Аксиома спаривания

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В аксиоматической теории множеств и ветвей логики , математики и информатики , которые используют его, аксиома спаривания является одной из аксиом в теории множеств Цермело-Френкеля . Он был введен Цермело (1908) как частный случай его аксиомы элементарных множеств .

Официальное заявление [ править ]

На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома гласит:

${\ Displaystyle \ forall A \, \ forall B \, \ существует C \, \ forall D \, [D \ in C \ iff (D = A \ lor D = B)]}$

Прописью:

Для любого множества и любое множество В , существует множество С такими , что для любого множества D , D является членом C тогда и только тогда , когда D является равным для A или D равно B .

Или проще:

Даны два набора, есть набор, членами которого являются в точности два данных набора.

Последствия [ править ]

Как было отмечено, что аксиома говорит, что, учитывая два множества A и B , мы можем найти множество C , членами которого являются в точности A и B .

Мы можем использовать аксиому протяженности, чтобы показать, что это множество C единственно. Назовем множество C на пару из A и B , и обозначим его { A , B }. Таким образом, суть аксиомы такова:

У любых двух наборов есть пара.

Множество { , } сокращенно { }, называется одноточечным , содержащий A . Обратите внимание, что синглтон - это особый случай пары. Возможность построить синглтон необходима, например, для того, чтобы показать несуществование бесконечно нисходящих цепочек из аксиомы регулярности .${\ Displaystyle х = \ {х \}}$

Аксиома спаривания также позволяет определять упорядоченные пары . Для любых множеств и , то упорядоченная пара определяется в следующем:${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ Displaystyle (а, Ь) = \ {\ {а \}, \ {а, Ь \} \}. \,}$

Отметим, что это определение удовлетворяет условию

${\ Displaystyle (a, b) = (c, d) \ если и только если a = c \ land b = d.}$

Упорядоченные n -элементы могут быть определены рекурсивно следующим образом:

${\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = ((a_ {1}, \ ldots, a_ {n-1}), a_ {n}). \!}$

Альтернативы [ править ]

Несамостоятельность [ править ]

Аксиома спаривания обычно считается бесспорной, и он или эквивалентным появляется в почти любой аксиоматики теории множеств. Тем не менее, в стандартной формулировке теории множеств Цермело – Френкеля аксиома спаривания следует из схемы аксиом замены, применяемой к любому заданному множеству с двумя или более элементами, и поэтому иногда ее опускают. Существование такого набора с двумя элементами, такими как {{}, {{}}}, может быть выведено либо из аксиомы пустого множества и аксиомы набора мощности, либо из аксиомы бесконечности .

В отсутствие некоторых более сильных аксиом ZFC аксиома спаривания все же может быть без потерь введена в более слабой форме.

Слабее [ править ]

При наличии стандартных форм схемы аксиом разделения мы можем заменить аксиому спаривания ее более слабой версией:

${\ Displaystyle \ forall A \ forall B \ существует C \ forall D ((D = A \ lor D = B) \ Rightarrow D \ in C)}$.

Эта слабая аксиома спаривания подразумевает, что любые заданные множества и являются членами некоторого множества . Используя схему аксиом разделения, мы можем построить множество, членами которого являются в точности и .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Еще одна аксиома, из которой следует аксиома спаривания при наличии аксиомы пустого множества :

${\ Displaystyle \ forall A \, \ forall B \, \ существует C \, \ forall D \, [D \ in C \ iff (D \ in A \ lor D = B)]}$.

Он отличается от стандартного тем, что вместо . Используя {} для A и x для B, мы получаем { x } для C. Затем используйте { x } для A и y для B , получая { x, y } для C. Можно продолжить таким образом, чтобы построить любое конечное набор. И это можно было бы использовать для генерации всех наследственно конечных множеств без использования аксиомы объединения .${\ displaystyle D \ in A}$${\ displaystyle D = A}$

Сильнее [ править ]

Вместе с аксиомой пустого множества и аксиомой объединения аксиома спаривания может быть обобщена до следующей схемы:

${\ Displaystyle \ forall A_ {1} \, \ ldots \, \ forall A_ {n} \, \ exists C \, \ forall D \, [D \ in C \ iff (D = A_ {1} \ lor \ cdots \ lor D = A_ {n})]}$

то есть:

Для любого конечного числа множеств от A ₁ до A _n существует множество C , членами которого являются в точности от A ₁ до A _n .

Это множество C снова единственно по аксиоме протяженности и обозначается { A ₁ , ..., A _n }.

Конечно, мы не можем строго ссылаться на конечное число множеств, не имея в руках (конечного) множества, к которому эти множества принадлежат. Таким образом, это не отдельный оператор, а схема с отдельным оператором для каждого натурального числа n .

• Случай n = 1 является аксиомой спаривания с A = A ₁ и B = A ₁ .
• Случай n = 2 является аксиомой спаривания с A = A ₁ и B = A ₂ .
• Случаи n > 2 можно доказать, используя аксиому спаривания и аксиому объединения несколько раз.

Например, чтобы доказать случай n = 3, трижды используйте аксиому спаривания, чтобы получить пару { A ₁ , A ₂ }, одноэлемент { A ₃ }, а затем пару {{ A ₁ , A ₂ } , { A ₃ }}. Тогда аксиома объединения дает желаемый результат: { A ₁ , A ₂ , A ₃ }. Мы можем расширить эту схему, чтобы включить n = 0, если мы интерпретируем этот случай как аксиому пустого множества .

Таким образом, можно использовать это как схему аксиом вместо аксиом пустого множества и спаривания. Однако обычно аксиомы пустого множества и спаривания используются отдельно, а затем доказываются как схема теорем . Обратите внимание, что принятие этого в качестве схемы аксиом не заменит аксиому объединения , которая все еще необходима для других ситуаций.

Ссылки [ править ]

• Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
• Jech, Thomas, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Springer. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: Введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 . 
• Цермело, Эрнст (1908), "Untersuchungen über умереть Grundlagen дер Mengenlehre I" , Mathematische Annalen , 65 (2): 261-281, DOI : 10.1007 / bf01449999. Английский перевод: Heijenoort, Jean van (1967), «Исследования основ теории множеств», From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Source Books in the History of the Sciences, Harvard Univ. Press, стр. 199–215, ISBN. 978-0-674-32449-7.