти аксиомы неявно определяют то, что мы подразумеваем под «натуральным числом». ^[17] Анри Пуанкаре был более осторожен, говоря, что они определяют натуральные числа только в том случае, если они непротиворечивы ; если есть доказательство, которое начинается именно с этих аксиом и выводит противоречие, например, 0 = 1, то аксиомы несовместимы и ничего не определяют. ^[18] В 1900 году Дэвид Гильберт поставил задачу доказательства их непротиворечивости, используя только финитистические методы, в качестве второй из своих двадцати трех проблем . ^[19] В 1931 году Курт Гёдельдоказал свою вторую теорему о неполноте , которая показывает, что такое доказательство непротиворечивости не может быть формализовано в рамках самой арифметики Пеано. ^[20]

Хотя широко утверждается, что теорема Гёделя исключает возможность конечного доказательства непротиворечивости арифметики Пеано, это зависит от того, что именно подразумевается под конечным доказательством. Сам Гёдель указал на возможность предоставления финитистического доказательства непротиворечивости арифметики Пеано или более сильных систем с помощью финитистических методов, которые не формализуемы в арифметике Пеано, и в 1958 году Гёдель опубликовал метод доказательства непротиворечивости арифметики с использованием теории типов . ^[21] В 1936 году Герхард Генцен дал доказательство непротиворечивости аксиом Пеано, используя трансфинитную индукцию до порядкового номера, называемого ε 0 . ^[22]Генцен пояснил: «Цель данной статьи - доказать непротиворечивость элементарной теории чисел или, скорее, свести вопрос о непротиворечивости к определенным фундаментальным принципам». Доказательство Генцена, возможно, является конечным, поскольку трансфинитный ординал ε ₀ может быть закодирован в терминах конечных объектов (например, как машина Тьюринга, описывающая подходящий порядок целых чисел, или, более абстрактно, как состоящая из конечных деревьев , соответственно линейно упорядоченных) . Неясно, соответствует ли доказательство Генцена требованиям, предусмотренным Гильбертом: не существует общепринятого определения того, что именно подразумевается под конечным доказательством, а сам Гильберт никогда не давал точного определения.

Подавляющее большинство современных математиков полагают, что аксиомы Пеано непротиворечивы, полагаясь либо на интуицию, либо на принятие доказательства непротиворечивости, такого как доказательство Генцена . Небольшое количество философов и математиков, некоторые из которых также выступают за ультрафинитизм , отвергают аксиомы Пеано, потому что принятие аксиом равносильно принятию бесконечного набора натуральных чисел. В частности, добавление ( в том числе функции последования) и умножения предполагаются всего . Любопытно, что существуют самопроверяющиеся теории.которые похожи на PA, но имеют вычитание и деление вместо сложения и умножения, которые аксиоматизированы таким образом, чтобы избежать доказательства предложений, которые соответствуют совокупности сложения и умножения, но которые по-прежнему способны доказать все истинные теоремы PA, и все же может быть расширена до непротиворечивой теории, которая доказывает свою непротиворечивость (заявленную как несуществование гильбертовского доказательства «0 = 1»). ^[23] $\Pi _{1}$

См. Также [ править ]

Основы математики
Теорема Фреге
Теорема Гудштейна
Неологицизм
Нестандартная модель арифметики
Теорема Пэрис – Харрингтона
Пресбургерская арифметика
Арифметика Робинсона
Арифметика второго порядка
Теория типографских чисел

Заметки [ править ]

^ "" можно доказать из других аксиом (в логике первого порядка) следующим образом. Во-первых,распределенностью и аддитивной идентичностью. Во-вторых,по аксиоме 15. Если,тодобавлением того же элемента и коммутативностью, а значит,и подстановкой, противоречит иррефлексивности. Следовательно, так и должно быть. $\forall x\ (x\cdot 0=0)$ $x\cdot 0+x\cdot 0=x\cdot (0+0)=x\cdot 0=x\cdot 0+0$ $x\cdot 0=0\lor x\cdot 0>0$ $x\cdot 0>0$ $x\cdot 0+x\cdot 0>x\cdot 0+0$ $x\cdot 0+0>x\cdot 0+0$ $x\cdot 0=0$

