Эйлер - схема ( / ɔɪ л ər / , О.Ю. -lər ) представляет собой схематические средства , представляющие наборы и их отношения. Они особенно полезны для объяснения сложных иерархий и пересекающихся определений. Они похожи на другую технику построения диаграмм - диаграммы Венна . В отличие от диаграмм Венна, которые показывают все возможные отношения между различными наборами, диаграмма Эйлера показывает только релевантные отношения.
Первое использование «кругов Эйлера» обычно приписывают швейцарскому математику Леонарду Эйлеру (1707–1783). В Соединенных Штатах диаграммы Венна и Эйлера были включены как часть обучения теории множеств в рамках нового математического движения 1960-х годов. С тех пор они также были приняты другими предметами учебной программы, такими как чтение [1], а также организациями и предприятиями.
Диаграммы Эйлера состоят из простых замкнутых фигур на двухмерной плоскости, каждая из которых изображает набор или категорию. Как или если эти формы перекрываются, демонстрирует отношения между наборами. Каждая кривая делит плоскость на две области или «зоны»: внутреннюю, которая символически представляет элементы набора, и внешнюю, которая представляет все элементы, не являющиеся членами набора. Кривые, которые не перекрываются, представляют собой непересекающиеся множества , у которых нет общих элементов. Две кривые , которые перекрывают друг друга представляют собой наборы , которые пересекаются , которые имеют общие элементы; зона внутри обеих кривых представляет собой набор элементов, общих для обоих наборов ( пересечение наборов). Кривая полностью внутри другого - этоподмножество этого.
Диаграммы Венна - это более ограниченная форма диаграмм Эйлера. Диаграмма Венна должна содержать все 2 n логически возможных зон перекрытия между ее n кривыми, представляющими все комбинации включения / исключения составляющих ее наборов. Области, не входящие в набор, обозначаются черным цветом, в отличие от диаграмм Эйлера, где принадлежность к набору обозначается как перекрытием, так и цветом.
История [ править ]
Как показано на иллюстрации справа, сэр Уильям Гамильтон в своих посмертно опубликованных « Лекциях по метафизике и логике» (1858–60) ошибочно утверждает, что первоначальное использование кругов для «чувственного восприятия ... абстракций логики» (стр. 180) был не Леонард Пол Эйлер (1707–1783), а скорее Кристиан Вейз (1642–1708) в своей книге «Nucleus Logicae Weisianae» , появившейся в 1712 году посмертно, однако последняя книга на самом деле была написана Иоганном Кристианом Ланге, а не Вайсе. [2] [3] Он ссылается на « Письма Эйлера к немецкой принцессе» [Partie II, Lettre XXXV, 17 февраля 1791 г., изд. Курно (1842), стр. 412-417. - Ред.] [№ 1]
В иллюстрации Гамильтона четыре категориальных утверждения, которые могут встречаться в силлогизме, как это обозначено рисунками A, E, I и O: [4]
- A: Универсальное утверждение. Пример: «Все металлы - элементы».
- E: Универсальный негатив. Пример: «Никакие металлы не являются составными веществами».
- I: Особое подтверждение , пример: «Некоторые металлы хрупкие».
- О: Особо отрицательный. Пример: «Некоторые металлы не являются хрупкими».
