Теория множеств Цермело – Френкеля.

В теории множеств , теории множеств Цермело-Френкеля , названный в честь математиков Цермело и Abraham Френкеля , является аксиомой система , которая была предложена в начале двадцатого века для того , чтобы сформулировать теорию множеств свободно парадоксов , таких как парадокс Рассела . Сегодня теория множеств Цермело – Френкеля с включенной исторически противоречивой аксиомой выбора (AC) является стандартной формой аксиоматической теории множеств и как таковая является наиболее распространенным основанием математики . Теория множеств Цермело – Френкеля с включенной аксиомой выбора обозначается аббревиатурой ZFC., где C означает «выбор», ^[1] и ZF относится к аксиомам теории множеств Цермело – Френкеля с исключенной аксиомой выбора.

Теория множеств Цермело – Френкеля предназначена для формализации единственного примитивного понятия, которое является наследственным хорошо обоснованным множеством , так что все сущности во вселенной дискурса являются такими множествами. Таким образом, аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля относятся только к чистым множествам и не позволяют ее моделям содержать урэлементы (элементы множеств, которые сами не являются множествами). Кроме того, правильные классы (коллекции математических объектовопределяется свойством, совместно используемым их членами, если коллекции слишком велики, чтобы их можно было установить), могут обрабатываться только косвенно. В частности, теория множеств Цермело – Френкеля не допускает ни существования универсального множества (множества, содержащего все множества), ни неограниченного понимания , тем самым избегая парадокса Рассела. Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG) является широко используемым консервативным расширением теории множеств Цермело – Френкеля, которое позволяет явно рассматривать собственные классы.

Существует множество эквивалентных формулировок аксиом теории множеств Цермело – Френкеля. Большинство аксиом заявляют о существовании определенных наборов, определенных из других наборов. Так , например, аксиома спаривания говорит , что с учетом любых двух наборов и есть новый набор , содержащий ровно и . Другие аксиомы описывают свойства принадлежности к множеству. Цель аксиом состоит в том, что каждая аксиома должна быть истинной, если ее интерпретировать как утверждение о совокупности всех множеств во вселенной фон Неймана (также известной как кумулятивная иерархия). Формально ZFC - это односортированная теория в логике первого порядка . Подпись имеет равенство и единственный примитив${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle \ {а, б \}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$бинарное отношение , набор членства , которое обычно обозначают . В формуле означает , что множество является членом набора (который также читать, « является элемент » или « в »).${\ displaystyle \ in}$ ${\ displaystyle a \ in b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

В метаматематика теории множеств Цермело-Френкеля была тщательно изучена. Знаменательные результаты в этой области установили логическую независимость аксиомы выбора от остальных аксиом Цермело-Френкеля (см. Аксиома выбора § Независимость ) и от гипотезы континуума от ZFC. Консистенция из теории, как ZFC не может быть доказано в рамках самой теории, как показано на второй теоремы Гёделя о неполноте .

История [ править ]

Современное изучение теории множеств было начато Георгом Кантором и Ричардом Дедекиндом в 1870-х годах. Однако открытие парадоксов в наивной теории множеств , таких как парадокс Рассела , привело к стремлению к более строгой форме теории множеств, которая была бы свободна от этих парадоксов.

В 1908 году Цермело предложил первую аксиоматику теории множеств , Zermelo теории множеств . Однако, как впервые указал Абрахам Френкель в письме Цермело от 1921 года, эта теория была неспособна доказать существование определенных множеств и кардинальных чисел , существование которых считалось само собой разумеющимся большинством теоретиков множеств того времени, особенно кардинального числа и set, где - любое бесконечное множество, а - операция набора мощности . ^[2] Более того, одна из аксиом Цермело ссылается на концепцию «определенного» свойства, операционный смысл которой не ясен. В 1922 году Френкель и Торальф Сколем${\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$${\ displaystyle \ {Z_ {0}, {\ mathcal {P}} (Z_ {0}), {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (Z_ {0})), {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (Z_ {0}))), ... \},}$${\ displaystyle Z_ {0}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$независимо предложили операционализировать «определенное» свойство как свойство, которое может быть сформулировано как хорошо сформированная формула в логике первого порядка , атомарные формулы которой были ограничены набором принадлежности и идентичности. Они также независимо друг от друга предложили заменить схему выделения с аксиомой схемой замещения . Добавление этой схемы, а также аксиомы регулярности (впервые предложенной Джоном фон Нейманом ) ^[3] к теории множеств Цермело дает теорию, обозначенную ZF . Добавление к ZF либо аксиомы выбора (AC), либо эквивалентного ей утверждения дает ZFC.

