В топологии , топологическое пространство с тривиальной топологией является один , где только открытыми множествами являются пустым множеством и все пространство. Такие пространства обычно называют антидискретным , анти-дискретным или содискретным . Интуитивно это приводит к тому, что все точки пространства «сгруппированы вместе» и не могут быть различимы топологическими средствами. Каждое недискретное пространство - это псевдометрическое пространство, в котором расстояние между любыми двумя точками равно нулю .
Подробности [ править ]
Тривиальная топология - это топология с минимально возможным количеством открытых множеств , а именно с пустым множеством и всем пространством, поскольку определение топологии требует, чтобы эти два множества были открытыми. Несмотря на свою простоту, пространство X с более чем одним элементом и тривиальной топологией лишено ключевого желаемого свойства: это не пространство T 0 .
Другие свойства недискретного пространства X, многие из которых весьма необычны, включают:
- Единственный замкнутые множества являются пустым множеством и X .
- Единственно возможный базис из X есть { X }.
- Если Х имеет более чем одну точку, то , поскольку он не Т 0 , она не удовлетворяет любому из высших Т аксиом либо. В частности, это не хаусдорфово пространство . Не будучи Хаусдорфом, X не является порядковой топологией и не является метризуемой .
- X , однако, является регулярным , полностью регулярным , нормальным и полностью нормальным ; все в довольно праздной пути , хотя, так как только замкнутые множества ∅ и X .
- X является компактным и , следовательно , паракомпактным , Линделёфом и локально компактно .
- Каждая функция , область определения которой является топологическим пространством и областью области X , непрерывна .
- Х является линейно связным и так подключен .
- X счетно до второго , а значит, счетно до первого , отделимо и по Линделёфу .
- Все подпространства в X имеют тривиальную топологию.
- Все Факторпространства из X имеет тривиальную топологию
- Произвольные продукты тривиальных топологических пространств, либо с топологией произведения или ящичной топологией , имеют тривиальную топологию.
- Все последовательности в X сходится к каждой точке X . В частности, каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность (всю последовательность или любую другую подпоследовательность), таким образом , Х является последовательно компактным .
- Интерьер каждого набора , кроме X пусто.
- Закрытия каждого непустого подмножества X является X . Другими словами: всякое непустое подмножество X является плотным , свойство, характеризующее тривиальных топологических пространств.
- В результате замыкание каждого открытого подмножества U в X есть либо ∅ (если U =), либо X (в противном случае). В частности, замыкание каждого открытого подмножества X снова является открытым множеством, и поэтому X является экстремально несвязным .
- Если S является любое подмножество X с более чем одного элемента, то все элементы X имеют предельные точки из S . Если S является синглтон , то каждая точка X \ S по - прежнему является предельной точкой S .
- X - пространство Бэра .
- Два топологических пространства, несущие тривиальную топологию, гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую мощность .
В некотором смысле противоположностью тривиальной топологии является дискретная топология , в которой каждое подмножество открыто.
Тривиальная топология принадлежит однородному пространству, в котором все декартово произведение X × X является единственным окружением .
Пусть Top - категория топологических пространств с непрерывными отображениями, а Set - категория множеств с функциями. Если G : Top → Set - это функтор, который присваивает каждому топологическому пространству его базовое множество (так называемый забывчивый функтор ), а H : Set → Top - это функтор, который помещает тривиальную топологию в данное множество, то H ( так называемый косвободным функтор ) является сопряженным справа к G . (Так называемый свободный функтор F : Set → Top, который помещает дискретную топологию на заданное множество, сопряжен слева с G. ) [1] [2]
См. Также [ править ]
- Список топологий
- Тривиальность (математика)
Примечания [ править ]
- ↑ Киган Смит, «Присоединенные функторы в алгебре, топологии и математической логике» , 8 августа 2008 г., стр. 13.
- ^ бесплатный функтор в nLab
Ссылки [ править ]
- Стин, Линн Артур ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Dover, переиздание, 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту 0507446