В своей главе V по символической логике 1881 года «Диаграмматическое представление» Джон Венн (1834–1923) комментирует поразительную распространенность диаграммы Эйлера:
- «... из первых шестидесяти трактатов по логике, опубликованных в течение последнего столетия или около того, к которым обращались с этой целью: - несколько случайно, поскольку они оказались наиболее доступными: - оказалось, что тридцать четыре обратились к помощи диаграммы, почти все они используют схему Эйлера ». (Сноска 1, стр. 100)
Но, тем не менее, он утверждал, что «неприменимость этой схемы для целей действительно общей логики» (стр. 100), и на странице 101 заметил, что «она плохо согласуется даже с четырьмя положениями общей логики, которым она соответствует. обычно применяется ". Венн заканчивает свою главу наблюдением, проиллюстрированным в приведенных ниже примерах, - что их использование основано на практике и интуиции, а не на строгой алгоритмической практике:
- «Фактически ... эти диаграммы не только не вписываются в обычную схему предложений, которую они используют для иллюстрации, но и, похоже, не имеют какой-либо признанной схемы предложений, к которой они могли бы быть последовательно связаны». (стр. 124–125)
Наконец, в главе XX «ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАПИСИ» Венн обращается к решающей критике (выделенной курсивом в приведенной ниже цитате); обратите внимание на иллюстрацию Гамильтона, что О ( Частное отрицание ) и I ( Частное Утверждение ) просто вращаются:
- «Теперь мы переходим к хорошо известным кругам Эйлера, которые впервые были описаны в его Lettres a une Princesse d'Allemagne (Письма 102–105). Слабое место в них состоит в том, что они лишь четко иллюстрируют действительные отношения классов друг другу, а не несовершенное знание этих отношений, которым мы можем обладать или хотим передать с помощью предложения. Соответственно, они не будут соответствовать положениям общей логики, а потребуют создания новой группы соответствующие элементарные предложения ... Этот недостаток должен был быть замечен с самого начала в случае конкретных утвердительного и отрицательного, поскольку одна и та же диаграмма обычно используется для обозначения их обоих, что она делает безразлично хорошо ». (курсив добавлен: стр. 424)
(Sandifer 2003 сообщает, что Эйлер тоже делает такие наблюдения; Эйлер сообщает, что его фигура 45 (простое пересечение двух кругов) имеет 4 различных интерпретации). В любом случае, вооруженный этими наблюдениями и критикой, Венн затем демонстрирует (стр. 100–125), как он вывел то, что стало известно как его диаграммы Венна, из «... старомодных диаграмм Эйлера». В частности, он приводит пример, показанный слева.
К 1914 году Луи Кутюрат (1868–1914) обозначил термины, как показано на рисунке справа. Более того, он также пометил внешнюю область (обозначенную буквой «b'c»). Он кратко объясняет, как пользоваться диаграммой - нужно вычеркнуть области, которые должны исчезнуть:
- «Метод Венна воплощен в геометрических диаграммах, которые представляют все составляющие, так что для получения результата нам нужно только зачеркнуть (затенением) те, которые исчезли из-за данных задачи». (курсив добавлен с. 73)
Таким образом, учитывая присвоения Венна, незатененные области внутри кругов можно суммировать, чтобы получить следующее уравнение для примера Венна:
- «Нет Y - это Z, а ВСЕ X - это Y: следовательно, X - это Z» имеет уравнение x'yz '+ xyz' + x'y'z для незатененной области внутри кругов (но это не совсем правильно; см. следующий абзац).
В Venn 0-й член x'y'z ', то есть фон, окружающий круги, не появляется. Это нигде не обсуждается и не упоминается, но Кутура исправляет это в своем рисунке. Правильное уравнение должно включать эту незатененную область, выделенную жирным шрифтом:
- «Нет Y - это Z, а ВСЕ X - это Y: следовательно, Нет X - это Z» имеет уравнение x'yz '+ xyz' + x'y'z + x'y'z ' .
В современном использовании диаграмма Венна включает в себя «прямоугольник», окружающий все круги; это называется универсумом дискурса или областью дискурса .
Кутура теперь замечает, что прямым алгоритмическим (формальным, систематическим) способом нельзя вывести редуцированные булевы уравнения, и не показывает, как прийти к выводу «Нет X есть Z». Кутюра пришел к выводу, что этот процесс «имеет ... серьезные неудобства как метод решения логических задач»:
- "Он не показывает, как данные отображаются путем исключения определенных составляющих, и не показывает, как объединить оставшиеся составляющие для получения искомых результатов. Короче говоря, он служит лишь для демонстрации одного единственного шага в аргументе, а именно уравнение проблемы; он не обходится ни с предыдущими шагами, т. е. "перебрасыванием проблемы в уравнение" и преобразованием предпосылок, ни с последующими шагами, т. е. комбинациями, которые приводят к различным последствиям. от этого очень мало пользы, поскольку составляющие могут быть представлены алгебраическими символами так же хорошо, как и плоскими областями, и с ними гораздо легче работать в этой форме »(стр. 75).
