Компактное пространство

Согласно критерию компактности евклидова пространства, сформулированному в теореме Гейне – Бореля , интервал A = (−∞, −2] не является компактным, поскольку он не ограничен. Интервал C = (2, 4) не является компактным, поскольку он не замкнут, интервал B = [0, 1] компактен, потому что он одновременно замкнут и ограничен.

В математике , более конкретно в общей топологии , компактность - это свойство, которое обобщает понятие подмножества евклидова пространства как замкнутого (т. Е. Содержащего все его предельные точки ) и ограниченного (т. Е. Все его точки лежат на некотором фиксированном расстоянии от каждого Другой). ^{[1] [2]} Примеры включают отрезок , прямоугольник или конечный набор точек. Это понятие определяется для более общих топологических пространств, чем евклидово пространство, различными способами.

Одно из таких обобщений состоит в том, что топологическое пространство последовательно компактно, если каждая бесконечная последовательность точек, выбранных из пространства, имеет бесконечную подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке пространства. ^[3] Теорема Больцано – Вейерштрасса утверждает, что подмножество евклидова пространства компактно в этом секвенциальном смысле тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Таким образом, если выбрать бесконечное количество точек в замкнутом единичном интервале [0, 1] , некоторые из этих точек будут сколь угодно близки к некоторому действительному числу в этом пространстве. Например, некоторые числа в последовательности 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7,…накапливаются до 0 (в то время как другие накапливаются до 1). Один и тот же набор точек не может накапливаться ни в одной точке открытого единичного интервала (0, 1) ; поэтому открытый единичный интервал не компактен. Само евклидово пространство не компактно, поскольку не ограничено. В частности, последовательность точек 0, 1, 2, 3,… , которая не ограничена, не имеет подпоследовательности, сходящейся к какому-либо действительному числу.

Понятие компактного пространства было формально введено Морисом Фреше в 1906 году для обобщения теоремы Больцано – Вейерштрасса на пространства функций , а не на геометрические точки. Применение компактности для классического анализа, такие как теоремы Арцела и существования Пеано теоремы являются такого рода. После первоначального введения концепции в общих метрических пространствах были развиты различные эквивалентные понятия компактности, включая секвенциальную компактность и компактность по предельным точкам . ^[4] Однако в общих топологических пространствах различные понятия компактности не обязательно эквивалентны. Наиболее полезное понятие, которое является стандартным определением безоговорочного термина компактность , сформулировано в терминах существования конечных семейств открытых множеств, которые « покрывают » пространство в том смысле, что каждая точка пространства лежит в некотором множестве, содержащемся в семья. Это более тонкое понятие, введенное Павлом Александровым и Павлом Урысоном в 1929 году, показывает компактные пространства как обобщения конечных множеств . В пространствах, компактных в этом смысле, часто можно склеить информацию, которая хранится локально.- то есть в окрестности каждой точки - в соответствующие утверждения, справедливые во всем пространстве, и многие теоремы имеют этот характер.

Термин компактный набор иногда используется как синоним компактного пространства, но часто также относится к компактному подпространству топологического пространства.

Историческое развитие [ править ]

В 19 веке были поняты несколько разрозненных математических свойств, которые позже будут рассматриваться как следствия компактности. С одной стороны, Бернар Больцано ( 1817 г. ) знал, что любая ограниченная последовательность точек (например, на прямой или на плоскости) имеет подпоследовательность, которая в конечном итоге должна произвольно приближаться к некоторой другой точке, называемой предельной точкой . Доказательство Больцано опиралось на метод деления пополам.: последовательность была помещена в интервал, который затем был разделен на две равные части, и была выбрана часть, содержащая бесконечно много членов последовательности. Затем процесс можно повторить, разделив полученный меньший интервал на все меньшие и меньшие части - до тех пор, пока он не приблизится к желаемой предельной точке. Полное значение теоремы Больцано и ее метода доказательства проявятся лишь спустя почти 50 лет, когда она была заново открыта Карлом Вейерштрассом . ^[5]

