В теории множеств , то схема преобразования является схемой из аксиом в теории множеств Цермело-Френкеля (ZF) , который утверждает , что образ любого множества при любой определимой отображения также множество. Это необходимо для построения некоторых бесконечных множеств в ZF.
Схема аксиомы мотивирована идеей, что то, является ли класс набором, зависит только от мощности класса, а не от ранга его элементов. Таким образом, если один класс «достаточно мал», чтобы быть набором, и есть сюръекция от этого класса ко второму классу, аксиома утверждает, что второй класс также является набором. Однако, поскольку ZFC говорит только о наборах, а не о собственных классах, схема указана только для определяемых сюръекций, которые отождествляются с их определяющими формулами .
Заявление
Предполагать является определяемым бинарным отношением (которое может быть собственным классом ) такое, что для каждого набора есть уникальный набор такой, что держит. Имеется соответствующая определяемая функция, где если и только если . Рассмотрим (возможно, правильный) класс определены так, что для каждого набора , тогда и только тогда, когда есть с участием . называется образом под , и обозначил или (используя обозначение конструктора множеств ).
Схема аксиомы замены утверждает, что если является определяемой функцией класса, как указано выше, и любое множество, то изображение тоже набор. Это можно рассматривать как принцип малости: аксиома утверждает, что если достаточно мал, чтобы быть набором, тогда также достаточно мал, чтобы быть набором. Это подразумевается более сильной аксиомой ограничения размера .
Поскольку невозможно определить количество определяемых функций в логике первого порядка, для каждой формулы включен один экземпляр схемы. на языке теории множеств со свободными переменными среди ; но не бесплатно в . На формальном языке теории множеств схема аксиом выглядит так:
Для значения см. количественную оценку уникальности .
Для наглядности в случае отсутствия переменных , это упрощает:
Так что всякий раз, когда определяет уникальный -к- соответствие, сродни функции на , то все достигнутые таким образом могут быть собраны в набор , сродни .
Приложения
Схема замены аксиом не нужна для доказательства большинства теорем обычной математики. Действительно, теория множеств Цермело (Z) уже может интерпретировать арифметику второго порядка и большую часть теории типов в конечных типах, которые, в свою очередь, достаточны для формализации основной части математики. Хотя схема аксиом замены является стандартной аксиомой в теории множеств сегодня, ее часто опускают в системах теории типов и фундаментальных систем в теории топосов .
В любом случае, схема аксиом резко увеличивает силу ZF как с точки зрения теорем, которые она может доказать - например, доказано существование множеств, - так и с точки зрения ее теоретико-доказательной стойкости по сравнению с Z. Некоторые важные примеры следуют:
- Используя современное определение фон Неймана , для доказательства существования любого предельного ординала больше ω требуется аксиома замены. Порядковое число ω · 2 = ω + ω является первым подобным порядковое. Аксиома бесконечности утверждает существование бесконечного множества со = {0, 1, 2, ...}. Можно надеяться определить ω · 2 как объединение последовательности {ω, ω + 1, ω + 2, ...}. Однако произвольные такие классы ординалов не обязательно должны быть наборами - например, класс всех ординалов не является набором. Замена теперь позволяет заменить каждое конечное число n в ω соответствующим ω + n и, таким образом, гарантирует, что этот класс является множеством. В качестве пояснения отметим, что можно легко построить хорошо упорядоченное множество , изоморфное ω · 2, не прибегая к замене - просто возьмем несвязное объединение двух копий ω, причем вторая копия будет больше первой, но это не является порядковым номером, поскольку он не полностью упорядочен включением.
- Более крупные ординалы менее напрямую зависят от замены. Например, ω 1 , первый несчетный порядковый номер , может быть построен следующим образом - набор счетных порядков скважин существует как подмножествопутем разделения и Powerset (а отношение на А является подмножеством, а значит, элемент набора мощности . Таким образом, набор отношений является подмножеством)). Замените каждый упорядоченный набор его порядковым номером. Это множество счетных ординалов ω 1 , которые, как можно показать, несчетны. В конструкции дважды используется замена; один раз, чтобы обеспечить порядковое присвоение для каждого хорошо упорядоченного набора, и еще раз для замены хорошо упорядоченных наборов их порядковыми номерами. Это частный случай результата о числе Хартогса , и общий случай доказывается аналогично.
- В свете вышесказанного, наличие присвоения порядкового номера каждому хорошо упорядоченному набору также требует замены. Точно так же кардинальное присвоение фон Неймана, которое присваивает количественное число каждому набору, требует замены, а также аксиомы выбора .
