Теорема об экстремальном значении

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Непрерывная функция на закрытом интервале, показывающая абсолютный максимум (красный) и абсолютный минимум (синий).${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle [а, б]}$

В исчислении , то теорема экстремальное значение утверждает , что если вещественная функция является непрерывной на замкнутом интервале , то должно достигнуть максимума и минимума , каждый из которых по крайней мере один раз. То есть существуют числа и в таком, что:${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle [а, б]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle d}$${\ Displaystyle [а, б]}$

${\ Displaystyle е (с) \ geq е (х) \ geq f (d) \ quad \ forall x \ in [a, b]}$

Экстремальное значение теорема более конкретно , чем соответствующая теорема ограниченности , в которой говорится только то , что непрерывная функция на отрезке будет ограничена на этом интервал; то есть существуют действительные числа и такие, что:${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle [а, б]}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle м \ Leq е (х) \ Leq М \ четырехъядерный \ forall х \ в [а, b]}$

и числа такие, что = и = .${\ displaystyle c, d \ in [a, b]}$${\ displaystyle f (c)}$  ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle f (d)}$  ${\ displaystyle M}$

Это не говорит о том , что и обязательно максимальные и минимальные значения на интервале , который является тем, что экстремальное значение оговаривает теорема также должна быть.${\ displaystyle M}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle [а, б],}$

Теорема об экстремальном значении используется для доказательства теоремы Ролля . В рецептуре из - за Карл Вейерштрассу , эта теорема утверждает , что непрерывная функция от непустого компактного пространства на подмножество из действительных чисел достигает максимум и минимум.

История [ править ]

Теорема об экстремальном значении была первоначально доказана Бернардом Больцано в 1830-х годах в работе « Теория функций», но эта работа оставалась неопубликованной до 1930 года. Доказательство Больцано состояло в том, чтобы показать, что непрерывная функция на отрезке ограничена, а затем показать, что функция достигает некоторого максимальное и минимальное значение. Оба доказательства включают то, что сегодня известно как теорема Больцано – Вейерштрасса . ^[1] В результате было также обнаружено позже Вейерштрассом в 1860. ^{[ править ]}

Функции, к которым теорема не применяется [ править ]

Следующие примеры показывают, почему функциональная область должна быть замкнутой и ограниченной, чтобы теорема применялась. Каждому из них не удается достичь максимума на заданном интервале.

1. ${\ Displaystyle е (х) = х}$определенный над не ограничен сверху.${\ displaystyle [0, \ infty)}$
2. ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x} {1 + x}}}$определено над ограничено, но не достигает своей точной верхней границы .${\ displaystyle [0, \ infty)}$${\ displaystyle 1}$
3. ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}$определенный над не ограничен сверху.${\ displaystyle (0,1]}$
4. ${\displaystyle f(x)=1-x}$определено над , ограничено, но никогда не достигает своей точной верхней границы .${\displaystyle (0,1]}$${\displaystyle 1}$

Определение в последних двух примерах показывает, что обе теоремы требуют непрерывности на .${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle [a,b]}$

Обобщение на метрические и топологические пространства [ править ]

При переходе от вещественной прямой к метрическим и общим топологическим пространствам подходящим обобщением замкнутого ограниченного интервала является компакт . Набор называется компактным, если он обладает следующим свойством: из любого набора открытых наборов, такого что , может быть выбрано такое конечное подколлекция , что . Обычно это кратко формулируется как «каждая открытая обложка имеет конечное дополнительное покрытие». Теорема Гейне – Бореля утверждает, что подмножество вещественной прямой компактно тогда и только тогда, когда оно одновременно замкнуто и ограничено. Соответственно, метрическое пространство обладает свойством Гейне – Бореля${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$${\textstyle \bigcup U_{\alpha }\supset K}$${\displaystyle U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}}$${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}U_{\alpha _{i}}\supset K}$${\displaystyle K}$ если каждое замкнутое и ограниченное множество также компактно.

Аналогичным образом можно обобщить понятие непрерывной функции. Учитывая топологические пространства , функция называется непрерывным , если для каждого открытого множества , также открыт. С учетом этих определений можно показать, что непрерывные функции сохраняют компактность: ^[2]${\displaystyle V,\ W}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle U\subset W}$${\displaystyle f^{-1}(U)\subset V}$

Теорема. Если являются топологическими пространствами, является непрерывной функцией и компактно, то также компактно.${\displaystyle V,\ W}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle K\subset V}$${\displaystyle f(K)\subset W}$

В частности, если , то из этой теоремы следует, что он замкнут и ограничен для любого компакта , что, в свою очередь, означает, что он достигает своих верхних и нижних граней на любом (непустом) компакте . Таким образом, мы имеем следующее обобщение теоремы об экстремальном значении: ^[2]${\displaystyle W=\mathbb {R} }$${\displaystyle f(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$

Теорема. Если - компакт и является непрерывной функцией, то ограничена и существуют такие, что и .${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f:K\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p,q\in K}$ ${\textstyle f(p)=\sup _{x\in K}f(x)}$ ${\textstyle f(q)=\inf _{x\in K}f(x)}$

В более общем смысле это также верно для полунепрерывной сверху функции. (см. компактное пространство # Функции и компактные пространства ).

