Свойство с наименьшей верхней границей

В математике свойство наименьшей верхней границы ( иногда называемое свойством полноты , супремумом или люб - свойством ) ^[1] является фундаментальным свойством действительных чисел . В более общем смысле частично упорядоченное множество X обладает свойством наименьшей верхней границы, если каждое непустое подмножество X с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу ( верхнюю грань) в X . Не каждое (частично) упорядоченное множество обладает свойством наименьшей верхней границы. Например, множество всех рациональных чисел${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$с его естественным порядком не имеет свойства наименьшей верхней границы.

Свойство наименьшей верхней границы является одной из форм аксиомы полноты для действительных чисел и иногда упоминается как полнота Дедекинда . ^[2] Его можно использовать для доказательства многих фундаментальных результатов реального анализа , таких как теорема о промежуточном значении , теорема Больцано-Вейерштрасса , теорема об экстремальном значении и теорема Гейне-Бореля . Это обычно принимается как аксиома в синтетических построениях действительных чисел , и это также тесно связано с построением действительных чисел с помощью разрезов Дедекинда .

В теории порядка это свойство можно обобщить на понятие полноты для любого частично упорядоченного множества . Линейно упорядоченное множество , плотное и обладающее свойством наименьшей верхней границы, называется линейным континуумом .

Свойство наименьшей верхней границы утверждает, что любое непустое множество действительных чисел, имеющее верхнюю границу, должно иметь наименьшую верхнюю границу в действительных числах .

В более общем смысле можно определить верхнюю границу и наименьшую верхнюю границу для любого подмножества частично упорядоченного множества X , заменив «действительное число» на «элемент X ». В этом случае мы говорим, что X обладает свойством наименьшей верхней границы , если каждое непустое подмножество X с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу в X.

Например, множество Q рациональных чисел не имеет свойства наименьшей верхней границы при обычном порядке. Например, набор

Каждое непустое ограниченное сверху подмножество действительных чисел имеет наименьшую верхнюю границу.${\ Displaystyle М}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Красный: комплект . Синий: множество его верхних границ в .${\ Displaystyle \ влево \ {х \ в \ mathbf {Q}: х ^ {2} \ leq 2 \ вправо \}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Q}}$