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

^ Грассманн 1861 .
↑ Пирс 1881 , Шилдс 1997
^ Хейенорт 1967 , стр. 94.
^ Хейенорт 1967 , стр. 2.
^ a b van Heijenoort 1967 , стр. 83.
Перейти ↑ Peano 1889 , p. 1.
^ Парти, Ter Meulen & Wall 2012 , стр. 215.
^ Harsanyi (1983) .
Перейти ↑ Mendelson 1997 , p. 155.
Перейти ↑ Kaye 1991 , pp. 16–18.
^ Suppes 1960 , Хэтчер 2014
^ Тарский & Givant 1987 , раздел 7.6.
^ Гермес 1973 , VI.4.3, представляя теорему Торальфа Сколема
^ Гермес 1973 , VI.3.1.
Перейти ↑ Kaye 1991 , Раздел 11.3.
^ Kaye 1991 , стр. 70ff ..
Перейти ↑ Fritz 1952 , p. 137
Иллюстрацией «интерпретации» является собственное определение Расселом «количественного числа». Неинтерпретируемая система в данном случае - это аксиомы Пеано для системы счисления, трех примитивных идей и пяти аксиом которых, по мнению Пеано, было достаточно, чтобы можно было вывести все свойства системы натуральных чисел. На самом деле, утверждает Рассел, аксиомы Пеано определяют любую прогрессию формы,одним экземпляром которой является ряд натуральных чисел. $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots$
Перейти ↑ Gray 2013 , p. 133
Итак, Пуанкаре обратился к вопросу, может ли логицизм порождать арифметику, точнее, арифметику ординалов. Кутюра, сказал Пуанкаре, принял аксиомы Пеано как определение числа. Но этого не пойдет. Невозможно доказать, что аксиомы свободны от противоречий, найдя их примеры, и любая попытка показать, что они свободны от противоречий, исследуя совокупность их импликаций, потребует самого принципа математической индукции, который, по мнению Кутюра, они подразумевали. Ибо (в следующем отрывке, опущенном из S&M) любой из них принимал принцип, чтобы доказать его, что доказывало бы только то, что если оно истинно, оно не противоречит самому себе, что ничего не говорит; или кто-то использовал принцип в форме, отличной от указанной, и в этом случае нужно показать, что количество шагов в одном 'рассуждение было целым числом в соответствии с новым определением, но это было невозможно (1905c, 834).
^ Гильберт 1902 .
Перейти ↑ Gödel 1931 .
^ Гёдель 1958
^ Генценовского 1936
^ Уиллард 2001 .

Источники [ править ]

