В математике , А множество является подмножеством из множества B , если все элементы из A также являются элементами B ; В это тогда надмножество из A . Возможно, что A и B равны; если они не равны, то является собственное подмножество из B . Отношения одного набора быть подмножеством другого, называется включение (или иногда защитной оболочки ). A является подмножеством Bможет быть также выражено как B включает в себя (или содержит) или включен (или содержаться) в B .
Отношение подмножества определяет частичный порядок на множествах. Фактически, подмножества данного множества образуют булеву алгебру с отношением подмножества, в котором соединение и встреча задаются пересечением и объединением , а само отношение подмножества является отношением булевого включения .
Определения
Если и B являются множествами , и каждый элемент из A также является элементом B , то:
- Является подмножество из B , обозначается или эквивалентно
- Б является подмножеством из А , обозначается[1]
Если является подмножеством B , но не равна к B (т.е. существует , по меньшей мере , один элемент из В , который не является элементом А ), то:
- Является собственно (или строгое ) подмножество из B , обозначается (или же [1] [ циркулярное сообщение? ] [2] [ нужен лучший источник ] ). Или, что то же самое,
- В это собственно (или строгое ) надмножество из А , обозначается (или же [1] [ циркулярное сообщение? ] ).
- Пустое множество , написанное {} или ∅, является подмножеством любого множества X и собственное подмножество любого множества , кроме самой себя.
Для любого множества S отношение включения ⊆ является частичным порядком на множестве( набор мощности из S -The множества всех подмножеств S [3] ) определяется. Мы также можем частично заказать обратным включением множества путем определения
При количественной оценке A ⊆ B представляется как ∀ x ( x ∈ A → x ∈ B ) . [4]
Мы можем доказать утверждение A ⊆ B , применив технику доказательства, известную как элементный аргумент [5] :
Пусть даны множества A и B. Чтобы доказать, что A ⊆ B ,
- предположим, что a - частный, но произвольно выбранный элемент из A,
- показывают , что является элементом B .
Справедливость этого метода можно рассматривать как следствие универсального обобщения : метод показывает c ∈ A → c ∈ B для произвольно выбранного элемента c . Тогда универсальное обобщение влечет ∀ x ( x ∈ A → x ∈ B ) , что эквивалентно A ⊆ B , как указано выше.
Характеристики
- Набор является подмножеством из B , если и только если их пересечение равно А.
- Формально:
- Набор является подмножеством из B , если и только если их объединение равно B.
- Формально:
- Конечное множество является подмножеством из B , тогда и только тогда , когда мощность их пересечения равна мощности А.
- Формально:
Символы ⊂ и ⊃
Некоторые авторы используют символы ⊂ и ⊃ для обозначения подмножества и надмножества соответственно; то есть с тем же значением и вместо символов ⊆ и ⊇. [6] Так , например, для этих авторов, это верно для любого множества A , что A ⊂ A .
Другие авторы предпочитают использовать символы ⊂ и ⊃ для обозначения надлежащего (также называемого строгим) подмножества и собственно надмножества соответственно; то есть с тем же значением и вместо символов ⊊ и ⊋. [7] [1] Это использование делает ⊆ и ⊂ аналогичными символам неравенства ≤ и <. Например, если Купить ≤ у , то х может или не может быть равна у , но если х < у , то х определенно не равен у , а это меньше , чем у . Аналогично, используя соглашение , что ⊂ является собственным подмножеством, если ⊆ B , то может быть или может не быть равным B , но если ⊂ B , то определенно не равно Б .
Примеры подмножеств
- Множество A = {1, 2} является собственным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения A ⊆ B и A ⊊ B истинны.
- Множество D = {1, 2, 3} является подмножеством (но не собственным подмножеством) E = {1, 2, 3}, таким образом, D ⊆ E истинно, а D ⊊ E не истинно (ложно).
- Любой набор - это подмножество самого себя, но не собственное подмножество. (X ⊆ X истинно, а X ⊊ X ложно для любого множества X.)
- Набор { x : x - простое число больше 10} является правильным подмножеством { x : x - нечетное число больше 10}
- Набор натуральных чисел - это собственное подмножество набора рациональных чисел ; аналогично, набор точек в линейном сегменте является надлежащим подмножеством набора точек в линии . Это два примера, в которых и подмножество, и все множество бесконечно, а подмножество имеет такую же мощность (понятие, которое соответствует размеру, то есть количеству элементов конечного набора), как и все; такие случаи могут противоречить первоначальной интуиции.
- Набор рациональных чисел - это собственное подмножество набора действительных чисел . В этом примере оба набора бесконечны, но последний набор имеет большую мощность (или мощность ), чем первый набор.
Другой пример на диаграмме Эйлера :
A - собственное подмножество B
C является подмножеством, но не является собственным подмножеством B
Другие свойства включения
Включение - это канонический частичный порядок в том смысле, что каждое частично упорядоченное множество ( X ,) изоморфен некоторому набору множеств, упорядоченных по включению. Эти порядковые номера представляют собой простой пример: если каждый порядковый п идентифицируются с множеством [ п ] все порядковых меньше или равно п , то ≤ б тогда и только тогда , когда [ ] ⊆ [ б ].
Для силового набора из множества S , включение частичный порядок- с точностью до изоморфизма порядка -The декартово произведение из к = | S | ( мощность из S ) копии частичного порядка на {0,1} , для которых 0 <1. Это можно проиллюстрировать путем перечисления S = { ев 1 , ев 2 , ..., s к }, и ассоциирование с каждым подмножество Т ⊆ S (то есть, каждый элемент 2 S ) к -кратному от {0,1} к , из которых я ая координаты равно 1 тогда и только тогда , когда х я являюсь членом T .
Смотрите также
- Порядок включения
- Область, край
- Проблема суммы подмножества
- Субсумптивное сдерживание
- Всего подмножество
Рекомендации
- ^ a b c d "Исчерпывающий список символов теории множеств" . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 23 августа 2020 .
- ^ «Введение в наборы» . www.mathsisfun.com . Проверено 23 августа 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 .
- ^ Розен, Кеннет Х. (2012). Дискретная математика и ее приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 119 . ISBN 978-0-07-338309-5.
- ^ Эпп, Сусанна С. (2011). Дискретная математика с приложениями (Четвертое изд.). п. 337. ISBN 978-0-495-39132-6.
- ^ Рудин, Вальтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , стр. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, Руководство по ремонту 0924157
- ^ Подмножества и соответствующие подмножества (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 23 января 2013 г. , получено 07 сентября 2012 г.
Библиография
- Jech, Томас (2002). Теория множеств . Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
Внешние ссылки
- СМИ, связанные с подмножествами на Викискладе?
- Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . MathWorld .