Таким образом, дело оставалось до 1952 года, когда Морис Карно (1924–) адаптировал и расширил метод, предложенный Эдвардом В. Вейчем ; эта работа будет основана на методе таблицы истинности, точно определенном в докторской диссертации Эмиля Поста 1921 года «Введение в общую теорию элементарных предложений» и применении логики высказываний к логике переключения (среди прочих) Клодом Шенноном , Джорджем Стибицем и Алан Тьюринг . [nb 2]Например, в главе «Булева алгебра» Хилл и Петерсон (1968, 1964) представляют разделы 4.5ff «Теория множеств как пример булевой алгебры», и в ней они представляют диаграмму Венна с затенением и всем остальным. Они приводят примеры диаграмм Венна для решения примеров проблем с коммутационной схемой, но в итоге приводят следующее утверждение:
- «Для более чем трех переменных основная иллюстративная форма диаграммы Венна неадекватна. Возможны расширения, однако наиболее удобной из них является карта Карно, которую мы обсудим в главе 6.» (стр.64)
В разделе 6.4 главы 6 «Представление булевых функций картой Карно» они начинаются с:
- «Карта Карно 1 [ 1 Karnaugh 1953] - один из самых мощных инструментов в репертуаре разработчика логики ... Карта Карно может рассматриваться либо как наглядная форма таблицы истинности, либо как расширение Венна диаграмма ". (стр. 103–104)
История развития Карно своего метода «диаграммы» или «карты» неясна. Карно в своем 1953 году ссылался на Veitch 1951, Veitch сослался на Клода Э. Шеннона 1938 (по сути, магистерскую диссертацию Шеннона в Массачусетском технологическом институте ), а Шеннон, в свою очередь, сослался, среди других авторов логических текстов, Couturat 1914. В методе Veitch переменные расположены в прямоугольнике или квадрат; как описано в карте Карно , Карно в своем методе изменил порядок переменных, чтобы они соответствовали тому, что стало известно как (вершины) гиперкуба .
Связь между диаграммами Эйлера и Венна [ править ]
Диаграммы Венна - это более ограниченная форма диаграмм Эйлера. Диаграмма Венна должна содержать все 2 n логически возможных зон перекрытия между ее n кривыми, представляющими все комбинации включения / исключения составляющих ее наборов. Области, не входящие в набор, обозначаются черным цветом, в отличие от диаграмм Эйлера, где принадлежность к набору обозначается как перекрытием, так и цветом. Когда количество наборов превышает 3, диаграмма Венна становится визуально сложной, особенно по сравнению с соответствующей диаграммой Эйлера. Разницу между диаграммами Эйлера и Венна можно увидеть в следующем примере. Возьмите три комплекта:
Диаграммы Эйлера и Венна этих множеств:
Диаграмма Эйлера
Диаграмма Венна
В логической обстановке можно использовать теоретическую семантику моделей для интерпретации диаграмм Эйлера в рамках универсума дискурса . В приведенных ниже примерах диаграмма Эйлера показывает, что множества Animal и Mineral не пересекаются, поскольку соответствующие кривые не пересекаются, а также что множество Four Legs является подмножеством множества Animal s. Диаграмма Венна, в которой используются те же категории животных , минералов и четырех ног , не инкапсулирует эти отношения. Традиционно пустота множества на диаграммах Венна обозначается штриховкой в области. Диаграммы Эйлера представляют собой пустоту либо штриховкой, либо отсутствием области.
