Логическое соединение

Логическое соединение

И
Определение	${\ displaystyle xy}$
Таблица истинности	${\ displaystyle (0001)}$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивный	${\ displaystyle xy}$
Конъюнктивный	${\ displaystyle xy}$
Полином Жегалкина	${\ displaystyle xy}$
Решетки столба
0-сохранение	да
1-консервирующий	да
Монотонный	нет
Аффинный	нет
v т е

Диаграмма Венна ${\ displaystyle A \ land B \ land C}$

В логике , математике и лингвистике And (∧) - функциональный оператор логического соединения ; Операция and набора операндов истинна тогда и только тогда, когда все ее операнды истинны. Логическая связка , которая представляет этот оператор , как правило , записывается в виде ∧ или ⋅ . ^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle A\land B}$истинно тогда и только тогда, когда истинно и истинно.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Операнд конъюнкции - это конъюнкт .

Помимо логики, термин «союз» также относится к аналогичным концепциям в других областях:

• В естественном языке , то денотат выражений , таких как английский язык «и».
• В языках программирования короткое замыкание и структура управления .
• В теории множеств , пересечение .
• В теории решеток - логическая конъюнкция ( точная нижняя граница ).
• В логике предикатов , квантор всеобщности .

Обозначение [ править ]

И обычно обозначается инфиксным оператором: в математике и логике он обозначается как ∧ , ^{[1] [3]} & или × ; в электронике, ⋅ ; и в языках программирования, &, &&или and. В январе Лукасевич «s префикс обозначение для логики , оператор K , для польского koniunkcja . ^[4]

Определение [ править ]

Логическое соединение - это операция над двумя логическими значениями , обычно значениями двух предложений , которая производит значение истина тогда и только тогда, когда оба ее операнда истинны. ^{[2] [3]}

Конъюнктивное тождество истинно, то есть объединение выражения И с истинным никогда не изменит значение выражения. В соответствии с концепцией пустой истины , когда конъюнкция определяется как оператор или функция произвольной арности , пустая конъюнкция (операция И над пустым набором операндов) часто определяется как имеющая истинный результат.

Таблица истинности [ править ]

Таблица истинности из : ^{[2] [3]}${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\wedge B}$
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	F
F	F	F

Определено другими операторами [ править ]

В системах, где логическое соединение не является примитивным, его можно определить как ^[5]

${\displaystyle A\land B=\neg (A\to \neg B)}$

или же

${\displaystyle A\land B=\neg (\neg A\lor \neg B).}$

Правила введения и исключения [ править ]

Как правило, введение конъюнкции представляет собой классически допустимую простую форму аргумента . Форма аргумента имеет два помещения, A и B . Интуитивно это позволяет сделать вывод об их соединении.

А ,

B .

Поэтому, и Б .

или в обозначении логического оператора :

${\displaystyle A,}$

${\displaystyle B}$

${\displaystyle \vdash A\land B}$

Вот пример аргумента, который подходит для введения конъюнкции формы :

Боб любит яблоки.

Боб любит апельсины.

Поэтому Боб любит яблоки, а Боб - апельсины.

Исключение конъюнкции - еще одна классически допустимая простая форма аргументации . Интуитивно это позволяет сделать вывод из любого соединения любого элемента этого соединения.

И Б .

Поэтому .

... или, альтернативно,

И Б .

Таким образом, В .

В обозначениях логических операторов :

${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle \vdash A}$

... или, альтернативно,

${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle \vdash B}$

Отрицание [ править ]

Определение [ править ]

Союз доказывается ложным, устанавливая либо или . С точки зрения объектного языка это читается как${\displaystyle A\land B}$${\displaystyle \neg A}$${\displaystyle \neg B}$

${\displaystyle \neg A\to \neg (A\land B)}$

Эту формулу можно рассматривать как частный случай

${\displaystyle (A\to C)\to ((A\land B)\to C)}$

когда это ложное предложение.${\displaystyle C}$

Другие стратегии доказательства [ править ]

Если подразумевает , то оба, а также доказывают ложность конъюнкции:${\displaystyle A}$${\displaystyle \neg B}$${\displaystyle \neg A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle (A\to \neg {}B)\to \neg (A\land B)}$

Другими словами, соединение может быть фактически доказано как ложное, просто зная об отношении его конъюнктов, а не обязательно об их истинностных значениях.

Эту формулу можно рассматривать как частный случай

${\displaystyle (A\to (B\to C))\to ((A\land B)\to C)}$

когда это ложное предложение.${\displaystyle C}$

Любое из приведенных выше доказательств является конструктивным доказательством от противного.

