Теория множеств Цермело (иногда обозначаемая Z- ) , изложенная в основополагающей статье Эрнста Цермело в 1908 году , является предком современной теории множеств Цермело-Френкеля (ZF) и ее расширений, таких как множество фон Неймана-Бернейса-Гёделя. теория (НБГ). Он имеет определенные отличия от своих потомков, которые не всегда понимают и часто неправильно цитируют. В этой статье изложены оригинальные аксиомы , с оригинальным текстом (переведенным на английский язык) и оригинальной нумерацией.
Аксиомы теории множеств Цермело сформулированы для объектов, некоторые из которых (но не обязательно все) являются множествами, а остальные объекты являются элементами , а не множествами. Язык Цермело неявно включает отношение принадлежности ∈, отношение равенства = (если оно не включено в основную логику) и унарный предикат, указывающий, является ли объект множеством. В более поздних версиях теории множеств часто предполагается, что все объекты являются множествами, поэтому нет никаких ure-элементов и нет необходимости в унарном предикате.
Наиболее широко используемая и принятая теория множеств известна как ZFC, которая состоит из теории множеств Цермело – Френкеля, включая аксиому выбора (AC). Ссылки показывают, где соответствуют аксиомы теории Цермело. Точного соответствия для «элементарных наборов» нет. (Позже было показано, что одноэлементное множество может быть получено из того, что сейчас называется «Аксиомой пар». Если a существует, a и a существуют, таким образом, { a , a } существует, и, следовательно, по экстенсиональности { a , a } = { a }.) Аксиома пустого множества уже принята аксиомой бесконечности и теперь включена как ее часть.
Теория множеств Цермело не включает аксиом замены и регулярности . Аксиома замены была впервые опубликована в 1922 году Абрахамом Френкелем и Торальфом Сколемом , которые независимо друг от друга обнаружили, что аксиомы Цермело не могут доказать существование множества { Z 0 , Z 1 , Z 2 , ...}, где Z 0 — множество натуральных чисел , а Z n +1 — множество степеней Z n. Они оба поняли, что для доказательства этого нужна аксиома замены. В следующем году Джон фон Нейман указал, что эта аксиома необходима для построения его теории ординалов . Аксиома регулярности была сформулирована фон Нейманом в 1925 г. [1]
В современной системе ZFC «пропозициональная функция», на которую ссылается аксиома разделения, интерпретируется как «любое свойство, определяемое формулой первого порядка с параметрами», поэтому аксиома разделения заменяется схемой аксиом . Понятие «формула первого порядка» не было известно в 1908 году, когда Цермело опубликовал свою систему аксиом, и позже он отверг эту интерпретацию как слишком ограничительную. Теория множеств Цермело обычно считается теорией первого порядка с заменой аксиомы разделения схемой аксиом с аксиомой для каждой формулы первого порядка. Его также можно рассматривать как теорию логики второго порядка ., где теперь аксиома разделения является всего лишь одной аксиомой. Интерпретация второго порядка теории множеств Цермело, вероятно, ближе к собственной концепции Цермело о ней и сильнее, чем интерпретация первого порядка.
В обычной кумулятивной иерархии V α теории множеств ZFC (для ординалов α) любое из множеств V α для α предельного ординала, большего, чем первый бесконечный ординал ω (например, V ω·2 ), образует модель множества Цермело. теория. Таким образом, непротиворечивость теории множеств Цермело является теоремой теории множеств ZFC. Аксиомы Цермело не предполагают существования ℵ ω или более бесконечных кардиналов, поскольку модель V ω·2 не содержит таких кардиналов. (Кардиналы должны быть определены по-другому в теории множеств Цермело, так как обычное определение кардиналов и ординалов работает не очень хорошо: с обычным определением невозможно даже доказать существование ординала ω2.)