Аксиомы [ править ]

Есть много эквивалентных формулировок аксиом ZFC; обсуждение этого вопроса см. в Fraenkel, Bar-Hillel & Lévy 1973 . Следующий конкретный набор аксиом взят из Кунена (1980) . Сами по себе аксиомы выражены в символике логики первого порядка . Связанная с ним английская проза предназначена только для помощи интуиции.

Все формулировки ZFC подразумевают, что существует хотя бы один набор. Кунен включает аксиому, которая прямо утверждает существование множества, в дополнение к аксиомам, приведенным ниже (хотя он отмечает, что делает это только «для акцента»). ^[4] Его упущение здесь можно оправдать двумя способами. Во-первых, в стандартной семантике логики первого порядка, в которой обычно формализуется ZFC, область дискурса должна быть непустой. Следовательно, это логическая теорема логики первого порядка о том, что что-то существует - обычно выражается как утверждение, что что-то идентично самому себе,${\ Displaystyle \ существует х (х = х)}$. Следовательно, любая теория первого порядка утверждает, что что-то существует. Однако, как отмечалось выше, поскольку в предполагаемой семантике ZFC есть только множества, интерпретация этой логической теоремы в контексте ZFC заключается в том, что некоторый набор существует. Следовательно, нет необходимости в отдельной аксиоме, утверждающей, что множество существует. Во-вторых, однако, даже если ZFC сформулирован в так называемой свободной логике , в которой на основе одной лишь логики нельзя доказать существование чего-либо, аксиома бесконечности (ниже) утверждает, что существует бесконечное множество. Это означает , что множество существует и так, еще раз, это является излишним включать аксиому , утверждающую , как много.

1. Аксиома протяженности [ править ]

Два набора равны (являются одним и тем же набором), если они имеют одинаковые элементы.

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}$

Обратное к этой аксиоме следует из подстановочного свойства равенства . Если фоновая логика не включает равенство " ", может быть определено как сокращение для следующей формулы: ^[5]${\displaystyle =}$${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall w[x\in w\Leftrightarrow y\in w].}$

В этом случае аксиому протяженности можно переформулировать как

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall w(x\in w\Leftrightarrow y\in w)],}$

который говорит, что если и имеют одинаковые элементы, то они принадлежат одним и тем же множествам. ^[6]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

2. Аксиома регулярности (также называемая аксиомой основания) [ править ]

Каждый непустой набор содержит такой член , что и являются непересекающимися множествами .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].}$^[7]

или в современных обозначениях:${\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y\in x\,(y\cap x=\varnothing )).}$

Это (вместе с Аксиомой спаривания) подразумевает, например, что ни один набор не является элементом самого себя и что каждый набор имеет порядковый ранг .

3. Схема аксиомы спецификации (также называемая схемой аксиомы разделения или ограниченного понимания) [ править ]

Подмножества обычно создаются с использованием нотации построителя множеств . Например, четные целые числа могут быть построены как подмножество целых чисел, удовлетворяющих предикату сравнения по модулю :${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle x\equiv 0{\pmod {2}}}$

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} :x\equiv 0{\pmod {2}}\}.}$

В общем, подмножество набора, подчиняющееся формуле с одной свободной переменной, можно записать как:${\displaystyle z}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \{x\in z:\phi (x)\}.}$

Схема аксиом спецификации утверждает, что это подмножество существует всегда (это схема аксиом, потому что для каждой есть одна аксиома ). Формально, пусть будет любая формула на языке ZFC со всеми свободными переменными среди ( is not free in ). Затем:${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \forall z\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \phi )].}$

Обратите внимание, что схема аксиом спецификации может создавать только подмножества и не позволяет создавать сущности более общей формы:

${\displaystyle \{x:\phi (x)\}.}$

Это ограничение необходимо, чтобы избежать парадокса Рассела и его вариантов, которые сопровождают наивную теорию множеств неограниченным пониманием .