Свойства [ править ]

коммутативность : да

${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle B\land A}$
	${\displaystyle \Leftrightarrow }$

ассоциативность : да

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle ~~~\land ~~~}$	${\displaystyle (B\land C)}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$			${\displaystyle (A\land B)}$	${\displaystyle ~~~\land ~~~}$	${\displaystyle ~C}$
	${\displaystyle ~~~\land ~~~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle ~~~\land ~~~}$

распределенность : с различными операциями, особенно с или

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle \land }$	${\displaystyle (B\lor C)}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$			${\displaystyle (A\land B)}$	${\displaystyle \lor }$	${\displaystyle (A\land C)}$
	${\displaystyle \land }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \lor }$

другие

с эксклюзивным или : ${\displaystyle ~A}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (B\oplus C)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (A\land B)}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle (A\land C)}$ ${\displaystyle \land }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$         ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \oplus }$ с материальным неприкрытием : ${\displaystyle ~A}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (B\nrightarrow C)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (A\land B)}$ ${\displaystyle \nrightarrow }$ ${\displaystyle (A\land C)}$ ${\displaystyle \land }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$         ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \nrightarrow }$ с собой: ${\displaystyle ~A}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (B\land C)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (A\land B)}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (A\land C)}$ ${\displaystyle \land }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$         ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \land }$

идемпотентность : да

${\displaystyle ~A~}$	${\displaystyle ~\land ~}$	${\displaystyle ~A~}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle A~}$
	${\displaystyle ~\land ~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$

монотонность : да

${\displaystyle A\rightarrow B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$			${\displaystyle (A\land C)}$	${\displaystyle \rightarrow }$	${\displaystyle (B\land C)}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \rightarrow }$

сохранение истины: да.
Когда все входные данные верны, выход верен.

${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle A\land B}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$
		(для тестирования)

сохранение ложности: да.
Когда все входы ложны, выход ложен.

${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle A\lor B}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$
(для тестирования)

Спектр Уолша : (1, -1, -1,1)

Non линейность : 1 (функция согнута )

Если для истинного (1) и ложного (0) используются двоичные значения, то логическое соединение работает точно так же, как обычное арифметическое умножение .

Приложения в компьютерной инженерии[ редактировать ]

В высокоуровневом компьютерном программировании и цифровой электронике логическая конъюнкция обычно представлена ​​инфиксным оператором, обычно в виде ключевого слова, такого как « AND», алгебраического умножения или символа амперсанда &(иногда удваивается, как в &&). Многие языки также предоставляют структуры управления коротким замыканием, соответствующие логическому соединению.

Логическое соединение часто используется для побитовых операций, где 0соответствует ложь и 1истина:

• 0 AND 0  =  0,
• 0 AND 1  =  0,
• 1 AND 0  =  0,
• 1 AND 1  =  1.

Операция также может применяться к двум двоичным словам, рассматриваемым как строки битов равной длины, путем выполнения побитового И каждой пары битов в соответствующих позициях. Например:

• 11000110 AND 10100011  =  10000010.

Это можно использовать для выбора части цепочки битов с помощью битовой маски . Например,  =  извлекает пятый бит из 8-битовой строки битов.10011101 AND 0000100000001000

В компьютерных сетях битовые маски используются для получения сетевого адреса подсети в существующей сети из заданного IP-адреса путем операции AND IP-адреса и маски подсети .

Логическое соединение " AND" также используется в операциях SQL для формирования запросов к базе данных.

Соответствие Карри – Ховарда связывает логическое соединение с типами продуктов .

Теоретико-множественная корреспонденция [ править ]

Принадлежность элемента множеству пересечений в теории множеств определяется в терминах логической конъюнкции: x ∈ A ∩ B тогда и только тогда, когда ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B ). Благодаря этому соответствию теоретико-множественное пересечение разделяет несколько свойств с логическим соединением, например ассоциативность , коммутативность и идемпотентность .

Естественный язык [ править ]

Как и в случае с другими понятиями, формализованными в математической логике, логическое соединение и связано с грамматическим союзом и в естественных языках , но не таким же образом .

В английском "and" есть свойства, не фиксируемые логическим соединением. Например, «и» иногда подразумевает порядок, имеющий смысл «тогда». Например, «они поженились и родили ребенка» в обычном дискурсе означает, что брак был заключен раньше ребенка.

Слово «и» также может означать разделение объекта на части, например: «Американский флаг красный, белый и синий». Здесь не подразумевается, что флаг одновременно красный, белый и синий, а скорее, что на нем есть часть каждого цвета.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме логического соединения .

• «Конъюнкция» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: Конъюнкция
• «Таблица свойств и истинности предложений AND» . Архивировано из оригинала 6 мая 2017 года.