Схема аксиомы

В математической логике , схема аксиом ( во множественном числе: аксиома схема или аксиома схема ) обобщает понятие аксиомы .

Формальное определение [ править ]

Аксиома схема является формулой в метаязыку из в аксиоматической системе , в которой один или более схематичных переменных появляются. Эти переменные, которые являются металингвистическими конструкциями, обозначают любой термин или подформулу системы, которые могут или не могут быть обязательными для удовлетворения определенных условий. Часто такие условия требуют, чтобы определенные переменные были свободными или чтобы определенные переменные не появлялись в подформуле или термине ^{[ необходима ссылка ]} .

Конечная аксиоматизация [ править ]

Учитывая, что количество возможных подформул или терминов, которые могут быть вставлены вместо схематической переменной, бесконечно счетно , схема аксиом обозначает счетно бесконечный набор аксиом. Этот набор обычно можно определить рекурсивно . Теория, которая может быть аксиоматизирована без схем, называется конечно аксиоматизированной . Теории, которые могут быть окончательно аксиоматизированы, считаются немного более метаматематически элегантными, даже если они менее практичны для дедуктивной работы. ^{[ необходима цитата ]}

Примеры [ править ]

Два хорошо известных примера схем аксиом:

• схема индукции, которая является частью аксиом Пеано для арифметики натуральных чисел ;
• схема аксиом замены, которая является частью стандартной аксиоматизации ZFC теории множеств .

Чеслав Рылль-Нардзевский доказал, что арифметика Пеано не может быть конечно аксиоматизирована, а Ричард Монтегю доказал, что ZFC не может быть конечно аксиоматизирована. ^[1] Следовательно, схемы аксиом не могут быть исключены из этих теорий. То же самое и со многими другими аксиоматическими теориями в математике, философии, лингвистике и т. Д.

Конечно аксиоматизированные теории [ править ]

Все теоремы ZFC также являются теоремами теории множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя , но последняя может быть конечно аксиоматизирована. Теория множеств New Foundations может быть окончательно аксиоматизирована, но только с некоторой потерей элегантности.

В логике высшего порядка [ править ]

Схематические переменные в логике первого порядка обычно тривиально устранимы в логике второго порядка , потому что схематическая переменная часто является заполнителем для любого свойства или отношения отдельных лиц теории. Это относится к схемам индукции и замены, упомянутым выше. Логика более высокого порядка позволяет количественным переменным варьироваться по всем возможным свойствам или отношениям.

См. Также [ править ]

• Схема аксиом предикативного разделения
• Схема аксиомы замены
• Схема аксиомы спецификации

Заметки [ править ]

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Ссылки [ править ]

• Коркоран, Джон (2006), «Схема: концепция схемы в истории логики», Бюллетень символической логики , 12 : 219–240.
• Коркоран, Джон (2016). «Схема» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Мендельсон, Эллиотт (1997), Введение в математическую логику (4-е изд.), Chapman & Hall, ISBN 0-412-80830-7.
• Монтегю, Ричард (1961), «Семантическое замыкание и нефинитная аксиоматизируемость I», в Сэмюэле Р. Бассе (ред.), Инфинитистические методы: материалы симпозиума по основам математики , Pergamon Press, стр. 45–69.
• Поттер, Майкл (2004), теория множеств и ее философия , Oxford University Press, ISBN 9780199269730.
• Рыль-Нардзевский, Чеслав (1952), «Роль аксиомы индукции в элементарной арифметике» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 39 : 239–263.