В 1880-х годах стало ясно, что результаты, подобные теореме Больцано – Вейерштрасса, могут быть сформулированы для пространств функций, а не просто чисел или геометрических точек. Идея рассматривать функции как точки обобщенного пространства восходит к исследованиям Джулио Асколи и Чезаре Арсела . ^[6] Кульминация их исследований, теорема Арцела – Асколи , была обобщением теоремы Больцано – Вейерштрасса на семейства непрерывных функций , точный вывод из которого состоял в том, что можно извлечь равномерно сходящуюсяпоследовательность функций из подходящего семейства функций. Тогда равномерный предел этой последовательности играл в точности ту же роль, что и «предельная точка» Больцано. К началу двадцатого века результаты, подобные результатам Арцела и Асколи, начали накапливаться в области интегральных уравнений , как это исследовали Дэвид Гильберт и Эрхард Шмидт . Для определенного класса функций Грина, возникающих из решений интегральных уравнений, Шмидт показал, что свойство, аналогичное теореме Арцела – Асколи, имеет место в смысле сходимости в среднем - или сходимости в том, что позже будет называться гильбертовым пространством . В конечном итоге это привело к понятию компактного операторакак ответвление общего понятия компактного пространства. Именно Морис Фреше в 1906 г. выявил суть свойства Больцано – Вейерштрасса и ввел термин компактность для обозначения этого общего явления (он использовал этот термин уже в своей статье 1904 г. ^[7], которая привела к знаменитому тезису 1906 г. ).

Однако в конце 19-го века из-за изучения континуума , которое считалось основополагающим для строгой формулировки анализа, постепенно возникло и другое понятие компактности в целом . В 1870 году Эдуард Гейне показал, что непрерывная функция, определенная на замкнутом и ограниченном интервале, на самом деле является равномерно непрерывной . В ходе доказательства он использовал лемму о том, что из любого счетного покрытия интервала меньшими открытыми интервалами можно выбрать конечное число из них, которые также покрывают его. Значение этой леммы было признано Эмилем Борелем ( 1895 г. ), и она была обобщена на произвольные наборы интерваловПьер Кузен (1895) и Анри Лебег ( 1904 ). Теорема Гейне – Бореля , как теперь известен результат, является еще одним специальным свойством, которым обладают замкнутые и ограниченные множества действительных чисел.

Это свойство было важным, поскольку позволяло переход от локальной информации о множестве (такой как непрерывность функции) к глобальной информации о множестве (такой как равномерная непрерывность функции). Это мнение было выражено Лебегом (1904) , который также использовал его при разработке интеграла, носящего теперь его имя . В конечном итоге российская школа точечной топологии под руководством Павла Александрова и Павла Урысона сформулировала компактность Гейне – Бореля таким образом, чтобы ее можно было применить к современному понятию топологического пространства . Александров и Урысон (1929)показал, что более ранняя версия компактности, придуманная Фреше, теперь называемая (относительной) секвенциальной компактностью , при соответствующих условиях вытекает из версии компактности, сформулированной в терминах существования конечных подпокрытий. Именно это понятие компактности стало доминирующим, потому что оно было не только более сильным свойством, но и могло быть сформулировано в более общих условиях с минимумом дополнительных технических средств, поскольку оно полагалось только на структуру открытых множеств. в пространстве.

Основные примеры [ править ]

Любое конечное пространство тривиально компактно. Нетривиальный пример компактного пространства (замкнутый) единичный интервал [0,1] из действительных чисел . Если выбрать бесконечное количество различных точек в единичном интервале, то в этом интервале должна быть некоторая точка накопления . Например, члены с нечетными номерами последовательности 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... становятся сколь угодно близкими к 0, в то время как четные становятся произвольно близкими к 1. Приведенная последовательность примеров показывает важность включения граничных точек интервала, поскольку предельные точкидолжно быть в самом пространстве - открытый (или полуоткрытый) интервал действительных чисел не является компактным. Также очень важно, чтобы интервал был ограничен , поскольку в интервале [0, ∞) можно было выбрать последовательность точек 0, 1, 2, 3, ... , из которых никакая подпоследовательность в конечном итоге не приближается сколь угодно близко к любое данное действительное число.

