Перейти к навигации Перейти к поиску
В математике, топологическое пространство X называется предельной точкой компактно [1] [2] или слабо счетно компактно [3] , если каждое бесконечное подмножество X имеет предельную точку в X . Это свойство обобщает свойство компактных пространств . В метрическом пространстве компактность по предельным точкам, компактность и секвенциальная компактность эквивалентны. Однако для общих топологических пространств эти три понятия компактности не эквивалентны.
Свойства и примеры [ править ]
- В топологическом пространстве подмножества без предельной точки - это в точности те, которые замкнуты и дискретны в топологии подпространства. Таким образом, пространство компактно в предельных точках тогда и только тогда, когда все его замкнутые дискретные подмножества конечны.
- Пространство X не является предельно точечно компактным тогда и только тогда, когда оно имеет бесконечное замкнутое дискретное подпространство. Поскольку любое подмножество замкнутого дискретного подмножества X само замкнуто в X и дискретно, это эквивалентно требованию, чтобы X имел счетно бесконечное замкнутое дискретное подпространство.
- Некоторые примеры пространств, которые не являются компактными по предельной точке: (1) Множество всех действительных чисел с его обычной топологией, поскольку целые числа являются бесконечным множеством, но не имеют предельной точки в ; (2) бесконечное множество с дискретной топологией; (3) топология счетного дополнения на несчетном множестве.
- Всякое счетно-компактное пространство (а значит, и всякий компакт) компактно в предельной точке.
- Для пространств T 1 предельная компактность эквивалентна счетной компактности.
- Пример предельной точки компактного пространства , которое не является счетно компактным получается путем «удвоение» целые чисел, а именно, принимать продукт , где есть множество всех целых чисел с дискретной топологией и имеет антидискретную топологию . Пространство гомеоморфно четно-нечетной топологии . [4] Это пространство не T 0 . Он компактен по предельной точке, потому что каждое непустое подмножество имеет предельную точку.
- Примером пространства T 0, которое является предельно компактным и не счетно компактным, является множество всех действительных чисел с топологией правого порядка , т. Е. Топология, порожденная всеми интервалами . [5] Пространство компактно по предельной точке, потому что для любой точки каждая точка является предельной точкой .
- Для метризуемых пространств компактность, счетная компактность, компактность по предельным точкам и секвенциальная компактность эквивалентны.
- Непрерывный образ компактного пространства с предельной точкой не обязательно должен быть компактным по предельной точке. Например, если с дискретным и недискретным, как в приведенном выше примере, карта, заданная проекцией на первую координату, является непрерывной, но не компактной по предельной точке.
- Компактное пространство с предельной точкой не обязательно должно быть псевдокомпактным . Пример дается тем же с недискретным двухточечным пространством и картой , изображение которой не ограничено .
- Псевдокомпактное пространство не обязательно должно быть предельно компактным. Примером может служить несчетное множество с соединяемой топологией .
- Всякое нормальное псевдокомпактное пространство компактно до предела. [6]
Доказательство . Предположим , что нормальное пространство не является предельно точечно компактным. Там существует счетное замкнутое дискретное подмножество из . По теореме Титце о продолжении непрерывная функция на, определенная в, может быть расширена до (неограниченной) действительнозначной непрерывной функции на всех . Так что не псевдокомпактный. - Предельные точечные компакты имеют счетную протяженность .
- Если ( X , T ) и ( X , T * ) являются топологическими пространствами с T * более тонким, чем T, и ( X , T * ) компактно в предельной точке, то ( X , T ) - то же самое .
См. Также [ править ]
Заметки [ править ]
- ^ Терминология «компактная предельная точка» появляется в учебнике топологии Джеймса Манкреса, где он говорит, что исторически такие пространства назывались просто «компактными», а то, что мы теперь называем компактными пространствами, называли «бикомпактными». Затем произошел сдвиг в терминологии: бикомпактные пространства назывались просто «компактными» и не было общепринятого названия для первого понятия, одни называли его «компактностью Фреше », другие - «свойством Больцано-Вейерштрасса». Он говорит, что придумал термин «компакт в предельной точке», чтобы иметь хоть что-нибудь, описывающее это свойство. Мункрес, стр. 178-179.
- ^ Стин и Зеебах, стр. 19
- ^ Стин и Зеебах, стр. 19
- ^ Стин и Зеебах, Пример 6
- ^ Стин и Зеебах, Пример 50
- ^ Стин и Зеебах, стр. 20. То, что они называют «нормальным»,в терминологии Википедии- это T 4 , но это, по сути, то же доказательство, что и здесь.
Ссылки [ править ]
- Джеймс Мункрес (1999). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2.
- Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах младший, Контрпримеры в топологии . Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN 0-486-68735-X (издание Dover).
- Эта статья включает материал из Weakly countably compact на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .