Полнота действительных чисел

Интуитивно полнота подразумевает, что в прямой числовой прямой нет никаких «пробелов» (в терминологии Дедекинда) или «пропущенных точек» . Это контрастирует с рациональными числами , чья соответствующая числовая линия имеет «пробел» при каждом иррациональном значении. В десятичной системе счисления полнота эквивалентна утверждению, что любая бесконечная строка десятичных цифр на самом деле является десятичным представлением некоторого действительного числа.

В зависимости от конструкции используемых действительных чисел полнота может принимать форму аксиомы ( аксиомы полноты ) или может быть теоремой, доказанной на основе конструкции. Есть много эквивалентных форм полноты, наиболее важным из которых является дедекиндово полнота и Коши полнота ( полнота как метрическое пространство ).

Формы полноты [ править ]

В действительных числах могут быть определены синтетический как упорядоченное поле , удовлетворяющим некоторой версию полноты аксиомы . Различные версии этой аксиомы эквивалентны в том смысле , что любое упорядоченное поле, удовлетворяющее условию одна формы полноты удовлетворяет все из них, кроме Кошей полноты и вложенных интервалов теоремы, которые строго слабее в том , что есть не являющийся Архимед полей , которые упорядочены и Коши завершен. Когда вместо этого действительные числа строятся с использованием модели, полнота становится теоремой или набором теорем.

Свойство с наименьшей верхней границей [ править ]

Свойство наименьшей верхней границы утверждает, что каждое непустое подмножество действительных чисел, имеющих верхнюю границу, должно иметь наименьшую верхнюю границу (или супремум) в наборе действительных чисел.

Прямая с рациональными числами Q не имеет свойства наименьшей верхней границы. Примером может служить подмножество рациональных чисел.

{\ displaystyle S = \ {x \ in \ mathbf {Q} | x ^ {2} <2 \}.}

Этот набор имеет верхнюю границу. Тем не менее, этот набор не имеет верхнюю грань в $Q$ : верхняя грань , как подмножество чисел будет $\sqrt2$ , но она не существует в $Q$ . Для любой верхней границы $x \in Q$ существует другая верхняя граница $y \in Q$ с $y < x$ .

Например, возьмем $x = 1,5$ , тогда $x$ определенно является верхней границей $S$ , поскольку $x$ положительно и $x 2 = 2,25 \geq 2$ ; то есть ни один элемент $S$ не превышает $x$ . Однако мы можем выбрать меньшую верхнюю границу, скажем, $y = 1,45$ ; это также верхняя граница $S$ по тем же причинам, но она меньше , чем $х$ , так что $х$ не является наименее верхней гранью $S$ . Мы можем поступить аналогичным образом, чтобы найти верхнюю границу $S,$ которая меньше $y$ , скажем, $z = 1,42$ и т.д., так что мы никогда не найти наименее верхнюю грань $S$ в $Q$ .

Свойство наименьшей верхней границы можно обобщить для настройки частично упорядоченных множеств . См. Полноту (теория порядка) .

Дедекиндова полнота [ править ]

См. Полноту Дедекинда для более общих понятий, носящих это имя.

Полнота Дедекинда - это свойство того, что каждое дедекиндовое сокращение действительных чисел генерируется действительным числом. В синтетическом подходе к действительным числам это вариант полноты, который чаще всего включается в качестве аксиомы.

Рациональное число линия Q не дедекиндово завершена. Примером может служить дедекиндовская огранка.

{\ displaystyle L = \ {x \ in \ mathbf {Q} | x ^ {2} \ leq 2 \ vee x <0 \}.}

{\ displaystyle R = \ {x \ in \ mathbf {Q} | x ^ {2} \ geq 2 \ wedge x> 0 \}.}

L не имеет максимума, а R не имеет минимума, поэтому этот разрез не порождается рациональным числом.

Существует конструкция действительных чисел, основанная на идее использования дедекиндовских сокращений рациональных чисел для именования действительных чисел; например, разрез (L, R), описанный выше, будет называть . Если бы кто-то повторил построение действительных чисел с дедекиндовыми разрезами (т. Е. «Замкнул» набор действительных чисел, добавив все возможные дедекиндовы разрезы), то не получил бы никаких дополнительных чисел, потому что действительные числа уже завершены по Дедекинду. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Полнота Коши [ править ]

Полнота Коши - это утверждение, что каждая последовательность действительных чисел Коши сходится .