Дэвис, Мартин (1974). Вычислимость. Записки Барри Джейкобса . Куранта Институт математических наук , Нью - Йоркский университет .
Дедекинд, Ричард (1888). Was sind und was sollen die Zahlen? [ Что такое и какими должны быть числа? ] (PDF) . Vieweg . Дата обращения 4 июля 2016 .
- Два английских перевода:
  - Беман, Вустер, Вудрафф (1901). Очерки теории чисел (PDF) . Дувр .
  - Эвальд, Уильям Б. (1996). От Канта до Гильберта: Справочник по основам математики . Издательство Оксфордского университета . С. 787–832. ISBN 9780198532712.
Фриц, Чарльз А. младший (1952). Конструирование внешнего мира Бертраном Расселом .
Генцен, Герхард (1936). Перепечатано в английском переводе в его Собрании сочинений 1969 г. , ME Szabo, ed. "Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie". Mathematische Annalen . 112 : 132–213. DOI : 10.1007 / bf01565428 . S2CID 122719892 .
Гёдель, Курт (1931). См. « Формально неразрешимые утверждения принципов математики и родственных систем» для получения подробной информации об английских переводах. "Суперформальные универсальные системы математики и вервандтерской системы, I" (PDF) . Monatshefte für Mathematik . 38 : 173–198. DOI : 10.1007 / bf01700692 . S2CID 197663120 . Архивировано из оригинального (PDF) на 2018-04-11 . Проверено 31 октября 2013 .
Гёдель, Курт (1958). Перепечатано в английском переводе в 1990 году. Собрание сочинений Гёделя , том II. Соломон Феферман и др., Ред. "Uber eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes" . Диалектика . Издательство Оксфордского университета . 12 (3–4): 280–287. DOI : 10.1111 / j.1746-8361.1958.tb01464.x .
Грассманн, Герман (1861). "Lehrbuch der Arithmetik" [Учебное пособие по арифметике] (PDF) . Enslin. Cite journal requires |journal= (help)
Грей, Джереми (2013). «Эссеист» . Анри Пуанкаре: научная биография . Издательство Принстонского университета . п. 133. ISBN. 978-0-691-15271-4.
Харшани, Джон К. (1983). «Математика, эмпирические факты и логическая необходимость». Эркеннтнисс . 19 : 167–192. DOI : 10.1007 / 978-94-015-7676-5_8 . ISBN 978-90-481-8389-0.
Хэтчер, Уильям С. (2014) [1982]. Логические основы математики . Эльзевир. ISBN 978-1-4831-8963-5.Выводит аксиомы Пеано (называемые S ) из нескольких аксиоматических теорий множеств и теории категорий .
Гермес, Ганс (1973). Введение в математическую логику . Hochschultext. Springer. ISBN 3540058192. ISSN 1431-4657 .
Гильберт, Дэвид (1902). Перевод Winton, Maby. "Mathematische Probleme" [Математические задачи]. Бюллетень Американского математического общества . 8 : 437–479. DOI : 10.1090 / s0002-9904-1902-00923-3 .
Кэй, Ричард (1991). Модели арифметики Пеано . Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-853213-X.
Ландау, Эдмунд (1965). Grundlagen Der Analysis . Выводит основные системы счисления из аксиом Пеано. Английский / немецкий словарь включен. AMS Chelsea Publishing . ISBN 978-0-8284-0141-8.
Мендельсон, Эллиотт (2009). Введение в математическую логику (5-е изд.). Тейлор и Фрэнсис. ISBN 9781584888765.
Парти, Барбара; Тер Мейлен, Алиса; Уолл, Роберт (2012). Математические методы в лингвистике . Springer. ISBN 978-94-009-2213-6.
Пирс, С.С. (1881). «О логике числа» . Американский журнал математики . 4 (1): 85–95. DOI : 10.2307 / 2369151 . JSTOR 2369151 . Руководство по ремонту 1507856 .
Шилдс, Пол (1997). «3. Аксиоматизация арифметики Пирса» . В Хаузере, Натан; Робертс, Дон Д .; Ван Эвра, Джеймс (ред.). Исследования логики Чарльза Сандерса Пирса . Издательство Индианского университета. С. 43–52. ISBN 0-253-33020-3.
Суппес, Патрик (1960). Аксиоматическая теория множеств . Дувр . ISBN 0-486-61630-4.Выводит аксиомы Пеано из ZFC
Тарский, Альфред ; Гивант, Стивен (1987). Формализация теории множеств без переменных . Публикации коллоквиума AMS. 41 . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-1041-5.
ван Хейеноорт, Жан (1967). От Фреге до Геделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета. ISBN 9780674324497.
- Содержит переводы следующих двух статей с ценными комментариями:
  - Дедекинд, Ричард (1890). Письмо Кеферштейну . На стр. 100, он повторно формулирует и защищает свои аксиомы 1888 г., стр. 98–103.
  - Пеано, Джузеппе (1889). Arithmetices Principia, Нова methodo exposita [ Принципы арифметики, представленные с помощью нового метода ]. Отрывок из трактата, в котором Пеано впервые представил свои аксиомы и рекурсивно определенные арифметические операции. С. 83–97.
Уиллард, Дэн Э. (2001). «Самопроверяющиеся системы аксиом, теорема о неполноте и соответствующие принципы отражения» (PDF) . Журнал символической логики . 66 (2): 536–596. DOI : 10.2307 / 2695030 . JSTOR 2695030 . Руководство по ремонту 1833464 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Раймонд М. Смуллян (19 сентября 2013 г.). Книга-головоломка Годеля: головоломки, парадоксы и доказательства . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-49705-1.

Внешние ссылки [ править ]

Мурзи, Мауро. «Анри Пуанкаре» . Интернет-энциклопедия философии . Включает обсуждение критики Пуанкаре аксиом Пеано.
Подниекс, Карлис (25.01.2015). «3. Арифметика первого порядка». Что такое математика: теорема Гёделя и около нее . С. 93–121.
"Аксиомы Пеано" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Аксиомы Пеано» . MathWorld .
Беррис, Стэнли Н. (2001). «Что такое числа и в чем их смысл ?: Дедекинд» . Комментарий к творчеству Дедекинда.