В некоторых других аксиоматизациях ZF эта аксиома избыточна в том смысле, что она следует из схемы аксиом замены и аксиомы пустого множества .

С другой стороны, аксиома спецификации может использоваться для доказательства существования пустого множества , обозначенного , если известно, что существует хотя бы один набор (см. Выше). Один из способов сделать это - использовать свойство, которого нет ни у одного набора. Например, если существует какой-либо существующий набор, пустой набор может быть построен как${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle w}$

${\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}.}$

Таким образом, аксиома пустого множества подразумевается девятью аксиомами, представленными здесь. Аксиома протяженности подразумевает, что пустое множество единственно (не зависит от ). Обычно делают дефиниционное расширение, которое добавляет символ " " к языку ZFC.${\displaystyle w}$${\displaystyle \varnothing }$

4. Аксиома спаривания [ править ]

Если и наборы, то существует набор , который содержит и в качестве элементов.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).}$

Схема аксиомы спецификации должна использоваться, чтобы свести это к набору с этими двумя элементами. Аксиома спаривания является частью Z, но избыточна в ZF, потому что она следует из схемы аксиом замены, если нам дан набор, по крайней мере, из двух элементов. Существование набора по крайней мере с двумя элементами гарантируется либо аксиомой бесконечности , либо схемой аксиом спецификации и аксиомой набора мощности, дважды примененной к любому набору.

5. Аксиома союза [ править ]

Объединение над элементами множества существует. Например, объединение по элементам множества равно${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\}\}}$${\displaystyle \{1,2,3\}.}$

Аксиома объединения утверждает, что для любого набора наборов существует набор, содержащий каждый элемент, который является членом некоторого члена :${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].}$

Хотя эта формула прямо не утверждает существование , набор может быть построен из приведенного выше, используя схему аксиомы спецификации:${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}:=\{x\in A:\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\}.}$

6. Схема аксиомы замены [ править ]

Схема аксиом замены утверждает, что образ множества при любой определяемой функции также попадет внутрь множества.

Формально, пусть будет любая формула на языке ZFC, свободные переменные которой входят в число , в частности , не являются свободными . Затем:${\displaystyle \phi }$${\displaystyle x,y,A,w_{1},\dotsc ,w_{n},}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\phi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \phi ){\bigr )}{\bigr ]}.}$

Значение см. В разделе « Количественная оценка уникальности» .${\displaystyle \exists !}$

Другими слова, если отношение представляет собой определимую функцию , представляет собой его домен , и представляет собой набор для каждого тогда диапазона от является подмножеством некоторого множества . Указанная здесь форма, которая может быть больше, чем это строго необходимо, иногда называется схемой аксиом сбора .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\in A,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

7. Аксиома бесконечности [ править ]

Позвольте аббревиатуре где находится некоторый набор. (Мы можем видеть, что это действительный набор, применяя аксиому спаривания с таким образом, чтобы набор был ). Тогда существует такой набор , в который входит пустой набор, и всякий раз, когда набор является членом, он также является членом .${\displaystyle S(w)}$${\displaystyle w\cup \{w\},}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \{w\}}$${\displaystyle x=y=w}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \{w\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S(y)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}$

Говоря проще, существует множество, имеющее бесконечно много членов. (Однако необходимо установить, что все эти элементы различны, потому что, если два элемента одинаковы, последовательность будет повторяться в конечном цикле множеств. Аксиома регулярности предотвращает это.) Минимальный набор, удовлетворяющий аксиомой бесконечности является ординал фон Неймана, который также можно рассматривать как набор натуральных чисел.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle \mathbb {N} .}$