Рациональное число линии Q не Коши завершены. Примером может служить следующая последовательность рациональных чисел:

3,\quad 3.1,\quad 3.14,\quad 3.142,\quad 3.1416,\quad \ldots

Здесь n- й член в последовательности - это n- е десятичное приближение для числа пи . Хотя это последовательность рациональных чисел Коши, она не сходится ни к какому рациональному числу. (В этой действительной числовой строке эта последовательность сходится к числу пи.)

Полнота Коши связана с построением действительных чисел с использованием последовательностей Коши. По сути, этот метод определяет действительное число как предел последовательности рациональных чисел Коши.

В математическом анализе полнота Коши может быть обобщена до понятия полноты для любого метрического пространства . См. Полное метрическое пространство .

Для упорядоченного поля полнота Коши слабее, чем другие формы полноты на этой странице. Но полнота Коши и свойство Архимеда, вместе взятые, эквивалентны остальным.

Теорема о вложенных интервалах [ править ]

Теорема о вложенных интервалах - еще одна форма полноты. Пусть $I n = [a n, b n]$ - последовательность отрезков , и предположим, что эти интервалы вложены в том смысле, что

I_{1}\;\supset \;I_{2}\;\supset \;I_{3}\;\supset \;\cdots

Кроме того, предположим, что $b n -a n \to 0$ при $n \to + \infty$ . Теорема о вложенном интервале утверждает, что пересечение всех интервалов $I n$ содержит ровно одну точку.

Рациональное число линия не удовлетворяет теореме вложенную интервала. Например, последовательность (термины которой получены из цифр числа Пи предложенным способом)

[3,4]\;\supset \;[3.1,3.2]\;\supset \;[3.14,3.15]\;\supset \;[3.141,3.142]\;\supset \;\cdots

представляет собой вложенную последовательность отрезков в рациональных числах, пересечение которых пусто. (В вещественных числах пересечение этих интервалов содержит число пи .)

Теорема о вложенных интервалах имеет тот же логический статус, что и полнота Коши в этом спектре выражений полноты. Другими словами, теорема о вложенных интервалах сама по себе слабее, чем другие формы полноты, хотя вместе со свойством Архимеда она эквивалентна другим.

Теорема о монотонной сходимости [ править ]

Теорема монотонной сходимости (описывается как фундаментальная аксиома анализа по Кернеру (2004) ) говорится , что каждый неубывающие, ограниченная последовательность действительных чисел сходятся. Это можно рассматривать как частный случай свойства наименьшей верхней границы, но его также можно довольно непосредственно использовать для доказательства полноты Коши действительных чисел.

Теорема Больцано – Вейерштрасса [ править ]

Теорема Больцано – Вейерштрасса утверждает, что каждая ограниченная последовательность действительных чисел имеет сходящуюся подпоследовательность . Опять же, эта теорема эквивалентна другим формам полноты, приведенным выше.

Теорема о промежуточном значении [ править ]

Теорема о промежуточном значении утверждает, что каждая непрерывная функция, которая принимает как отрицательные, так и положительные значения, имеет корень. Это следствие свойства наименьшей верхней границы, но его также можно использовать для доказательства свойства наименьшей верхней границы, если рассматривать его как аксиому. (Определение непрерывности не зависит от какой-либо формы полноты, поэтому оно не является круговым.)

См. Также [ править ]

Список реальных тем анализа

Ссылки [ править ]

Алипрантис, Хараламбос Д .; Буркиншоу, Оуэн (1998). Принципы реального анализа (Третье изд.). Академический. ISBN 0-12-050257-7. CS1 maint: discouraged parameter (link)
Браудер, Эндрю (1996). Математический анализ: введение . Тексты для бакалавриата по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
Бартл, Роберт Дж .; Шерберт, Дональд Р. (2000). Введение в реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-32148-6.
Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа . Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
Кёрнер, Томас Уильям (2004), Помощник по анализу: второй первый и первый второй курсы анализа , AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-3447-3 CS1 maint: discouraged parameter (link)
Рудин, Вальтер. Принципы математического анализа . Вальтер Рудин Студенческая серия по высшей математике (3-е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.
Данджелло, Фрэнк; Сейфрид, Майкл (1999). Вводный реальный анализ . Брукс Коул. ISBN 978-0-395-95933-6.
Брессуд, Дэвид (2007). Радикальный подход к реальному анализу . MAA. ISBN 0-88385-747-2.