В двух измерениях замкнутые диски компактны, поскольку для любого бесконечного числа точек, отобранных с диска, некоторое подмножество этих точек должно быть произвольно близко либо к точке внутри диска, либо к точке на границе. Однако открытый диск не является компактным, потому что последовательность точек может стремиться к границе, не приближаясь произвольно к какой-либо точке внутри. Точно так же сферы компактны, но сфера с отсутствующей точкой - нет, поскольку последовательность точек все еще может стремиться к отсутствующей точке, тем самым не приближаясь произвольно к какой-либо точке в пространстве. Линии и плоскости не являются компактными, поскольку можно взять набор равноотстоящих точек в любом заданном направлении, не приближаясь к какой-либо точке.

Определения [ править ]

В зависимости от уровня общности могут применяться различные определения компактности. В частности, подмножество евклидова пространства называется компактным, если оно замкнуто и ограничено . Это означает, по теореме Больцано – Вейерштрасса , что любая бесконечная последовательность из множества имеет подпоследовательность , сходящуюся к точке в множестве. Различные эквивалентные понятия компактности, такие как секвенциальная компактность и компактность по предельным точкам , могут быть развиты в общих метрических пространствах . ^[4]

Напротив, различные понятия компактности не эквивалентны в общих топологических пространствах , а наиболее полезное понятие компактности, первоначально названное бикомпактностью , определяется с помощью покрытий, состоящих из открытых множеств (см. Определение открытого покрытия ниже). То, что эта форма компактности выполняется для замкнутых и ограниченных подмножеств евклидова пространства, известно как теорема Гейне – Бореля . Компактность, когда ее определяют таким образом, часто позволяет брать информацию, которая известна локально - в районе.каждой точки пространства - и распространить ее на информацию, которая хранится в глобальном масштабе во всем пространстве. Примером этого явления является теорема Дирихле, к которой она была первоначально применена Гейне, о том, что непрерывная функция на компактном интервале равномерно непрерывна ; здесь непрерывность - это локальное свойство функции, а равномерная непрерывность - соответствующее глобальное свойство.

Определение открытой обложки [ править ]

Формально топологическое пространство X называется компактным, если каждое его открытое покрытие имеет конечное подпокрытие . ^[8] То есть X компактно, если для любого набора C открытых подмножеств X такого, что

${\displaystyle X=\bigcup _{x\in C}x}$,

существует конечное подмножество F в C такое, что

${\displaystyle X=\bigcup _{x\in F}x.}$

Некоторые разделы математики, такие как алгебраическая геометрия , обычно находящиеся под влиянием французской школы Бурбаки , используют термин квазикомпактный для общего понятия и резервируют термин компактный для топологических пространств, которые одновременно являются хаусдорфовыми и квазикомпактными . Компактное множество иногда называют компактом , множественными компактами .

Компактность подмножеств [ править ]

Подмножество K топологического пространства X называется компактным, если оно компактно как подпространство (в топологии подпространства ). То есть K компактно, если для любого произвольного набора C открытых подмножеств X такого, что

${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{c\in C}c}$,

существует конечное подмножество F в C такое, что

${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{c\in F}c}$.

Компактность - это «топологическое» свойство. То есть, если , с подмножеством Z , наделенное топологией подпространства, то К компактно в Z , если и только если K компактно в Y .${\displaystyle K\subset Z\subset Y}$

Эквивалентные определения [ править ]

Если X - топологическое пространство, то следующие утверждения эквивалентны:

1. X компактно.
2. Каждое открытое покрытие из X имеет конечное подпокрытие .
3. X имеет такую ​​подбазу, что каждое покрытие пространства членами подбазы имеет конечное подпокрытие ( теорема Александера о подбазе )
4. Х является Линделёфом и счетно компактно ^[9]
5. Любой набор замкнутых подмножеств X со свойством конечного пересечения имеет непустое пересечение.
6. Каждая сеть на X имеет сходящуюся подсеть (см. Статью о сетях для доказательства).
7. Каждый фильтр на X имеет сходящееся уточнение.
8. Каждая сеть на X имеет точку кластера.
9. Каждый фильтр на X имеет точку кластера.
10. Каждый ультрафильтр на X сходится хотя бы к одной точке.
11. Каждое бесконечное подмножество X имеет полную точку накопления . ^[10]

Евклидово пространство [ править ]

Для любого подмножества А в евклидовом пространстве ℝ ^п , компактно тогда и только тогда , когда она закрыта и ограничена ; это теорема Гейне – Бореля .

