Экзистенциальная количественная оценка

В логике предикатов , экзистенциальная Количественное представляет собой тип квантификатора , А логическая константа , которая интерпретируется как «существует», «существует, по крайней мере , один», или «для некоторых». Обычно это обозначается символом логического оператора ∃, который при использовании вместе с переменной-предикатом называется квантификатором существования (« ∃ x » или « ∃ ( x ) »). ^[1] Экзистенциальная количественная оценка отличается от универсальной количественной оценки («для всех»),который утверждает, что свойство или отношение выполняется для всехчлены домена. ^{[2] [3]} Некоторые источники используют термин экзистенциализация для обозначения экзистенциальной количественной оценки. ^[4]

Основы [ править ]

Рассмотрим формулу, которая утверждает, что некоторое натуральное число, умноженное само на себя, равно 25.

0 · 0 = 25, или 1 · 1 = 25, или 2 · 2 = 25, или 3 · 3 = 25, и так далее.

Это могло бы показаться логическим противоречием из-за многократного использования «или». Однако «и так далее» делает невозможным его интегрирование и интерпретацию как дизъюнкцию в формальной логике . Вместо этого заявление можно было бы более формально перефразировать как

В течение некоторого натурального числа п , п · п = 25.

Это единое утверждение, использующее экзистенциальную количественную оценку.

Это утверждение более точное, чем исходное, поскольку фраза «и так далее» не обязательно включает все натуральные числа и исключает все остальное. А поскольку домен не был указан явно, фразу нельзя было интерпретировать формально. Однако в количественном выражении натуральные числа упоминаются явно.

Этот конкретный пример верен, потому что 5 - натуральное число, и когда мы подставляем 5 вместо n , мы получаем «5 · 5 = 25», что верно. Не имеет значения, что « n · n = 25» верно только для одного натурального числа 5; даже существования единственного решения достаточно, чтобы доказать истинность этой экзистенциальной количественной оценки. Напротив, «для некоторого четного числа n , n · n = 25» неверно, потому что нет четных решений.

Таким образом, область дискурса , которая определяет значения, которые разрешено принимать переменной n , имеет решающее значение для истинности или ложности утверждения. Логические союзы используются для ограничения области дискурса выполнением данного предиката. Например:

Для некоторого положительного нечетного числа n , n · n = 25

является логическим эквивалентом для

В течение некоторого натурального числа п , п нечетно и п · п = 25.

Здесь «и» - это логическое соединение.

В символической логике «∃» (обратная или перевернутая буква « E » в шрифте без засечек ) используется для обозначения экзистенциальной количественной оценки. ^{[1] [5]} Таким образом, если P ( a , b , c ) является предикатом « a · b = c» и является множеством натуральных чисел, то${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

${\ Displaystyle \ существует {п} {\ in} \ mathbb {N} \, P (п, п, 25)}$

это (истинное) утверждение

В течение некоторого натурального числа п , п · п = 25.

Аналогично, если Q ( n ) - предикат « n четно», то

${\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} \,{\big (}Q(n)\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!P(n,n,25){\big )}}$

это (ложное) утверждение

В течение некоторого натурального числа п , п четно и п · п = 25.

В математике доказательство «некоторого» утверждения может быть достигнуто либо конструктивным доказательством , которое демонстрирует объект, удовлетворяющим «некоторому» утверждению, либо неконструктивным доказательством , которое показывает, что такой объект должен быть, но не демонстрирует его. . ^[6]

Свойства [ править ]

Отрицание [ править ]

Количественная пропозициональная функция - это утверждение; таким образом, как и утверждения, количественные функции могут быть инвертированы. Этот символ используется для обозначения отрицания.${\displaystyle \lnot \ }$

Например, если P ( x ) - это предикат « x больше 0 и меньше 1», то для области дискурса X всех натуральных чисел экзистенциальная квантификация «Существует натуральное число x, которое больше, чем 0 и менее 1 "можно символически обозначить как:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

Это может быть доказано как ложное. По правде говоря, следует сказать: «Это не тот случай, когда существует натуральное число x , которое больше 0 и меньше 1», или, символически:

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$.

Если в области дискурса нет элемента, для которого утверждение истинно, то оно должно быть ложным для всех этих элементов. То есть отрицание

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

логически эквивалентно «Для любого натурального числа x , x не больше 0 и меньше 1», или:

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

В общем, тогда отрицание экзистенциальной квантификации пропозициональной функции является универсальной квантификацией отрицания этой пропозициональной функции; символически,

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

(Это обобщение законов Де Моргана на логику предикатов.)

Распространенной ошибкой является утверждение, что «все люди не состоят в браке» (т. Е. «Не существует ни одного человека, который состоит в браке»), когда подразумевается «не все люди состоят в браке» (т. :

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

Отрицание также можно выразить выражением «за нет», в отличие от «для некоторых»:

${\displaystyle \nexists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

В отличие от универсального квантификатора, квантор существования распределяет по логическим дизъюнкциям:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor Q(x)\to \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))}$

Правила вывода [ править ]

Правило вывода является правилом оправдывая логический шаг от гипотезы к заключению. Есть несколько правил вывода, в которых используется квантор существования.

Экзистенциальное введение (∃I) заключает, что, если известно, что пропозициональная функция истинна для определенного элемента области дискурса, то должно быть истинно, что существует элемент, для которого пропозициональная функция истинна. Символично,

${\displaystyle P(a)\to \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

Экзистенциальная инстанциация , когда она проводится с использованием дедукции в стиле Fitch, осуществляется путем ввода новой суб-производной с заменой экзистенциально количественно оцениваемой переменной для объекта, которая не появляется ни в одной активной суб-производной. Если можно прийти к заключению в рамках этого суб-производного, в котором замещенный субъект не появляется, то можно выйти из этого суб-производного с этим заключением. Обоснование экзистенциального исключения (∃E) заключается в следующем: если дано, что существует элемент, для которого функция предложения истинна, и если вывод может быть сделан, дав этому элементу произвольное имя, этот вывод обязательно истинен. , если он не содержит имени. Символически для произвольного c и для предложенияQ, в котором c не появляется:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ ((P(c)\to \ Q)\to \ Q)}$

${\displaystyle P(c)\to \ Q}$должно быть истинным для всех значений c в одной и той же области X ; в противном случае логика не следует: если c не является произвольным, а вместо этого является конкретным элементом области дискурса, то утверждение P ( c ) может необоснованно дать больше информации об этом объекте.

Пустой набор [ править ]

Формула всегда неверна, независимо от P ( x ). Это потому, что обозначает пустое множество , и никакой x любого описания - не говоря уже о x, удовлетворяющем заданному предикату P ( x ) - не существует в пустом множестве. См. Также Пустую правду для получения дополнительной информации.${\displaystyle \exists {x}{\in }\emptyset \,P(x)}$${\displaystyle \emptyset }$

Как смежный [ править ]

В категории теории и теории элементарных топосов , квантор существования может быть понят как левый , сопряженные о наличии функтора между множествами мощности , на прообраз функтором функции между множествами; аналогично, универсальный квантор является правым сопряженным . ^[7]

Кодировка [ править ]

В Unicode и HTML, символы кодируются U + 2203 ∃ СУЩЕСТВУЕТ (HTML  ∃ · ∃, ∃ · как математический символ) и U + 2204 ∄ Там , НЕ EXIST (HTML  - ° ). ∄  ∄, ∄, ∄

В TeX символ создается с помощью "\ exists".

См. Также [ править ]

• Экзистенциальная оговорка
• Теорема существования
• Логика первого порядка
• Квантификатор Линдстрема
• Список логических символов - для символа юникода ∃
• Дисперсия квантификатора
• Квантификаторы
• Количественная оценка уникальности
• Универсальная количественная оценка

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Хинман, П. (2005). Основы математической логики . А.К. Петерс. ISBN 1-56881-262-0.