- Для наборов кортежей, рекурсивно определенных как и для больших , набор имеет слишком высокий ранг, чтобы его существование можно было доказать с помощью теории множеств с помощью только аксиомы степенного набора, выбора и без замены.
- Точно так же, Харви Фридман показал , что замена требуется , чтобы показать , что борелевские будут определены . Проверенный результат Donald A. Martin «s Борель детерминированность теорема .
- ZF с заменой доказывает непротиворечивость Z, так как множество V ω · 2 является моделью Z, существование которой можно доказать в ZF. Кардинальное число является первой, которая, как можно показать, существует в ZF, но не в Z. Для пояснения отметим, что вторая теорема Гёделя о неполноте показывает, что каждая из этих теорий содержит предложение, «выражающее» собственную непротиворечивость теории, что недоказуемо в этой теории , если эта теория непротиворечива - этот результат часто свободно выражается как утверждение, что ни одна из этих теорий не может доказать свою непротиворечивость, если она непротиворечива.
Связь с другими схемами аксиом
Коллекция
Схема аксиомы коллекции тесно связана со схемой аксиомы замены и часто путается с ней. По остальным аксиомам ZF это эквивалентно схеме аксиом замены. Аксиома коллекции сильнее, чем замена в отсутствие аксиомы степенного множества или ее конструктивного аналога ZF, но слабее в рамках IZF, в котором отсутствует закон исключенного третьего .
В то время как замена может быть прочитана, чтобы сказать, что образ функции является набором, коллекция говорит об образах отношений, а затем просто говорит, что некоторый суперкласс образа отношений является набором. Другими словами, результирующий набор не имеет требования минимальности, т.е. в этом варианте также отсутствует требование уникальности по . То есть отношение, определяемое не обязательно быть функцией - некоторые может соответствовать многим в . В этом случае набор изображений чье существование утверждается, должен содержать по крайней мере один такой для каждого в исходном наборе, без гарантии, что он будет содержать только один.
Предположим, что свободные переменные среди ; но ни то, ни другое ни бесплатно в . Тогда схема аксиомы такова:
Схема аксиомы иногда формулируется без предварительных ограничений (кроме не происходит бесплатно в ) на предикате, :
В этом случае могут быть элементы в которые не связаны ни с какими другими наборами . Однако схема аксиом, как указано, требует, чтобы, если элемент из связан хотя бы с одним набором , то набор изображений будет содержать хотя бы один такой . Полученная схема аксиом также называется схемой аксиом ограниченности .
Разделение
Схема аксиом разделения , другая схема аксиом в ZFC, подразумевается схемой аксиом замены и аксиомой пустого множества . Напомним, что схема аксиом разделения включает
для каждой формулы на языке теории множеств, в которой не бесплатно.
Доказательство таково. Начните с формулы это не упоминает , и набор . Если нет элемента из удовлетворяет тогда набор желательным для соответствующего примера схемы аксиом разделения является пустое множество. В противном случае выберите фиксированный в такой, что держит. Определите функцию класса так что для любого элемента , если держит и если ложно. Тогда образ под , т. е. множество , существует (по аксиоме замены) и является в точности множеством требуется для аксиомы разделения.
Этот результат показывает, что можно аксиоматизировать ZFC с помощью единственной бесконечной схемы аксиом. Поскольку требуется по крайней мере одна такая бесконечная схема (ZFC не является конечно аксиоматизируемой), это показывает, что схема аксиом замены может выступать в качестве единственной бесконечной схемы аксиом в ZFC, если это необходимо. Поскольку схема аксиом разделения не является независимой, ее иногда опускают в современных формулировках аксиом Цермело-Френкеля.
Однако разделение по-прежнему важно для использования во фрагментах ZFC по историческим соображениям и для сравнения с альтернативными аксиоматизациями теории множеств. Формулировка теории множеств, которая не включает аксиому замещения, вероятно, будет включать некоторую форму аксиомы разделения, чтобы гарантировать, что ее модели содержат достаточно богатый набор множеств. При изучении моделей теории множеств иногда полезно рассматривать модели ZFC без замены, такие как модели в иерархии фон Неймана.
В приведенном выше доказательстве используется закон исключенного третьего в предположении, что еслинепусто, то оно должно содержать элемент (в интуиционистской логике множество «пусто», если оно не содержит элемента, а «непусто» - это формальное отрицание этого, которое слабее, чем «действительно содержит элемент»). Аксиома разделения включена в интуиционистскую теорию множеств .
