В математике , то нижняя грань (сокращенно инф ; множественный Infima ) из подмножества из частично упорядоченного множества это величайший элемент в что меньше или равно всем элементам если такой элемент существует. [1] Следовательно, термин наибольшая нижняя граница (сокращенно GLB ) также широко используется. [1]
Супремум (сокращенно SUP ; множественные супремумы ) подмножеств частично упорядоченного набора является наименьшим элементом в что больше или равно всем элементам если такой элемент существует. [1] Следовательно, супремум также называется наименьшей верхней границей (или LUB ). [1]
Инфимум в точном смысле двойственен понятию супремума. Инфима и верхняя граница действительных чисел - частные частные случаи, которые важны в анализе , и особенно в интеграции Лебега . Однако общие определения остаются в силе и в более абстрактном контексте теории порядка, где рассматриваются произвольные частично упорядоченные множества.
Понятия infimum и supremum аналогичны понятиям минимума и максимума , но они более полезны при анализе, поскольку они лучше характеризуют специальные множества, которые могут не иметь минимума или максимума . Например, набор положительных действительных чисел (не включая 0) не имеет минимума, потому что любой заданный элемент можно просто разделить пополам, что приведет к меньшему количеству, которое все еще находится в . Однако существует ровно одна нижняя грань положительных действительных чисел: 0, которая меньше всех положительных действительных чисел и больше любого другого действительного числа, которое можно использовать в качестве нижней границы.
Формальное определение
Нижняя граница подмножества частично упорядоченного набора это элемент из такой, что
- для всех
Нижняя граница из называется инфимумом (или наибольшей нижней границей , или встречей ) если
- для всех нижних оценок из в ( больше или равно любой другой нижней границе).
Аналогично, верхняя граница подмножества частично упорядоченного набора это элемент из такой, что
- для всех
Верхняя граница из называется супремумом (или точной верхней границей , или соединением ) если
- для всех верхних оценок из в ( меньше любой другой верхней границы).
Существование и уникальность
Инфима и супрема не обязательно существуют. Существование нижней грани подмножества из может потерпеть неудачу, если не имеет нижней границы вообще или если набор нижних границ не содержит наибольшего элемента. Однако, если точная нижняя грань или супремум существует, она уникальна.
Следовательно, частично упорядоченные множества, для которых, как известно, существуют определенные инфимы, становятся особенно интересными. Например, решетка - это частично упорядоченное множество, в котором все непустые конечные подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю границу, а полная решетка - это частично упорядоченное множество, в котором все подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю границу. Более подробную информацию о различных классах частично упорядоченных множеств, возникающих из таких соображений, можно найти в статье о свойствах полноты .
Если супремум подмножества существует, он уникален. Еслисодержит наибольший элемент, тогда этот элемент является супремумом; в противном случае супремум не принадлежит(или не существует). Точно так же, если нижняя грань существует, она уникальна. Еслисодержит наименьший элемент, тогда этот элемент - нижняя грань; в противном случае нижняя грань не принадлежит (или не существует).
Отношение к максимальным и минимальным элементам
Нижняя грань подмножества частично упорядоченного набора предполагая, что он существует, не обязательно принадлежит Если это произойдет, это минимальный или наименьший элемент из Аналогично, если супремум принадлежит это максимальный или наибольший элемент из
Например, рассмотрим набор отрицательных действительных чисел (исключая ноль). В этом наборе нет наибольшего элемента, поскольку для каждого элемента набора существует другой, более крупный элемент. Например, для любого отрицательного действительного числа есть еще одно отрицательное действительное число , что больше. С другой стороны, каждое действительное число, большее или равное нулю, безусловно, является верхней границей этого множества. Следовательно, 0 - это наименьшая верхняя граница отрицательных вещественных чисел, поэтому супремум равен 0. Это множество имеет супремум, но не имеет наибольшего элемента.