8. Аксиома власти [ править ]

По определению набор является подмножеством набора тогда и только тогда, когда каждый элемент также является элементом :${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle (z\subseteq x)\Leftrightarrow (\forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)).}$

Аксиома Power Set гласит, что для любого набора существует набор, который содержит каждое подмножество :${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z[z\subseteq x\Rightarrow z\in y].}$

Схема аксиомы спецификации затем используется для определения набора мощности как подмножества такого, содержащего точно подмножества :${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle P(x)=\{z\in y:z\subseteq x\}.}$

Аксиомы 1–8 определяют ZF. Часто встречаются альтернативные формы этих аксиом, некоторые из которых перечислены в Jech (2003) . Некоторые аксиоматизации ZF включают аксиому, утверждающую, что пустое множество существует . Аксиомы спаривания, объединения, замены и набора мощности часто формулируются так, что члены набора , существование которого утверждается, являются как раз теми наборами, которые, как утверждает аксиома, должны содержать.${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Чтобы превратить ZF в ZFC, добавляется следующая аксиома:

9. Теорема о хорошем порядке [ править ]

Для любого набора существует бинарное отношение, которое хорошо упорядочивает . Это означает , что есть линейный порядок на таким образом, что каждое непустое подмножество из имеет элемент , который является минимальным под .${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X).}$

Учитывая аксиомы 1  -  8 , есть много заявлений доказуемо эквивалентно аксиоме 9 , самым известным из которых является аксиома (AC), который идет следующим образом . Позвольте быть набором, все члены которого непусты. Тогда существует функция от до объединения членов , называемая « функцией выбора », такая, что для всех есть . Поскольку существование функции выбора, когда - конечное множество , легко доказать из аксиом 1–8 , AC имеет значение только для некоторых бесконечных множеств . AC характеризуется как неконструктивный${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\in X}$${\displaystyle f(Y)\in Y}$${\displaystyle X}$потому что он утверждает существование набора выбора, но ничего не говорит о том, как набор выбора должен быть «сконструирован». Многочисленные ^{[ неопределенные ] исследования} были направлены на то, чтобы охарактеризовать определимость (или отсутствие таковой) определенных множеств ^{[ необходим пример ]} , существование которых утверждает AC.

Мотивация через совокупную иерархию [ править ]

Одним из мотивов аксиом ZFC является кумулятивная иерархия множеств, введенная Джоном фон Нейманом . ^[8] С этой точки зрения, вселенная теории множеств строится поэтапно, с одной стадией для каждого порядкового числа . На этапе 0 наборов еще нет. На каждом следующем этапе набор добавляется во вселенную, если все его элементы были добавлены на предыдущих этапах. Таким образом, пустой набор добавляется на этапе 1, а набор, содержащий пустой набор, добавляется на этапе 2. ^[9] Совокупность всех наборов, полученных таким образом на всех этапах, называется V. Наборы в V можно организовать в иерархию, назначив каждому набору первый этап, на котором этот набор был добавлен к V.

Доказуемо, что набор находится в V тогда и только тогда, когда набор является чистым и хорошо обоснованным ; и доказать, что V удовлетворяет всем аксиомам ZFC, если класс ординалов имеет соответствующие свойства отражения. Например, предположим, что набор x добавлен на этапе α, что означает, что каждый элемент x был добавлен на этапе раньше, чем α. Затем каждое подмножество x также добавляется на этапе α, потому что все элементы любого подмножества x также были добавлены до этапа α. Это означает, что любое подмножество x, которое может построить аксиома разделения, добавляется на этапе α, и что набор степеней xбудет добавлен на следующем этапе после α. Полное доказательство того, что V удовлетворяет ZFC, см. В Shoenfield (1977) .