Часто налагается набор условий корректности; это топологические или геометрические ограничения, накладываемые на структуру диаграммы. Например, может быть принудительно установлена связность зон или может быть запрещено параллелизм кривых или нескольких точек, а также касательное пересечение кривых. На соседней диаграмме примеры небольших диаграмм Венна преобразованы в диаграммы Эйлера последовательностями преобразований; некоторые из промежуточных диаграмм имеют параллелизм кривых. Однако такое преобразование диаграммы Венна с штриховкой в диаграмму Эйлера без штриховки не всегда возможно. Есть примеры диаграмм Эйлера с 9 наборами, которые невозможно нарисовать с помощью простых замкнутых кривых без создания нежелательных зон, поскольку они должны иметь неплоские двойственные графы.
Пример: диаграмма Эйлера-Венна и карта Карно [ править ]
В этом примере показаны диаграммы Эйлера и Венна и карта Карно, выводящая и подтверждающая вывод «Никакие X не являются Z ». На рисунке и в таблице использованы следующие логические символы:
- 1 можно прочитать как «истина», 0 как «ложь»
- ~ для НЕ и сокращается до 'при иллюстрации минтермов, например, x' = определено НЕ x,
- + для логического ИЛИ (из булевой алгебры : 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 1)
- & (логическое И) между предложениями; в mintems И опускается аналогично арифметическому умножению: например, x'y'z = defined ~ x & ~ y & z (Из булевой алгебры: 0 * 0 = 0, 0 * 1 = 1 * 0 = 0, 1 * 1 = 1, где * показан для ясности)
- → (логическое ПОСЛЕДСТВИЕ): читается как ЕСЛИ ... ТО ... или "ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ", P → Q = определено НЕ P ИЛИ Q
Учитывая предложенный вывод, такой как «Нет X не является Z », можно проверить, является ли это правильным выводом, с помощью таблицы истинности . Самый простой метод - поместить исходную формулу слева (обозначить ее как P ), а (возможное) выведение справа (обозначить как Q ) и связать два логическим следствием, то есть P → Q , читается как IF P THEN Вопрос . Если вычисление таблицы истинности дает все единицы под знаком импликации (→, так называемая основная связка ), то P → Qэто тавтология . Учитывая этот факт, можно «отделить» формулу справа (сокращенно Q ) способом, описанным под таблицей истинности.
В приведенном выше примере формула диаграмм Эйлера и Венна следующая:
- «Нет Y s являются Z s» и «Все X суть Y s»: (~ (y & z) & (x → y)) = определено P
И предлагаемый вычет:
- «Никакие X не являются Z s»: (~ (x & z)) = определенный Q
Итак, теперь формулу, которую нужно оценить, можно сократить до:
- (~ (y & z) & (x → y)) → (~ (x & z)): P → Q
- ЕСЛИ («Нет Y - это Z » и «Все X - это Y ») ТО («Нет X - это Z »)
| Квадрат # | Венн, регион Карно | Икс | у | z | (~ | (y | & | z) | & | (Икс | → | у)) | → | (~ | (Икс | & | z)) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | x'y'z ' | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | x'y'z | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | ||
| 2 | x'yz ' | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||
| 3 | x'yz | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | ||
| 4 | xy'z ' | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | ||
| 5 | xy'z | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
| 6 | xyz ' | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | ||
| 7 | xyz | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
На данный момент указанная выше импликация P → Q (т.е. ~ (y & z) & (x → y)) → ~ (x & z)) все еще является формулой, а вывод - "отделение" Q от P → Q - не произошло. Но, учитывая демонстрацию того, что P → Q является тавтологией, теперь все готово для использования процедуры modus ponens для «отделения» Q: «Никакие X не являются Z s» и без терминов слева. [№ 3]
Modus ponens (или «фундаментальное правило вывода» [5] ) часто записывается следующим образом: два термина слева, P → Q и P , называются посылками (по соглашению, соединенными запятой), символ ⊢ означает «уступает» (в смысле логической дедукции), а термин справа называется заключением :
- P → Q , P ⊢ Q
Для модуса поненса добиться успеха, оба помещения P → Q и P должны быть истинными . Поскольку, как показано выше, посылка P → Q является тавтологией, «истина» всегда имеет место, независимо от того, как оцениваются x, y и z, но «истина» имеет место только для P в тех обстоятельствах, когда P оценивается как « истина »(например, строки 0 ИЛИ 1 ИЛИ 2 ИЛИ 6 : x'y'z '+ x'y'z + x'yz' + xyz '= x'y' + yz '). [№ 4]
- P → Q , P ⊢ Q
- то есть: (~ (y & z) & (x → y)) → (~ (x & z)), (~ (y & z) & (x → y)) ⊢ (~ (x & z))
- то есть: ЕСЛИ «Нет Y s являются Z s» и «Все X суть Y s» ТО «Нет X s являются Z s», «Нет Y s являются Z s» и «Все X суть Y s» ⊢ «Нет. X s являются Z s "
Теперь можно «отделить» заключение «Нет X есть Z », возможно, чтобы использовать его в последующем выводе (или в качестве темы разговора).
