Область функции

Функция F из X в Y . Красный овал X - это область f .

График действительной функции квадратного корня f ( x ) = √ x , область определения которой состоит из всех неотрицательных действительных чисел

В математике , то домен или набор вылета из в функции есть множество , в котором все вход функции ограничен падать. ^[1] Это множество X в обозначении f : X → Y , которое также обозначается как . ^[2] Поскольку функция определена на всей своей области определения, ее область определения совпадает с областью определения . ^[3] Однако это совпадение больше не верно для частичной функции , так как область определения частичной функции может быть${\ displaystyle \ operatorname {dom} (f)}$собственное подмножество домена.

Домен является частью функции ф , если F определяется как тройной ( X , Y , G ) , где Х называется доменом из F , Y ее области значений , а G его график . ^[4]

Область не является частью функции f, если f определяется как просто граф. ^{[5] [6]} Например, в теории множеств иногда удобно разрешить области определения функции быть надлежащим классом X , и в этом случае формально не существует такой вещи, как тройка ( X , Y , G ) . При таком определении функция не имеет домена, хотя некоторые авторы до сих пор используют его неофициально после введения функции в виде F : X → Y . ^[7]

Например, область определения косинуса - это набор всех действительных чисел , а область определения квадратного корня состоит только из чисел, больших или равных 0 (без учета комплексных чисел в обоих случаях).

Если область определения функции является подмножеством действительных чисел, а функция представлена ​​в декартовой системе координат , то область представлена ​​на оси x .

Примеры [ править ]

Четко определенная функция должна отображать каждый элемент своего домена на элемент своего кодомена. Например, функция, определяемая${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}$

не имеет значения . Таким образом, множество всех действительных чисел , не может быть его область. В таких случаях функция либо определяется , либо «пробел закрывается» путем явного определения . Например. если распространить определение на кусочную функцию${\ displaystyle f (0)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle f (0)}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 1 / x & x \ not = 0 \\ 0 & x = 0 \ end {cases}}}$

then определяется для всех действительных чисел, а его домен - .${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Любая функция может быть ограничена подмножеством своего домена. Ограничение на к , где , записывается в виде .${\ displaystyle g \ двоеточие от A \ до B}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle S \ substeq A}$${\ displaystyle \ left.g \ right | _ {S} \ двоеточие от S \ до B}$

Естественный домен [ править ]

Естественная область функции (иногда укороченная , как домен) является максимальным множеством значений , для которых определена функция, ^[8] , как правило , в пределах чисел , но иногда среди целых чисел или комплексных чисел , а также. Например, естественная область квадратного корня - неотрицательные действительные числа, если рассматривать их как функцию действительного числа. При рассмотрении естественного домена набор возможных значений функции обычно называется ее диапазоном . ^{[9] [8]}

Теория категорий [ править ]

Теория категорий занимается морфизмами вместо функций. Морфизмы - это стрелки от одного объекта к другому. Область любого морфизма - это объект, с которого начинается стрелка. В этом контексте необходимо отказаться от многих теоретико-множественных идей о предметных областях или, по крайней мере, сформулировать их более абстрактно. Например, понятие ограничения морфизма подмножеством его домена должно быть изменено. Подробнее см. Подобъект .

Другое использование [ править ]

Слово «область» используется с другими связанными значениями в некоторых областях математики. В топологии домен - это подключенный открытый набор . ^[10] В реальном и сложном анализе область представляет собой открытое связное подмножество реального или комплексного векторного пространства. При изучении дифференциальных уравнений в частных производных область - это открытое связное подмножество евклидова пространства, где ставится проблема (т. Е. Где определены неизвестные функции).${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Более общие примеры [ править ]

Как частичная функция от действительных чисел к действительным числам, функция имеет домен . Однако, если определить квадратный корень отрицательного числа x как комплексное число z с положительной мнимой частью, такое, что z ² = x , тогда функция будет иметь всю действительную линию в качестве области (но теперь с большей областью). Область определения тригонометрической функции - это набор всех (действительных или комплексных) чисел, не имеющих формы .${\ Displaystyle х \ mapsto {\ sqrt {x}}}$${\ Displaystyle х \ geq 0}$ ${\ Displaystyle х \ mapsto {\ sqrt {x}}}$ ${\ Displaystyle \ загар х = {\ tfrac {\ грех х} {\ соз х}}}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

См. Также [ править ]

• Домен атрибута
• Биекция, инъекция и сюръекция
• Codomain
• Декомпозиция домена
• Действующий домен
• Изображение (математика)
• Липшицевский домен
• Наивная теория множеств
• Поддержка (математика)

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бурбаки, Николас (1970). Теория ансамблей . Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540340348.