История
Схема аксиом замены не была частью аксиоматизации теории множеств ( Z ) Эрнста Цермело 1908 года . Некоторое неформальное приближение к нему существовало в неопубликованных работах Кантора , и оно снова неформально появилось у Мириманова (1917). [1]
Ее публикация Абрахамом Френкелем в 1922 году - вот что делает современную теорию множеств теорией множеств Цермело- Френкеля ( ZFC ). Аксиома была независимо открыта и провозглашена Торальфом Сколемом позже в том же году (и опубликована в 1923 году). Сам Цермело включил аксиому Френкеля в свою пересмотренную систему, которую он опубликовал в 1930 году, которая также включала в качестве новой аксиомы основополагающую аксиому фон Неймана . [2] Хотя это первая версия списка аксиом Сколема, который мы используем сегодня, [3] он обычно не получает должного, поскольку каждая отдельная аксиома была разработана ранее Цермело или Френкелем. Фраза «теория множеств Цермело-Френкеля» была впервые использована в печати фон Нейманом в 1928 году [4].
Цермело и Френкель в 1921 году вели активную переписку; аксиома замены была главной темой этого обмена. [3] Френкель начал переписку с Цермело где-то в марте 1921 года. Однако его письма до письма от 6 мая 1921 года утеряны. Цермело впервые признал пробел в своей системе в ответе Френкелю от 9 мая 1921 года. 10 июля 1921 года Френкель завершил и представил для публикации статью (опубликованную в 1922 году), в которой его аксиома описывалась как допускающая произвольные замены: «Если M равно набор, и каждый элемент M заменяется [набором или urelement], затем M снова превращается в набор »(завершение в скобках и перевод Эббингауза). Публикация Френкеля 1922 года поблагодарила Цермело за полезные аргументы. До этой публикации Френкель публично объявил о своей новой аксиоме на собрании Немецкого математического общества, состоявшемся в Йене 22 сентября 1921 года. Цермело присутствовал на этом собрании; в дискуссии, последовавшей за выступлением Френкеля, он в общих чертах принял аксиому замещения, но высказал оговорки относительно ее степени. [3]
Торльф Сколем обнародовал свое открытие пробела в системе Цермело (тот же пробел, который обнаружил Френкель) в своем выступлении 6 июля 1922 года на 5-м Конгрессе скандинавских математиков , который проходил в Хельсинки ; протоколы этого конгресса были опубликованы в 1923 году. Сколем представил резолюцию в терминах определимых замен первого порядка: «Пусть U будет определенным утверждением, которое выполняется для определенных пар ( a , b ) в области B ; предположим далее, что для каждого a существует не более одного b, такого что U истинно. Тогда, поскольку a пробегает элементы множества M a , b пробегает все элементы множества M b ". В том же году Френкель написал обзор статьи Сколема, в которой Френкель просто заявил, что соображения Сколема соответствуют его собственным. [3]
Сам Цермело никогда не принимал формулировку схемы аксиом замещения Сколема. [3] В какой-то момент он назвал подход Сколема «теорией множеств бедных». Цермело предусмотрел систему, которая позволила бы большим кардиналам . [5] Он также категорически возражал против философских последствий счетных моделей теории множеств , которые вытекают из аксиоматизации первого порядка Сколема. [4] Согласно биографии Цермело Хайнца-Дитера Эббингауза , неодобрение Цермело подхода Сколема положило конец влиянию Цермело на развитие теории множеств и логики. [3]
Рекомендации
- ^ Мэдди, Пенелопа (1988), "Верить аксиомы я.", Журнал символической логики , 53 (2): 481-511, DOI : 10.2307 / 2274520 , JSTOR 2274520 , MR 0947855 ,
Ранние намеков аксиомы замены может можно найти в письмах Кантора Дедекинду [1899] и у Мириманова [1917]
. Мэдди цитирует две статьи Мириманофф: «Антиномии Рассела и Бурали-Форти и фундаментальные проблемы теории ансамблей» и «Ремарки по теории ансамблей и канторские антиномии», обе в L'Enseignement Mathématique (1917). . - Перейти ↑ Ebbinghaus, p. 92.
- ^ a b c d e f Ebbinghaus, стр. 135-138.
- ^ а б Эббингауз, стр. 189.
- Перейти ↑ Ebbinghaus, p. 184.
- Эббингаус, Хайнц-Дитер (2007), Эрнст Цермело: подход к его жизни и работе , Springer Science & Business Media, ISBN 978-3-540-49553-6.
- Халмос, Пол Р. (1974) [1960], теория наивных множеств , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6.
- Jech, Thomas (2003), Теория множеств: издание третьего тысячелетия, пересмотренное и расширенное , Springer, ISBN 3-540-44085-2.
- Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: Введение в доказательства независимости , Elsevier, ISBN 0-444-86839-9.