Доказательство теорем [ править ]

Мы смотрим на доказательство верхней оценки и максимума . Применяя эти результаты к функции , следует существование нижней границы и результат для минимума из следующих. Также обратите внимание, что все в доказательстве сделано в контексте действительных чисел .${\displaystyle f}$${\displaystyle -f}$${\displaystyle f}$

Сначала мы докажем теорему об ограниченности, которая является шагом в доказательстве теоремы об экстремальном значении. Основные этапы доказательства теоремы об экстремальном значении:

1. Докажите теорему об ограниченности.
2. Найти последовательность так , чтобы его изображение сходится к супремуму из .${\displaystyle f}$
3. Покажите, что существует подпоследовательность, которая сходится к точке в области .
4. Используйте непрерывность, чтобы показать, что образ подпоследовательности сходится к супремуму.

Доказательство теоремы об ограниченности [ править ]

Утверждение   Если непрерывно на, то оно ограничено на${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,b]}$

Предположим, что функция не ограничена сверху на интервале . Тогда для каждого натурального числа существует такое, что . Это определяет последовательность . Поскольку ограничена, то теорема Больцано-Вейерштрасса следует , что существует сходящаяся подпоследовательность из . Обозначим его предел через . Поскольку закрыто, оно содержит . Поскольку непрерывно в , мы знаем , что сходится к действительному числу (как это последовательно непрерывен на ). Но для каждого , что означает, что расходится${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}\in [a,b]}$${\displaystyle f(x_{n})>n}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle ({x_{n}})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})>n_{k}\geq k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})}$ + ∞ {\displaystyle +\infty } Противоречие. Следовательно, ограничено сверху на . ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$ ◻ {\displaystyle \Box }

Альтернативное доказательство [ править ]

Утверждение   Если непрерывно на, то оно ограничено на${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,b]}$

Доказательство.    Рассмотрим множество точек в таком, что ограничено на . Отметим, что это одна из таких точек, поскольку она ограничена значением . Если это другая точка, то все точки между и также принадлежат . Другими словами , это интервал, закрытый на левом конце на .${\displaystyle B}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,x]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,a]}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle e>a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a}$

Теперь непрерывно справа в точке , следовательно, существует такое, что для всех в . Таким образом , ограничен интервалом и на интервале, так что все эти точки принадлежат .${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(x)-f(a)|<1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,a+\delta ]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(a)-1}$${\displaystyle f(a)+1}$${\displaystyle [a,a+\delta ]}$${\displaystyle B}$

Пока что мы знаем, что это интервал ненулевой длины, закрытый на левом конце на .${\displaystyle B}$${\displaystyle a}$

Далее, ограничено сверху . Следовательно, множество имеет верхнюю грань в  ; позвольте нам называть это . Из ненулевой длины мы можем вывести это .${\displaystyle B}$${\displaystyle b}$${\displaystyle B}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B}$${\displaystyle s>a}$

Допустим . Теперь непрерывна в точке , следовательно, существует такая, что для всех в так, что ограничено на этом интервале. Но из верховенства этого следует, что существует точка, принадлежащая , скажем, большему, чем . Таким образом , ограничено, на которое накладывается так, что ограничено . Однако это противоречит верховенству . ${\displaystyle s<b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(x)-f(s)|<1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B}$${\displaystyle e}$${\displaystyle s-\delta /2}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,e]}$${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,s+\delta ]}$${\displaystyle s}$

Следовательно, мы должны иметь . Теперь непрерывно слева в точке , следовательно, существует такое, что для всех в так, что ограничено на этом интервале. Но из верховенства этого следует, что существует точка, принадлежащая , скажем, большему, чем . Таким образом , ограничено, на которое накладывается так, что ограничено .  ∎${\displaystyle s=b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(x)-f(s)|<1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [s-\delta ,s]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B}$${\displaystyle e}$${\displaystyle s-\delta /2}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,e]}$${\displaystyle [s-\delta ,s]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,s]}$

Доказательство теоремы об экстремальном значении [ править ]

По теореме об ограниченности f ограничена сверху, следовательно, в силу дедекиндовости полноты действительных чисел точная верхняя грань (супремум) M для f существует. Необходимо найти точку d в [ a , b ] такую, что M = f ( d ). Пусть n - натуральное число. Поскольку M - точная верхняя граница, M - 1 / n не является верхней границей для f . Следовательно, существует d _n в [ a , b], так что M - 1 / n < f ( d _n ). Это определяет последовательность { d _n }. Поскольку M является верхней границей для f , мы имеем M - 1 / n < f ( d _n ) ≤ M для всех n . Таким образом, последовательность { F ( d _п )} сходится к М .