Картина вселенной множеств, стратифицированных в кумулятивную иерархию, характерна для ZFC и связанных аксиоматических теорий множеств, таких как теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя (часто называемая NBG) и теория множеств Морса – Келли . Кумулятивная иерархия несовместима с другими теориями множеств, такими как Новые фонды .

Можно изменить определение V так, чтобы на каждом этапе вместо добавления всех подмножеств объединения предыдущих этапов подмножества добавлялись только в том случае, если они определимы в определенном смысле. Это приводит к более «узкой» иерархии, которая дает конструктивную вселенную L , которая также удовлетворяет всем аксиомам ZFC, включая аксиому выбора. Он не зависит от ZFC аксиом ли V  =  L . Хотя структура L более регулярная и хорошо управляемая, чем структура  V , немногие математики утверждают, что  V =  L следует добавить к ZFC в качестве дополнительной « аксиомы конструктивности ».

Метаматематика [ править ]

Виртуальные классы [ править ]

Как отмечалось ранее, правильные классы (коллекции математических объектов, определенных свойством, общим для их членов, которые слишком велики, чтобы их можно было установить) могут обрабатываться только косвенно в ZF (и, следовательно, ZFC). Альтернативой собственным классам при нахождении внутри ZF и ZFC является нотационная конструкция виртуального класса, введенная Куайном (1969) , где вся конструкция y ∈ { x | F x } просто определяется как F y . ^[10]Это обеспечивает простую нотацию для классов, которые могут содержать наборы, но не должны сами быть наборами, при этом не фиксируя онтологию классов (поскольку нотация может быть синтаксически преобразована в ту, которая использует только наборы). Подход Куайна основан на более раннем подходе Бернейса и Френкеля (1958) . Виртуальные классы также используются в Леви (2002) , Такеути & Zaring (1982) , и в Metamath реализации ZFC.

Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя [ править ]

Каждая из схем аксиом замены и разделения содержит бесконечно много экземпляров. Монтегю (1961) включил результат, впервые доказанный в его докторской диссертации 1957 г. Тезис: если ZFC непротиворечив, невозможно аксиоматизировать ZFC, используя только конечное число аксиом. С другой стороны, теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG) может быть конечно аксиоматизирована. Онтология NBG включает как собственные классы, так и множества; набор - это любой класс, который может быть членом другого класса. NBG и ZFC являются эквивалентными теориями множеств в том смысле, что любая теорема, не упоминающая классы и доказуемая в одной теории, может быть доказана в другой.

Последовательность [ править ]

Вторая теорема Гёделя о неполноте говорит, что рекурсивно аксиоматизируемая система, которая может интерпретировать арифметику Робинсона, может доказать свою непротиворечивость, только если она непоследовательна. Более того, арифметика Робинсона может быть интерпретирована в общей теории множеств , небольшом фрагменте ZFC. Следовательно, непротиворечивость ZFC не может быть доказана внутри самого ZFC (если только это не противоречит действительности). Таким образом, в той степени, в которой ZFC отождествляется с обычной математикой, непротиворечивость ZFC не может быть продемонстрирована в обычной математике. Непротиворечивость ZFC действительно следует из существования слабо недоступного кардинального, что недоказуемо в ZFC, если ZFC согласован. Тем не менее, маловероятно, что ZFC таит в себе неожиданное противоречие; широко распространено мнение, что если бы ZFC противоречили друг другу, этот факт к настоящему времени был бы раскрыт. Это очень точно - ZFC невосприимчив к классическим парадоксов наивной теории множеств : парадокс Рассела , то парадокс Burali-Форти , и парадокс Кантора .

Abian и LaMacchia (1978) изучали подтеорию ZFC, состоящую из аксиом протяженности, объединения, мощности, замены и выбора. Используя модели , они доказали непротиворечивость этой субтеории и доказали, что каждая из аксиом экстенсиональности, замены и набора мощности не зависит от четырех оставшихся аксиом этой субтеории. Если эту подтеорию дополнить аксиомой бесконечности, каждая из аксиом объединения, выбора и бесконечности не зависит от пяти оставшихся аксиом. Поскольку существуют необоснованные модели, удовлетворяющие каждой аксиоме ZFC, кроме аксиомы регулярности, эта аксиома не зависит от других аксиом ZFC.