Поскольку евклидово пространство является метрическим пространством, условия следующего пункта также применяются ко всем его подмножествам. Из всех эквивалентных условий на практике проще всего проверить, что подмножество замкнуто и ограничено, например, для замкнутого интервала или замкнутого n -шара.

Метрические пространства [ править ]

Для любого метрического пространства ( X , d ) следующие условия эквивалентны (при условии счетного выбора ):

1. ( X , d ) компактно.
2. ( Х , д ) является полным и вполне ограничено (это также эквивалентно компактности для однородных пространств ). ^[11]
3. ( X , d ) секвенциально компактно; то есть каждая последовательность в X имеет сходящуюся подпоследовательность, предел которой находится в X (это также эквивалентно компактности для равномерных пространств с первым счетом ).
4. ( X , d ) компактно в предельной точке (также называется счетно компактным); то есть, каждое бесконечное подмножество X имеет , по меньшей мере , одну предельную точку в X .
5. ( X , d ) - образ непрерывной функции из множества Кантора . ^[12]

Компактное метрическое пространство ( X , d ) также удовлетворяет следующим свойствам:

1. Лемма Лебега о числе : для любого открытого покрытия X существует такое число δ > 0 , что каждое подмножество X диаметра < δ содержится в некотором элементе покрытия.
2. ( Х , д ) является вторым счетным , разъемным и Линделёф - эти три условий эквивалентны для метрических пространств. Обратное неверно; например, счетное дискретное пространство удовлетворяет этим трем условиям, но не является компактным.
3. X замкнуто и ограничено (как подмножество любого метрического пространства, ограниченная метрика которого равна d ). Обратное может быть неверным для неевклидова пространства; например, вещественная прямая, снабженная дискретной метрикой , замкнута и ограничена, но не компактна, поскольку совокупность всех одиночных элементов пространства является открытым покрытием, не допускающим конечного подпокрытия. Он полный, но не полностью ограничен.

Характеристика непрерывными функциями [ править ]

Пусть X топологическое пространство и С ( Х ) кольцо вещественных непрерывных функций на X . Для каждого p ∈ X отображение оценки, заданное как ev _p ( f ) = f ( p ), является гомоморфизмом колец. Ядро из эв _р является максимальным идеалом , так как поле вычетов C ( X ) / кек эв _р является полем действительных чисел, по первой теореме изоморфизма . Топологическое пространство X${\displaystyle \operatorname {ev} _{p}\colon C(X)\to \mathbf {R} }$ это псевдокомпактно тогда и только тогда , когда каждый максимальный идеал в C ( X ) имеет поле вычетов действительные числа. Для вполне регулярных пространств это эквивалентно тому, что каждый максимальный идеал является ядром оценочного гомоморфизма. ^[13] Однако есть псевдокомпактные пространства, которые не являются компактными.

В общем, для непсевдокомпактных пространств всегда существуют максимальные идеалы m в C ( X ) такие, что поле вычетов C ( X ) / m является ( неархимедовым ) гиперреальным полем . Рамки нестандартного анализа позволяет следующей альтернативную характеристику компактности: ^[14] топологическое пространство X компактно тогда и только тогда , когда каждая точка х естественного расширения * X является бесконечно близко к точке х ₀ из X (более именно так,х содержится в монады из х ₀ ).

Гиперреальное определение [ править ]

Пространство X является компактным , если его расширение гиперреального * X (построено, например, на строительстве ультрастепени ) обладает свойством , что каждая точка * X бесконечно близка к некоторой точке X ⊂ * X . Например, открытый в режиме реального интервала X = (0, 1) не является компактным , поскольку его гиперреальное расширением * (0,1) содержит бесконечно малые, которые бесконечно близко к 0, которая не является точкой X .

