Количественная оценка уникальности

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике и логике термин «уникальность» относится к свойству быть единственным и неповторимым объектом, удовлетворяющим определенному условию. ^{[1] [2]} Этот вид количественной оценки известен как количественная оценка уникальности или уникальная количественная оценка существования и часто обозначается символами « ∃ !». ^[3] или «∃ _{= 1} ». Например, формальное заявление

${\ Displaystyle \ существует! п \ в \ mathbb {N} \, (п-2 = 4)}$

может быть прочитано как «существует ровно одно такое натуральное число ».${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle п-2 = 4}$

Доказательство уникальности [ править ]

Самый распространенный метод доказательства уникального существования определенного объекта - сначала доказать существование объекта с желаемым состоянием, а затем доказать, что любые два таких объекта (скажем, и ) должны быть равны друг другу (т.е.  ) .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a = b}$

Например, чтобы показать, что уравнение имеет ровно одно решение , нужно сначала установить, что существует по крайней мере одно решение, а именно 3; Доказательство этой части - это просто проверка того, что выполняется следующее уравнение:${\ displaystyle x + 2 = 5}$

${\ displaystyle 3 + 2 = 5.}$

Чтобы установить единственность решения, следует предположить, что есть два решения, а именно и , удовлетворяющие . Это,${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x + 2 = 5}$

${\ displaystyle a + 2 = 5 {\ text {and}} b + 2 = 5.}$

По транзитивности равенства

${\ displaystyle a + 2 = b + 2.}$

Вычитая 2 с обеих сторон, получаем

${\ displaystyle a = b.}$

что завершает доказательство того, что 3 - единственное решение .${\ displaystyle x + 2 = 5}$

В общем, как существование (существует хотя бы один объект), так и уникальность (существует не более одного объекта) должны быть доказаны, чтобы сделать вывод, что существует ровно один объект, удовлетворяющий указанному условию.

Альтернативный способ доказать уникальность - доказать, что существует объект, удовлетворяющий условию, а затем доказать, что каждый объект, удовлетворяющий условию, должен быть равен . ^[1]${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$

Сведение к обычной экзистенциальной и универсальной количественной оценке [ править ]

Количественная оценка уникальности может быть выражена в терминах экзистенциальных и универсальных кванторов логики предикатов , определяя формулу как${\ Displaystyle \ существует! xP (x)}$

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x)),}$

что логически эквивалентно

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).}$

Эквивалентное определение, которое разделяет понятия существования и уникальности на два пункта за счет краткости:

${\displaystyle \exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,(P(y)\wedge P(z)\to y=z).}$

Другое эквивалентное определение, имеющее преимущество краткости, - это

${\displaystyle \exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x).}$

Обобщения [ править ]

Количественная оценка уникальности может быть обобщена на количественную оценку подсчета (или количественную оценку ^[4] ). Это включает как количественную оценку формы «существует ровно k объектов, таких что…», так и «существует бесконечно много объектов, таких что…» и «существует лишь конечное количество объектов, таких что…». Первая из этих форм может быть выражена с помощью обычных кванторов, но две последние не могут быть выражены в обычной логике первого порядка . ^[5]

Уникальность зависит от понятия равенства . Ослабление этого до некоторого более грубого отношения эквивалентности дает количественную оценку уникальности с точностью до этой эквивалентности (в рамках этой концепции регулярная уникальность - это «уникальность с точностью до равенства»). Например, многие понятия в теории категорий определены как уникальные с точностью до изоморфизма .

См. Также [ править ]

• По сути уникальный
• Один горячий
• Синглтон (математика)
• Теорема единственности

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Клини, Стивен (1952). Введение в метаматематику . Ishi Press International. п. 199.
• Эндрюс, Питер Б. (2002). Введение в математическую логику и теорию типов к истине через доказательство (2-е изд.). Дордрехт: Kluwer Acad. Publ. п. 233. ISBN. 1-4020-0763-9.