Если согласовано, ZFC не может доказать существование недоступных кардиналов , которых требует теория категорий . Возможны огромные множества такого рода, если ZF дополнить аксиомой Тарского . ^[11] Если предположить , что аксиома превращает аксиому бесконечности , набор мощности , и выбора ( 7  -  9 выше) в теоремы.

Независимость [ править ]

Многие важные операторы не зависят от ZFC (см. Список операторов, независимых от ZFC ). Независимость обычно доказывается форсированием , посредством чего показано, что каждая счетная транзитивная модель ZFC (иногда дополненная аксиомами с большими кардиналами ) может быть расширена, чтобы удовлетворить рассматриваемому утверждению. Затем показано другое расширение, удовлетворяющее отрицанию утверждения. Доказательство независимости путем принуждения автоматически доказывает независимость от арифметических утверждений, других конкретных утверждений и больших кардинальных аксиом. Можно доказать, что некоторые утверждения, не зависящие от ZFC, выполняются в конкретных внутренних моделях , например, в конструктивной вселенной.. Однако некоторые утверждения о конструктивных наборах не согласуются с предполагаемыми аксиомами о больших кардиналах.

Форсирование доказывает, что следующие утверждения не зависят от ZFC:

• Гипотеза континуума
• Алмазный принцип
• Гипотеза суслина
• Аксиома Мартина (которая не является аксиомой ZFC)
• Аксиома конструктивности (V = L) (которая также не является аксиомой ZFC).

Примечания:

• Согласованность V = L доказывается внутренними моделями, но не принуждением: каждая модель ZF может быть обрезана, чтобы стать моделью ZFC + V = L.
• Алмазный принцип подразумевает гипотезу континуума и отрицание гипотезы Суслина.
• Аксиома Мартина плюс отрицание гипотезы континуума влечет за собой гипотезу Суслина.
• В построимой Вселенной удовлетворяет Обобщенная гипотезу континуума , Алмазный Принцип, Аксиома Мартина и Kurepa гипотеза.
• Провал гипотезы Kurepa является equiconsistent с существованием сильно недоступного кардинала .

Вариант метода принуждения также может быть использован для демонстрации непротиворечивости и недоказуемости выбранной аксиомы , т. Е. Того , что выбранная аксиома не зависит от ZF. Последовательность выбора можно (относительно) легко проверить, доказав, что внутренняя модель L удовлетворяет выбору. (Таким образом, каждая модель ZF содержит подмодель ZFC, так что Con (ZF) влечет Con (ZFC).) Поскольку принуждение сохраняет выбор, мы не можем напрямую создать модель, противоречащую выбору, из модели, удовлетворяющей выбору. Однако мы можем использовать форсирование для создания модели, которая содержит подходящую подмодель, а именно такую, которая удовлетворяет ZF, но не C.

Другой метод доказательства результатов независимости, не связанный с принуждением, основан на второй теореме Гёделя о неполноте . Этот подход использует утверждение, независимость которого исследуется, чтобы доказать существование заданной модели ZFC, и в этом случае Con (ZFC) истинно. Поскольку ZFC удовлетворяет условиям второй теоремы Гёделя, непротиворечивость ZFC недоказуема в ZFC (при условии, что ZFC фактически непротиворечива). Следовательно, никакое утверждение, позволяющее такое доказательство, не может быть доказано в ZFC. Этот метод может доказать, что существование больших кардиналов недоказуемо в ZFC, но не может доказать, что предположение таких кардиналов, заданное ZFC, не противоречит.