Достаточные условия [ править ]

• Замкнутое подмножество компакта компактно. ^[15]
• Конечное объединение компактов компактно.
• Непрерывным образом компактного пространства компактно. ^[16]
• Пересечение любого набора компактных подмножеств хаусдорфового пространства компактно (и замкнуто);
  • Если X не хаусдорфово, то пересечение двух компактных подмножеств может не быть компактным (см., Например, сноску). ^{[примечание 1]}
• Продукт из любой коллекции компактных пространств компактно. (Это теорема Тихонова , эквивалентная выбранной аксиоме .)
• В метризуемом пространстве подмножество компактно тогда и только тогда, когда оно секвенциально компактно (при условии счетного выбора )
• Конечное множество с любой топологией компактно.

Свойства компактных пространств [ править ]

• Компактное подмножество хаусдорфова пространства X замкнуто.
  • Если X не хаусдорфово, то компактное подмножество X может не быть замкнутым подмножеством X (см., Например, сноску). ^{[заметка 2]}
  • Если X не хаусдорфово, то замыкание компакта может не быть компактным (см., Например, сноску). ^{[заметка 3]}
• В любом топологическом векторном пространстве (TVS) компактное подмножество полно . Однако любая нехаусдорфова TVS содержит компактные (и, следовательно, полные) подмножества, которые не являются замкнутыми.
• Если и B непересекающиеся компактные подмножества хаусдорфова пространства X , то существуют не пересекаются открытое множество U и V в X таким образом, что ⊆ U и B ⊆ V .
• Непрерывная биекция из компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом .
• Компактное хаусдорфово пространство нормально и регулярно .
• Если пространство X компактно и хаусдорфово, то никакая более тонкая топология на X не является компактной и никакая более грубая топология на X не хаусдорфова.
• Если подмножество метрического пространства ( X , d ) компактно, то оно d -ограничено.

Функции и компактные пространства [ править ]

Поскольку непрерывный образ компактного пространства компактен, теорема о крайнем значении : непрерывная вещественнозначная функция на непустом компакте ограничена сверху и достигает своего супремума. ^[17] (В более общем смысле это верно для полунепрерывной сверху функции.) Как своего рода обратное к приведенным выше утверждениям, прообраз компактного пространства при правильном отображении компактен.

Компактификации [ править ]

Каждое топологическое пространство X является открытым плотным подпространством компактного пространства, имеющего не более чем на одну точку больше, чем X , по одноточечной компактификации Александрова . По той же конструкции, каждый локально компактный хаусдорфово пространство X является открытым плотным подпространством бикомпакта , имеющим более одной точки больше , чем X .

Упорядоченные компактные пространства [ править ]

Непустое компактное подмножество действительных чисел имеет наибольший элемент и наименьший элемент.

Пусть X - просто упорядоченное множество, наделенное порядковой топологией . Тогда X компактно тогда и только тогда, когда X - полная решетка (т. Е. Все подмножества имеют верхнюю и нижнюю границу). ^[18]

Примеры [ править ]