Теорема Больцано – Вейерштрасса говорит нам, что существует подпоследовательность { }, которая сходится к некоторому d и, поскольку [ a , b ] замкнуто, d находится в [ a , b ]. Поскольку f непрерывна в d , последовательность { f ( )} сходится к f ( d ). Но { f ( d _{n k} )} - подпоследовательность { f ( d _n )}, сходящаяся к M , поэтому M = f (${\displaystyle d_{n_{k}}}$${\displaystyle d_{n_{k}}}$г ). Следовательно, f достигает своего супремума M в точке d . ∎

Альтернативное доказательство теоремы об экстремальном значении [ править ]

Множество { y ∈ R  : y = f ( x ) для некоторого x ∈ [ a , b ] } является ограниченным множеством. Следовательно, его наименьшая верхняя граница существует благодаря свойству наименьшей верхней границы действительных чисел. Пусть M  = sup ( f ( x )) на [ a ,  b ]. Если на [ a , b ] нет точки x ,  так что f ( x ) =  M, то f ( x ) < М на [ а ,  б ]. Следовательно, 1 / ( M  -  f ( x )) непрерывно на [ a , b ].

Однако для каждого положительного числа ε всегда найдется x в [ a ,  b ] такое, что M  -  f ( x ) <  ε, поскольку M - точная верхняя граница. Следовательно, 1 / ( M  -  f ( x ))> 1 / ε , что означает, что 1 / ( M  -  f ( x )) не ограничено. Поскольку каждая непрерывная функция на a [ a , b ] ограничена, это противоречит заключению, что 1 / ( M  -  f ( x)) была непрерывна на [ a ,  b ]. Следовательно, должно быть точкой х в [ ,  Ь ] такая , что F ( х ) =  М . ∎

Доказательство с использованием гиперреалов [ править ]

В условиях нестандартного исчисления пусть N   - бесконечное гиперинтегральное число . Интервал [0, 1] имеет естественное гиперреальное расширение. Рассмотрим его разбиение на N подынтервалов одинаковой бесконечно малой длины 1 / Н , с точки разбиения х _я  = I  / N , как я «прогонов» от 0 до N . Функция ƒ   также естественным образом расширяется до функции ƒ *, определенной на гиперреалах между 0 и 1. Обратите внимание, что в стандартной настройке (когда N   конечно), точка с максимальным значениемƒ всегда можно выбрать среди N +1 точек x _i по индукции. Следовательно, по принципу переноса , есть hyperinteger я ₀ такие , что 0 ≤ я ₀  ≤ N , и   для всех я  = 0, ...,  N . Рассмотрим реальную точку${\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})}$

${\displaystyle c=\mathbf {st} (x_{i_{0}})}$

где st - стандартная функция детали . Произвольная действительная точка x лежит в подходящем подынтервале разбиения, а именно так, что  st ( x _i ) = x . Применяя st к неравенству , получаем . В силу непрерывности ƒ   мы имеем${\displaystyle x\in [x_{i},x_{i+1}]}$${\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})}$${\displaystyle \mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))\geq \mathbf {st} (f^{*}(x_{i}))}$

${\displaystyle \mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))=f(\mathbf {st} (x_{i_{0}}))=f(c)}$.

Следовательно, ƒ ( c ) ≥ ƒ ( x ) для всех действительных x , что доказывает, что c является максимумом ƒ . ^[3]

Доказательство из первых принципов [ править ]

Утверждение      If непрерывно на, то достигает супремума на${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,b]}$

Доказательство      По теореме об ограниченности, ограничено сверху и по свойству полноты действительных чисел имеет верхнюю грань в . Назовем это , или . Понятно, что ограничение на подынтервал, где имеет верхнюю грань, которая меньше или равна , и которая увеличивается от до по мере увеличения от до .${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M[a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,x]}$${\displaystyle x\leq b}$${\displaystyle M[a,x]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M[a,x]}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Если тогда мы закончили. Предположим поэтому, что и пусть . Рассмотрим набор точек в таком, что .${\displaystyle f(a)=M}$${\displaystyle f(a)<M}$${\displaystyle d=M-f(a)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle M[a,x]<M}$

Ясно  ; кроме того, если это другая точка, то все точки между и также принадлежат, потому что монотонно возрастает. Следовательно , это непустой интервал, замкнутый на левом конце на .${\displaystyle a\in L}$${\displaystyle e>a}$${\displaystyle L}$${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M[a,x]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle a}$