Предлагаемые дополнения [ править ]

Проект по объединению теоретиков множеств, стоящих за дополнительными аксиомами для разрешения гипотезы континуума или других метаматематических двусмысленностей, иногда называют «программой Гёделя». ^[12] Математики в настоящее время спорят о том, какие аксиомы являются наиболее правдоподобными или «самоочевидными», какие аксиомы являются наиболее полезными в различных областях и о том, в какой степени полезность должна уступать место правдоподобию; какая-то " мультивселенная"Теоретики множеств утверждают, что полезность должна быть единственным окончательным критерием, в котором аксиомы обычно следует принимать. Одна школа мысли опирается на расширение «итеративной» концепции множества, чтобы создать теоретико-множественную вселенную с интересной и сложной, но достаточно управляемой структурой. путем принятия аксиом принуждения; другая школа выступает за более аккуратную, менее загроможденную вселенную, возможно, сосредоточенную на «основной» внутренней модели ^[13].

Критика [ править ]

Для критики теории множеств в целом см. Возражения против теории множеств.

ZFC критиковали как за чрезмерную силу, так и за чрезмерную слабость, а также за неспособность захватывать такие объекты, как правильные классы и универсальный набор .

Многие математические теоремы могут быть доказаны в гораздо более слабых системах , чем ZFC, таких как арифметика Пеано и арифметики второго порядка (как исследовали с помощью программы обратной математики ). Сондерс Мак Лейн и Соломон Феферман оба подчеркнули это. Некоторая часть «основной математики» (математика, не связанная напрямую с аксиоматической теорией множеств) выходит за рамки арифметики Пеано и арифметики второго порядка, но, тем не менее, вся такая математика может быть реализована в ZC ( теория множеств Цермело с выбором), другой теории, более слабой, чем ZFC. Большая часть возможностей ZFC, включая аксиому регулярности и схему аксиом замены, включена в первую очередь для облегчения изучения самой теории множеств.

С другой стороны, среди аксиоматических теорий множеств ZFC сравнительно слаба. В отличие от New Foundations , ZFC не допускает существования универсального набора. Следовательно, Вселенная множеств под ZFC не замкнут относительно элементарных операций алгебры множеств . В отличие от теории множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG) и теории множеств Морса – Келли (MK), ZFC не допускает существования собственных классов . Еще одна сравнительная слабость ZFC состоит в том, что аксиома выбора, включенная в ZFC, слабее, чем аксиома глобального выбора, включенная в NBG и MK.

Существует множество математических утверждений, не зависящих от ZFC . К ним относятся гипотеза континуума , проблема Уайтхеда и гипотеза нормального пространства Мура . Некоторые из этих гипотез можно доказать, добавив в ZFC такие аксиомы, как аксиома Мартина или аксиомы большого кардинала . Некоторые другие решаются в ZF + AD, где AD - аксиома определенности , сильное предположение, несовместимое с выбором. Одной из привлекательных сторон аксиом с большим кардиналом является то, что они позволяют установить в ZFC многие результаты из ZF + AD, к которым присоединяется некоторая аксиома с большим кардиналом (см. Проективную определенность ). Система Мицар иКомпания Metamath приняла теорию множеств Тарского – Гротендика , расширение ZFC, так что доказательства с участием вселенных Гротендика (встречающиеся в теории категорий и алгебраической геометрии) могут быть формализованы.

См. Также [ править ]

• Основы математики
• Внутренняя модель
• Аксиома большого кардинала

Связанные аксиоматические теории множеств :

• Теория множеств Морса – Келли
• Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя.
• Теория множеств Тарского – Гротендика
• Конструктивная теория множеств
• Теория внутреннего множества

Заметки [ править ]

Процитированные работы [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "ZFC" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Стэнфордская энциклопедия философии, статьи Томаса Джеча :
  • Теория множеств ;
  • Аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля .
• Метаматическая версия аксиом ZFC - краткая и неизбыточная аксиоматизация. Фоновая логика первого порядка определена специально для облегчения машинной проверки доказательств.
  • Вывод в Metamath от версии схемы разделения от версии замены схемы.
• Вайсштейн, Эрик В. "Теория множеств Цермело-Френкеля" . MathWorld .