• Любое конечное топологическое пространство , включая пустое множество , компактно. В более общем смысле, любое пространство с конечной топологией (только конечное число открытых множеств) компактно; это включает, в частности, тривиальную топологию .
• Любое пространство, несущее конфинитную топологию , компактно.
• Любое локально компактное хаусдорфово пространство можно превратить в компактное пространство, добавив к нему одну точку с помощью одноточечной компактификации Александрова . Одноточечная компактификация ℝ гомеоморфно окружности S ¹ ; одноточечная компактификация ℝ ² гомеоморфно сфера S ² . Используя одноточечную компактификацию, можно также легко построить компактные пространства, которые не являются хаусдорфовыми, начав с нехаусдорфовых пространств.
• Топология правильный порядок или топология левый порядок на любом ограниченном полностью упорядоченное множество компактно. В частности, пространство Серпинского компактно.
• Никакое дискретное пространство с бесконечным числом точек не является компактным. Совокупность всех синглтонов пространства представляет собой открытое покрытие, не допускающее конечного подпокрытия. Конечные дискретные пространства компактны.
• В ℝ, несущем топологию нижнего предела , никакое несчетное множество не является компактным.
• В сосчетной топологии на несчетном множестве бесконечное множество не является компактным. Как и в предыдущем примере, пространство в целом не является локально компактным, но по-прежнему является линделёфским .
• Замкнутый единичный интервал [0,1] компактен. Это следует из теоремы Гейне – Бореля . Открытый интервал (0,1) не компактен: открытое покрытие для n = 3, 4,…  не имеет конечного подпокрытия. Точно так же множество рациональных чисел в отрезке [0,1] не компактно: наборы рациональных чисел в интервалах покрывают все рациональные числа в [0, 1] для n = 4, 5, ...  но это cover не имеет конечного подпокрытия. Здесь множества открыты в топологии подпространств, даже если они не открыты как подмножества  ℝ .${\displaystyle \left({\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right)}$${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{\pi }}-{\frac {1}{n}}\right]\ {\text{and}}\ \left[{\frac {1}{\pi }}+{\frac {1}{n}},1\right]}$
• Множество ℝ всех действительных чисел не компактно, так как существует покрытие открытых интервалов, не имеющее конечного подпокрытия. Например, интервалы ( n −1,  n +1)  , где n принимает все целые значения в Z , покрывают ℝ, но конечного подпокрытия нет.
• С другой стороны, расширенная прямая действительных чисел, несущая аналогичную топологию , компактна; обратите внимание, что описанная выше крышка никогда не достигнет бесконечно удаленных точек. Фактически, набор имеет гомеоморфизм [-1,1] отображения каждой бесконечности в соответствующую единицу и каждое действительное число в его знак, умноженный на уникальное число в положительной части интервала, что приводит к его абсолютному значению при делении на один минус сам по себе, и поскольку гомеоморфизмы сохраняют покрытия, можно вывести свойство Гейне-Бореля.
• Для каждого натурального числа п , к п -сферы компактно. Снова из теоремы Гейне – Бореля, замкнутый единичный шар любого конечномерного нормированного векторного пространства компактен. Это неверно для бесконечных измерений; на самом деле нормированное векторное пространство конечномерно тогда и только тогда, когда его замкнутый единичный шар компактен.
• С другой стороны, замкнутый единичный шар двойственного к нормированному пространству компактен для слабой * топологии. ( Теорема Алаоглу )
• Множество Кантора компактно. Фактически, каждое компактное метрическое пространство является непрерывным образом множества Кантора.
• Рассмотрим множество K всех функций f  : ℝ → [0,1] от прямой до отрезка с вещественными числами и определим топологию на K так, чтобы последовательность в K сходилась к f ∈ K тогда и только тогда, когда сходится к f ( x ) для всех действительных чисел x . Есть только одна такая топология; это называется топологией поточечной сходимости или топологией произведения . Тогда K - компактное топологическое пространство; это следует из теоремы Тихонова .${\displaystyle \{f_{n}\}}$${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$
• Рассмотрим множество K всех функций f  : [0,1]  → [0,1], удовлетворяющих условию Липшица | f ( x ) -  f ( y ) | ≤ | х  -  у | для всех x ,  y  ∈  [0,1] . Рассмотрим на K метрику, индуцированную равномерным расстоянием. Тогда по теореме Арцела – Асколи пространство K компактно.${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|.}$
• Спектр любого ограниченного линейного оператора на банаховом пространстве есть непустое компактное подмножество комплексных чисел ℂ . С другой стороны , любое компактное подмножество ℂ возникает таким образом, как спектр некоторого ограниченного линейного оператора. Например, диагональный оператор на гильбертовом пространстве может иметь любое компактное непустое подмножество ℂ как спектр. ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}}

Алгебраические примеры [ править ]

• Компактные группы, такие как ортогональная группа , компактны, а группы, такие как полная линейная группа , нет.
• Так как р -адического целых числа являются гомеоморфно множеством Кантора, они образуют компактный набор.
• Спектр любого коммутативного кольца с топологией Зарисской (то есть множество всех простых идеалов) компактно, но никогда не Хаусдорф ( за исключением тривиальных случаев). В алгебраической геометрии такие топологические пространства являются примерами квазикомпактных схем , «квази», относящихся к нехаусдорфовой природе топологии.
• Спектр булевой алгебры компактно, факт , который является частью теоремы о представлении Stone . Пространства камня , компактные полностью несвязные хаусдорфовы пространства, образуют абстрактную основу, в которой изучаются эти спектры. Такие пространства также полезны при изучении проконечных групп .
• Структура пространство коммутативной унитальной банаховой алгебры является Бикомпактом.
• Гильберт куб компактен, опять же следствие теоремы Тихонова.
• Проконечная группа (например , группа Галуа ) компактно.