Однако определение максимальных и минимальных элементов является более общим. В частности, в наборе может быть много максимальных и минимальных элементов, в то время как инфима и верхняя граница уникальны.
В то время как максимумы и минимумы должны быть членами рассматриваемого подмножества, нижняя грань и верхняя грань подмножества не обязательно должны быть членами этого подмножества.
Минимальные верхние границы
Наконец, частично упорядоченное множество может иметь множество минимальных верхних границ без точной верхней границы. Минимальные верхние границы - это те верхние границы, для которых не существует строго меньшего элемента, который также является верхней границей. Это не означает, что каждая минимальная верхняя граница меньше, чем все другие верхние границы, это просто не больше. Различие между «минимальным» и «минимальным» возможно только в том случае, если данный заказ не является полным . В полностью упорядоченном наборе, как и в реальных числах, концепции те же.
В качестве примера пусть - множество всех конечных подмножеств натуральных чисел и рассмотрим частично упорядоченное множество, полученное взятием всех множеств из вместе с набором целых чисел и набор положительных действительных чисел , упорядоченные по включению подмножества, как указано выше. Тогда ясно, что оба а также больше всех конечных наборов натуральных чисел. Тем не менее, ни то, ни другое меньше чем и обратное неверно: оба набора являются минимальными верхними границами, но ни одно не является супремумом.
Свойство с наименьшей верхней границей
Свойство наименьшей верхней границы является примером вышеупомянутых свойств полноты, которые типичны для набора действительных чисел. Это свойство иногда называют дедекиндовской полнотой .
Если заказанный набор обладает тем свойством, что каждое непустое подмножество имеющая верхнюю границу также имеет наименьшую верхнюю границу, то говорят, что она имеет свойство наименьшей верхней границы. Как отмечалось выше, набориз всех действительных чисел имеет свойство наименьшей верхней границы. Аналогично множествоцелых чисел имеет свойство наименьшей верхней границы; если непустое подмножество и есть какое-то число так что каждый элемент из меньше или равно тогда существует точная верхняя оценка для целое число, которое является верхней границей для и меньше или равен любой другой верхней границе для Упорядоченная комплект также имеет наименее верхнюю границу собственности, а пустое подмножество имеет также верхнюю грань: минимум всего набора.
Примером набора, в котором отсутствует свойство наименьшей верхней границы, является, множество рациональных чисел. Позволять быть набором всех рациональных чисел такой, что потом имеет верхнюю границу ( например, или ), но нет точной верхней границы в : Если предположить является точной верхней оценкой, противоречие сразу выводится, потому что между любыми двумя действительными числами а также (в том числе а также ) существует рациональное , которая сама должна быть наименьшей верхней границей (если ) или член больше чем (если ). Другой пример - гиперреалы ; не существует точной верхней границы множества положительных бесконечно малых.
Имеется соответствующее свойство наибольшей нижней границы ; упорядоченный набор обладает свойством наибольшей нижней границы тогда и только тогда, когда он также обладает свойством наименьшей верхней границы; наименьшая верхняя граница набора нижних границ набора является наибольшей нижней границей, а наибольшая нижняя граница набора верхних границ набора является наименьшей верхней границей набора.
Если в частично упорядоченном наборе каждое ограниченное подмножество имеет верхнюю грань, это также относится к любому множеству в функциональном пространстве, содержащем все функции из к где если и только если для всех в Например, это применимо к реальным функциям, и, поскольку их можно рассматривать как частные случаи функций, к реальным функциям. -наборы и последовательности действительных чисел.
Свойство наименьшей верхней границы является индикатором супремы.