В эту статью включены материалы PA по PlanetMath , которые находятся под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

[11] "" можно доказать из других аксиом (в логике первого порядка) следующим образом. Во-первых,распределенностью и аддитивной идентичностью. Во-вторых,по аксиоме 15. Если,тодобавлением того же элемента и коммутативностью, а значит,и подстановкой, противоречит иррефлексивности. Следовательно, так и должно быть. $\forall x\ (x\cdot 0=0)$ $x\cdot 0+x\cdot 0=x\cdot (0+0)=x\cdot 0=x\cdot 0+0$ $x\cdot 0=0\lor x\cdot 0>0$ $x\cdot 0>0$ $x\cdot 0+x\cdot 0>x\cdot 0+0$ $x\cdot 0+0>x\cdot 0+0$ $x\cdot 0=0$

[FOOTNOTEGrassmann1861-1] Грассманн 1861 .

[2] Пирс 1881 , Шилдс 1997

[FOOTNOTEvan_Heijenoort196794-3] Хейенорт 1967 , стр. 94.

[FOOTNOTEvan_Heijenoort19672-4] Хейенорт 1967 , стр. 2.

[FOOTNOTEvan_Heijenoort196783-5] van Heijenoort 1967 , стр. 83.

[FOOTNOTEPeano18891-6] Перейти ↑ Peano 1889 , p. 1.

[FOOTNOTEParteeTer_MeulenWall2012215-7] Парти, Ter Meulen & Wall 2012 , стр. 215.

[FOOTNOTEHarsanyi1983-8] Harsanyi (1983) .

[FOOTNOTEMendelson1997155-9] Перейти ↑ Mendelson 1997 , p. 155.

[FOOTNOTEKaye199116–18-10] Перейти ↑ Kaye 1991 , pp. 16–18.

[12] Suppes 1960 , Хэтчер 2014

[FOOTNOTETarskiGivant1987Section_7.6-13] Тарский & Givant 1987 , раздел 7.6.

[FOOTNOTEHermes1973VI.4.3-14] Гермес 1973 , VI.4.3, представляя теорему Торальфа Сколема

[FOOTNOTEHermes1973VI.3.1-15] Гермес 1973 , VI.3.1.

[FOOTNOTEKaye1991Section_11.3-16] Перейти ↑ Kaye 1991 , Раздел 11.3.

[FOOTNOTEKaye199170ff.-17] Kaye 1991 , стр. 70ff ..

[18] Перейти ↑ Fritz 1952 , p. 137
Иллюстрацией «интерпретации» является собственное определение Расселом «количественного числа». Неинтерпретируемая система в данном случае - это аксиомы Пеано для системы счисления, трех примитивных идей и пяти аксиом которых, по мнению Пеано, было достаточно, чтобы можно было вывести все свойства системы натуральных чисел. На самом деле, утверждает Рассел, аксиомы Пеано определяют любую прогрессию формы,одним экземпляром которой является ряд натуральных чисел. $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots$

[19] Перейти ↑ Gray 2013 , p. 133
Итак, Пуанкаре обратился к вопросу, может ли логицизм порождать арифметику, точнее, арифметику ординалов. Кутюра, сказал Пуанкаре, принял аксиомы Пеано как определение числа. Но этого не пойдет. Невозможно доказать, что аксиомы свободны от противоречий, найдя их примеры, и любая попытка показать, что они свободны от противоречий, исследуя совокупность их импликаций, потребует самого принципа математической индукции, который, по мнению Кутюра, они подразумевали. Ибо (в следующем отрывке, опущенном из S&M) любой из них принимал принцип, чтобы доказать его, что доказывало бы только то, что если оно истинно, оно не противоречит самому себе, что ничего не говорит; или кто-то использовал принцип в форме, отличной от указанной, и в этом случае нужно показать, что количество шагов в одном 'рассуждение было целым числом в соответствии с новым определением, но это было невозможно (1905c, 834).

[FOOTNOTEHilbert1902-20] Гильберт 1902 .

[FOOTNOTEGödel1931-21] Перейти ↑ Gödel 1931 .

[22] Гёдель 1958

[23] Генценовского 1936

[FOOTNOTEWillard2001-24] Уиллард 2001 .

[1]