Использование тавтологической импликации означает, что существуют и другие возможные дедукции, кроме «Нет X s являются Z s»; критерием успешного вывода является то, что единицы под основной связкой справа включают все единицы под основной связкой слева ( основная связка - это импликация, которая приводит к тавтологии). Например, в таблице истинности с правой стороны импликации (→, главный соединительный символ) в столбце, выделенном жирным шрифтом под второстепенным соединительным символом « ~ », есть все те же единицы, которые выделены жирным шрифтом - Столбец с лицевой стороной под основной левой связкой & (строки 0 , 1 , 2и 6 ) плюс еще два (ряды 3 и 4 ).
Галерея [ править ]
Диаграмма Венна показывает все возможные пересечения.
Диаграмма Эйлера, визуализирующая реальную ситуацию, отношения между различными наднациональными европейскими организациями . ( кликабельная версия )
Юмористическая диаграмма сравнения диаграмм Эйлера и Венна .
Диаграмма Эйлера типов треугольников с использованием определения, что равнобедренные треугольники имеют как минимум (а не точно) 2 равные стороны.
Диаграмма Эйлера терминологии Британских островов .
22 (из 256) существенно различных диаграмм Венна с 3 кружками (вверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (внизу)
Некоторые диаграммы Эйлера нетипичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Области закрашены, чтобы указать, что они не содержат элементов.
См. Также [ править ]
- Диаграмма паука - расширение диаграмм Эйлера, добавляющее существование пересечениям контуров.
Примечания [ править ]
- ^ К тому времени, когда эти лекции Гамильтона были опубликованы, Гамильтон тоже умер. Его редакторами (символизируемыми ED.), Написавшими большую часть сносок, были логики Генри Лонгвиль Мансель и Джон Вейтч .
- ^ См сноски на Штибицах .
- ^ Это сложная концепция. Рассел и Уайтхед (2-е издание, 1927 г.) в своих « Принципах математики» описывают это следующим образом: «Доверие к умозаключениям - это уверенность в том, что если два предыдущих утверждения [посылки P, P → Q] не ошибочны, то окончательное утверждение неверно. по ошибке ... Вывод - это отбрасывание истинной посылки [sic]; это растворение импликации »(стр. 9). Дальнейшее обсуждение этого появляется в «Примитивных идеях и предложениях» как первое из их «примитивных предложений» (аксиом): * 1.1 Все, что подразумевается истинным элементарным предложением, истинно »(стр. 94). В сноске авторы ссылаются на Читатель вернется косновам математики Рассела 1903 г., §38.
- ^ Райхенбах обсуждает тот факт, что импликация P → Q не обязательно должна быть тавтологией (так называемая «тавтологическая импликация»). Даже «простая» импликация (связная или добавочная) работает, но только для тех строк таблицы истинности, которые оцениваются как истинные, см. Reichenbach 1947: 64–66.
Ссылки [ править ]
- ^ «Стратегии чтения диаграмм Венна для понимания прочитанного» . Архивировано из оригинала на 2009-04-29 . Проверено 20 июня 2009 .
- ^ a b Венн, Джон (1881). Символическая логика . Лондон: MacMillan and Co., стр. 509.
- ^ Б Mac Queen, Gailand (октябрь 1967). Логическая диаграмма (PDF) (Диссертация). Университет Макмастера . п. 5. Архивировано из оригинального (PDF) 14 апреля 2017 года . Проверено 14 апреля 2017 . (NB. Имеет подробную историю развития логических диаграмм, включая, помимо прочего, диаграмму Эйлера.)
- ^ Гамильтон 1860: 179. Примеры взяты из Jevons 1881: 71ff.
- ^ ср. Reichenbach 1947: 64
Дальнейшее чтение [ править ]
По дате публикации:
- Сэр Уильям Гамильтон, 1860 г. Лекции по метафизике и логике под редакцией Генри Лонгвилля Манселя и Джона Вейтча , Уильяма Блэквуда и сыновей , Эдинбург и Лондон.
- У. Стэнли Джевонс 1880 г. Элементарные уроки логики: дедуктивный и индуктивный. С множеством вопросов и примеров, а также словарем логических терминов , MA MacMillan and Co. , Лондон и Нью-Йорк.
- Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел, 1913 г., 1-е издание, 1927 г., 2-е издание, Principia Mathematica, * 56 Cambridge At The University Press (издание 1962 г.), Великобритания, без ISBN.
- Луи Кутюра 1914 г. Алгебра логики: Авторизованный английский перевод Лидии Гиллингем Робинсон с предисловием Филиппа Э. Б. Журдена , Издательство Open Court Publishing Company , Чикаго и Лондон.
- Эмиль Пост 1921 «Введение в общую теорию элементарных предложений», перепечатанный с комментарием Жана ван Хейеноорта в книге « Жан ван Хейенорт», редактор 1967 г. От Фреге до Геделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 , Издательство Гарвардского университета , Кембридж, Массачусетс , ISBN 0-674-32449-8 ( PBK .)
- Клод Э. Шеннон 1938 "Символьный анализ реле и коммутационных цепей", Сделки Американский институт инженеров-электриков, том 57, стр. 471–495. По материалам Клода Элвуда Шеннона: Сборник статей под редакцией NJA Solane и Aaron D. Wyner, IEEE Press , Нью-Йорк.
- Ханс Райхенбах Элементы символической логики 1947 года, переизданные в 1980 году Dover Publications, Inc. , Нью-Йорк, ISBN 0-486-24004-5 .
- Вейтч, Эдвард Уэстбрук (1952-05-03) [1952-05-02]. «Диаграмма метода для упрощения функций истины». Труды Ежегодного собрания ACM 1952 года . Ежегодная конференция / ежегодное собрание ACM: Материалы ежегодного собрания ACM 1952 г. (Питтсбург, Пенсильвания, США). Нью-Йорк, США: Ассоциация вычислительной техники (ACM): 127–133. DOI : 10.1145 / 609784.609801 .
- Карно, Морис (ноябрь 1953 г.) [1953-04-23, 1953-03-17]. "Метод отображения для синтеза комбинационных логических схем" (PDF) . Труды Американского института инженеров-электриков, Часть I: Связь и электроника . 72 (5): 593–599. DOI : 10.1109 / TCE.1953.6371932 . Документ 53-217. Архивировано из оригинального (PDF) 16 апреля 2017 года . Проверено 16 апреля 2017 .
- Фредерик Дж. Хилл и Джеральд Р. Петерсон 1968, 1974 г. Введение в теорию переключения и логический дизайн , John Wiley & Sons , NY, ISBN 978-0-471-39882-0 .
- Сандифер, Эд (январь 2004 г.). «Как это сделал Эйлер» (PDF) . maa.org . Архивировано из оригинального (PDF) 26 января 2013 года.
Внешние ссылки [ править ]
 | Викискладе есть медиафайлы, связанные с диаграммами Эйлера . |
- Диаграммы Эйлера. Брайтон, Великобритания (2004 г.). Что такое диаграммы Эйлера?