Инфима и супрема действительных чисел
При анализе нижняя и верхняя границы подмножествиз действительных чисел имеют особенно важное значение. Например, отрицательные действительные числа не имеют наибольшего элемента, а их верхняя грань равна(которое не является отрицательным действительным числом). [1] полнота действительных чисел влечет (и эквивалентно) , что любое ограниченное непустое подмножестводействительных чисел имеет точную нижнюю и верхнюю грань. Если не ограничено снизу, часто формально пишут Если является пустой , одна запись
Характеристики
Следующие формулы зависят от обозначений, которые удобно обобщают арифметические операции над множествами: Пусть множества и скаляр Определять
- если и только если и иначе [2]
- ; скалярное произведение набора - это просто скаляр, умноженный на каждый элемент в наборе.
- ; называется суммой Минковского , это арифметическая сумма двух наборов - это сумма всех возможных пар чисел, по одной из каждого набора.
- ; арифметическое произведение двух наборов - это все произведения пар элементов, по одному из каждого набора.
- Если тогда существует последовательность в такой, что Точно так же будет существовать (возможно, другая) последовательность в такой, что Следовательно, если предел это действительное число, и если - непрерывная функция, то обязательно является неотъемлемой частью
В тех случаях, когда нижняя и верхняя границы множеств а также существуют следующие тождества:
- тогда и только тогда, когда для каждого существует с участием а также для каждого
- тогда и только тогда, когда для каждого существует с участием а также для каждого
- Если а потом а также
- Если тогда а также
- Если тогда а также
- а также
- Если а также непустые множества положительных действительных чисел, то и аналогично для suprema . [3]
- Если не пусто и если тогда где это уравнение также выполняется, когда если определение используется. [примечание 1] Это равенство можно также записать как Более того, если и только если где если [примечание 1] тогда
Двойственность
Если обозначить через частично упорядоченный набор с отношением обратного порядка, т. е.
- в если и только если в
затем точная нижняя грань подмножества в равен супремуму в и наоборот.
Для подмножеств действительных чисел имеет место другой вид двойственности: inf S = −sup (- S ), где
Примеры
Инфима
- Нижняя грань набора чисел {2, 3, 4} равна 2 . Число 1 - это нижняя грань, но не точная нижняя грань и, следовательно, не точная нижняя грань.
- В более общем смысле, если набор имеет наименьший элемент, то наименьший элемент является точной нижней гранью для набора. В этом случае его еще называют минимумом набора.
- Если хубывающая последовательность с пределом x , то inf x= х .
Супрема
- Супремум набора чисел {1, 2, 3} равен 3 . Число 4 - это верхняя граница, но не наименьшая верхняя граница и, следовательно, не верхняя грань.
В последнем примере, супремумом множества рациональных чисел является иррациональным , что означает , что рациональные являются неполными .
Одно из основных свойств супремума:
для любых функционалов а также
Супремум подмножества из (ℕ, |), где | обозначает " делит ", является наименьшим общим кратным элементов
Супремум подмножества из ( P , ⊆), где- набор мощности некоторого набора, - супремум по (подмножеству) подмножества из это объединение элементов
Смотрите также
- Essential supremum и Essential infimum
- Наибольший элемент и наименьший элемент
- Максимальные и минимальные элементы
- Ограничить верхний и нижний предел (нижний предел)
- Верхняя и нижняя границы
Заметки
- ^ a b Определениеобычно используется с расширенными действительными числами ; на самом деле, с этим определением равенство также будет выполняться для любого непустого подмножества Однако обозначение обычно остается неопределенным, поэтому равенство дается только тогда, когда
Рекомендации
- ^ a b c d e Рудин, Вальтер (1976). " " Глава 1 Реальные и комплексные системы счисления " ". Принципы математического анализа (печать) (3-е изд.). Макгроу-Хилл. п. 4 . ISBN 0-07-054235-X.
- ^ Рокафеллар & Wets 2009 , стр. 1-2.
- ^ Закон, Элиас (2004). Математический анализ I . Группа Триллия. С. 39–42.
- Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уетс, Роджер Дж .-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 317 . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC 883392544 .
Внешние ссылки
- "Верхняя и нижняя границы" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Брайтенбах, Джером Р. и Вайсштейн, Эрик В. "Infimum and supremum" . MathWorld .