Теперь непрерывно справа в точке , следовательно, существует такое, что для всех в . Таким образом меньше, чем на интервале, чтобы все эти точки принадлежали . ${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(x)-f(a)|<d/2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,a+\delta ]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M-d/2}$${\displaystyle [a,a+\delta ]}$${\displaystyle L}$

Далее, ограничено сверху и, следовательно, имеет верхнюю грань в  : назовем это . Мы видим это из вышеизложенного . Мы покажем, что это именно та точка, которую мы ищем, т.е. точка, в которой достигается верхняя грань, или другими словами .${\displaystyle L}$${\displaystyle b}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s>a}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(s)=M}$

Предположим противное, а именно. . Рассмотрим следующие два случая:${\displaystyle f(s)<M}$${\displaystyle d=M-f(s)}$

(1)    . Поскольку непрерывно при , существует такое, что для всех в . Это означает, что меньше, чем на интервале . Но из верховенства этого следует, что существует точка, скажем, принадлежащая которой больше чем . По определению , . Пусть тогда для всех ин , . Принимая быть минимум и , мы имеем для всех в .${\displaystyle s<b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(x)-f(s)|<d/2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M-d/2}$${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle e}$${\displaystyle L}$${\displaystyle s-\delta }$${\displaystyle L}$${\displaystyle M[a,e]<M}$${\displaystyle d_{1}=M-M[a,e]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,e]}$${\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$${\displaystyle d/2}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,s+\delta ]}$

Значит так, что . Однако это противоречит верховенству и завершает доказательство.${\displaystyle M[a,s+\delta ]<M}$${\displaystyle s+\delta \in L}$${\displaystyle s}$

(2)    . Поскольку слева непрерывно в , существует такое, что для всех в . Это означает, что меньше, чем на интервале . Но из верховенства этого следует, что существует точка, скажем, принадлежащая которой больше чем . По определению , . Пусть тогда для всех ин , . Принимая быть минимум и , мы имеем для всех в . Это противоречит преимуществу и завершает доказательство. ∎${\displaystyle s=b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(x)-f(s)|<d/2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [s-\delta ,s]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M-d/2}$${\displaystyle [s-\delta ,s]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle e}$${\displaystyle L}$${\displaystyle s-\delta }$${\displaystyle L}$${\displaystyle M[a,e]<M}$${\displaystyle d_{1}=M-M[a,e]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,e]}$${\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$${\displaystyle d/2}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle M}$

Расширение на полунепрерывные функции [ править ]

Если непрерывность функции f ослаблена до полунепрерывности , то соответствующая половина теоремы об ограниченности и теоремы об экстремальном значении выполняется, и значения –∞ или + ∞, соответственно, из расширенной числовой прямой могут быть разрешены как возможные значения. Точнее:

Теорема: если функция f  : [ a , b ] → [–∞, ∞) полунепрерывна сверху, что означает, что

${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)}$

для всех x в [ a , b ], то f ограничена сверху и достигает своей верхней грани.

Доказательство. Если f ( x ) = –∞ для всех x в [ a , b ], то супремум также равен –∞ и теорема верна. Во всех остальных случаях доказательство представляет собой небольшую модификацию приведенных выше доказательств. В доказательстве теоремы об ограниченности из полунепрерывности сверху функции f в точке x следует только, что верхний предел подпоследовательности { f ( x _{n k} )} ограничен сверху величиной f ( x ) <∞, но этого достаточно, чтобы получаем противоречие. В доказательстве теоремы о крайнем значении полунепрерывность сверху функции f вd означает , что верхний предел подпоследовательности { е ( г _{п K} )} ограничена сверху ф ( г ), но этого достаточно , чтобы сделать вывод , что п ( d ) = M . ∎

Применение этого результата к - f доказывает:

Теорема: если функция f  : [ a , b ] → (–∞, ∞] полунепрерывна снизу, что означает, что

${\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)}$

для всех x из [ a , b ], то f ограничена снизу и достигает своей нижней грани .

Вещественнозначная функция полунепрерывна как сверху, так и снизу, если и только если она непрерывна в обычном смысле. Следовательно, из этих двух теорем следует теорема об ограниченности и теорема об экстремальном значении.

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Адамс, Роберт А. (1995). Исчисление: полный курс . Читает: Эддисон-Уэсли. С. 706–707. ISBN 0-201-82823-5.
• Проттер, MH ; Морри, CB (1977). «Теоремы об ограниченности и экстремальности» . Первый курс реального анализа . Нью-Йорк: Спрингер. С. 71–73. ISBN 0-387-90215-5.

Внешние ссылки [ править ]

• Доказательство теоремы об экстремальном значении при разрубании узла
• Теорема об экстремальном значении Жаклин Вандзура с дополнительными вкладами Стивена Вандзуры, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема об экстремальном значении» . MathWorld .
• Подтверждение системы Mizar : http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15