См. Также [ править ]

• Компактно сформированное пространство
• Теорема компактности
• Eberlein compactum
• Истощение компактами
• Пространство Линделёфа
• Метакомпактное пространство
• Нетерово топологическое пространство
• Ортокомпактное пространство
• Паракомпактное пространство
• Предкомпактный набор - также называется полностью ограниченным
• Относительно компактное подпространство
• Полностью ограниченный

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Александров, Павел ; Урысон, Павел (1929), "Mémoire sur les espaces topologiques compacts", Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Te Amsterdam, Труды Секции математических наук , 14.
• Архангельский, А В; Федорчук, В.В. (1990), "Основные понятия и конструкции общей топологии", Архангельский, А.В. Понтрягин, LS (ред.), Общая топология I , Энциклопедия математических наук, 17 , Springer, ISBN 978-0-387-18178-3.
• Архангельский А.В. (2001) [1994], "Компактное пространство" , Математическая энциклопедия , EMS Press.
• Больцано, Бернар (1817 г.), Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege , Wilhelm Engelmann( Чисто аналитическое доказательство теоремы о том, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит хотя бы один действительный корень уравнения ).
• Борелевские, Эмил (1895 г.), "Sur Quelques точки де ла Théorie де fonctions", Анналов Научных де l'Эколь Нормаль , 3, 12 : 9-55, DOI : 10,24033 / asens.406 , СУЛ  26.0429.03
• Бойер, Карл Б. (1959), История исчисления и его концептуальное развитие , Нью-Йорк: Dover Publications, MR  0124178.
• Бойер, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Ута К. (1991), История математики (2-е изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8.
• Арсела, Чезаре (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. Sci. Ist. Болонья Cl. Sci. Fis. Мат. , 5 (5): 55–74.
• Арзела, Чезаре (1882–1883), "Un'osservazione intorno all serie di funzioni", Rend. Dell 'Accad. R. Delle Sci. dell'Istituto di Bologna : 142–159.
• Асколи, Г. (1883–1884), «Le curve limiti di una varietà data di curve», Атти делла Р. Аккад. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Мат. Nat. , 18 (3): 521–586.
• Фреше, Морис (1906), «Sur quelques points du Calcul fonctionnel» , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 22 (1): 1–72, doi : 10.1007 / BF03018603 , hdl : 10338.dmlcz / 100655  , S2CID 123251660.
• Гиллман, Леонард; Джерисон, Мейер (1976), Кольца непрерывных функций , Springer-Verlag.
• Хоуз, Норман Р. (23 июня 1995 г.). Современный анализ и топология . Тексты для выпускников по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC  31969970 . ПР  1272666М .
• Келли, Джон (1955), Общая топология , Тексты для выпускников по математике, 27 , Springer-Verlag.
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней (3-е изд.), Oxford University Press (опубликовано в 1990 г.), ISBN 978-0-19-506136-9.
• Лебег, Анри (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives , Готье-Виллар.
• Робинсон, Абрахам (1996), нестандартный анализ , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3, Руководство по ремонту  0205854.
• Скарборо, Коннектикут; Стоун, AH (1966), "Продукты почти компактных пространств" (PDF) , Труды Американского математического общества , Труды Американского математического общества, Vol. 124, N 1, 124 (1): 131-147, DOI : 10,2307 / 1994440 , JSTOR  1994440.
• Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии (перепечатка Dover Publications, изд. 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту  0507446
• Уиллард, Стивен (1970), Общая топология , публикации Dover, ISBN 0-486-43479-6

Внешние ссылки [ править ]

• Счетно компактный в PlanetMath .
• Сундстрём, Маня Раман (2010). «Педагогическая история компактности». arXiv : 1006.4131v1 [ math.HO ].

Эта статья включает материал из примеров компактных пространств на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .