Леонард Эйлер

Леонард Эйлер
Портрет Якоба Эмануэля Хандманна (1753 г.)
Родившийся	( 1707-04-15 )15 апреля 1707 г. Базель , Швейцария
Умер	18 сентября 1783 г. (1783-09-18)(76 лет) [ OS : 7 сентября 1783] Санкт-Петербург , Российская Империя
Альма-матер	Базельский университет ( MPhil )
Известен	Посмотреть полный список
Супруг (а)	Катарина Гселл (1734–1773) Саломея Эбигейл Гселл (1776–1783)
Научная карьера
Поля	Математика и физика
Учреждения	Императорская Российская Академия Наук Берлинская Академия
Тезис	Dissertatio Physica de Sono (Физическая диссертация по звуку)  (1726)
Докторант	Иоганн Бернулли
Докторанты	Иоганн Хеннерт
Другие известные студенты	Николя Фусс Степан Румовский Жозеф-Луи Лагранж (эпистолярный корреспондент)
Подпись
Примечания
Он отец математика Иоганна Эйлера . Он указан в академической генеалогии как эквивалент докторанта Жозефа Луи Лагранжа. [1]

Леонард Эйлер ( / ɔɪ л ər / OY -lər ; ^[2] Немецкий: [ɔʏlɐ] ( слушать ) ; ^[3] 15 апреля 1707 - 18 сентября 1783), швейцарский математик , физик , астроном , географ , логик и инженер кто сделал важные и влиятельные открытия во многих областях математики , таких как исчисление бесконечно малых и теория графов, а также вносит новаторский вклад в несколько областей, таких как топология и аналитическая теория чисел . Он также ввел большую часть современной математической терминологии и обозначений , особенно для математического анализа , таких как понятие математической функции . ^[4] Он также известен своими работами в области механики , гидродинамики , оптики , астрономии и теории музыки . ^[5]

Эйлер был одним из самых выдающихся математиков 18 века и считается одним из величайших математиков в истории. Он также широко считается самым плодовитым, поскольку его собрание сочинений составляет 92 тома ^[6], больше, чем кто-либо другой в этой области. Он провел большую часть своей сознательной жизни в Санкт-Петербурге , Россия , и в Берлине , тогда столице Пруссии .

Среди его многочисленных открытий и разработок Эйлеру приписывают популяризацию: греческой буквы π (строчная пи) для обозначения постоянной Архимеда (отношения длины окружности к ее диаметру); Сначала используется термин «f (x)» для описания оси y функции и греческая буква Σ (заглавная сигма) для выражения суммирования; Для разработки « е », новой математической константы (обычно известной как число Эйлера ), примерно эквивалентной 2,71828, для представления естественного основания логарифма, которое имеет несколько приложений, таких как расчет сложных процентов в финансовой инженерии.

Эйлер также произвел революцию в области физики, переформулировав классические законы физики Ньютона в новые законы, которые могли бы более точно объяснить движение твердых тел, таких как частицы (также учитывая фундаментальные аспекты, такие как деформация массы).

Утверждение, приписываемое Пьеру-Симону Лапласу, выражает влияние Эйлера на математику: «Прочтите Эйлера, прочтите Эйлера, он - господин для всех нас». ^{[7] [8]}

Ранние годы

Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в Базеле , Швейцария, в семье Павла III Эйлера, пастора реформатской церкви , и Маргариты, урожденной Брукер, дочери другого пастора. У него были две младшие сестры, Анна Мария и Мария Магдалена, и младший брат Иоганн Генрих. ^[9] Вскоре после рождения Леонарда семья Эйлера переехала из Базеля в город Риен , Швейцария, где Леонхард провел большую часть своего детства. Пол был другом семьи Бернулли ; Иоганн Бернулли , который тогда считался выдающимся математиком Европы, в конечном итоге оказал самое большое влияние на молодого Леонарда.

Формальное образование Эйлера началось в Базеле, куда его отправили жить с бабушкой по материнской линии. В 1720 году в возрасте тринадцати лет он поступил в Базельский университет . В 1723 году он получил степень магистра философии, написав диссертацию, в которой сравнивались философии Декарта и Ньютона . В это время он получал субботние дневные уроки от Иоганна Бернулли, который быстро обнаружил невероятный талант своего нового ученика к математике. ^[10] В то время основные исследования Эйлера включали теологию, греческий язык и иврит по призыву его отца стать пастором, но Бернулли убедил своего отца, что Леонарду суждено стать великим математиком.

В 1726 году Эйлер завершил диссертацию о распространении звука под названием « Де Соно» . ^[11] В то время он безуспешно пытался получить должность в Базельском университете. В 1727 году он впервые участвовал в конкурсе проблем Парижской академии ; Проблема в том году заключалась в том, чтобы найти лучший способ разместить мачты на корабле. Победил Пьер Бугер , который стал известен как «отец военно-морской архитектуры», а Эйлер занял второе место. Позднее Эйлер двенадцать раз выигрывал эту ежегодную премию. ^[12]

Карьера

Санкт-Петербург

Примерно в это время два сына Иоганна Бернулли, Даниил и Николай , работали в Императорской Российской Академии Наук в Санкт-Петербурге . 31 июля 1726 года Николай умер от аппендицита, проведя в России меньше года. ^{[13] [14]} Когда Дэниел занял место своего брата в отделе математики / физики, он рекомендовал, чтобы должность по физиологии, которую он освободил, занял его друг Эйлер. В ноябре 1726 года Эйлер с радостью принял это предложение, но отложил поездку в Санкт-Петербург, поскольку безуспешно подал заявку на должность профессора физики в Базельском университете. ^[15]

Эйлер прибыл в Санкт-Петербург 17 мая 1727 года. Его повысили с младшего поста в медицинском отделении академии до должности математического факультета. Он поселился у Даниэля Бернулли, с которым часто работал в тесном сотрудничестве. Эйлер выучил русский язык и поселился в Санкт-Петербурге. Он также устроился на дополнительную работу медиком в ВМФ России . ^[16]

Академия в Санкт-Петербурге, основанная Петром Великим , была призвана улучшить образование в России и сократить научный разрыв с Западной Европой. В результате он стал особенно привлекательным для иностранных ученых, таких как Эйлер. Академия располагала обширными финансовыми ресурсами и обширной библиотекой, взятой из частных библиотек самого Петра и знати. В академию было зачислено очень мало студентов, чтобы облегчить преподавательскую нагрузку. Академия уделяла особое внимание исследованиям и предлагала своим преподавателям время и свободу заниматься научными вопросами. ^[12]

Благодетельница Академии Екатерина I , продолжавшая прогрессивную политику своего покойного мужа, скончалась в день приезда Эйлера. Русское дворянство тогда пришло к власти с вознесением двенадцатилетнего Петра II . Знать, с подозрением относившуюся к иностранным ученым академии, урезало финансирование и вызвало другие трудности для Эйлера и его коллег.

Условия немного улучшились после смерти Петра II, и Эйлер быстро поднялся по служебной лестнице в академии и стал профессором физики в 1731 году. Двумя годами позже Даниэль Бернулли, которому надоели цензура и враждебность, с которыми он столкнулся в Св. Петербург, выехал в Базель. Эйлер сменил его на посту главы математического факультета. ^[17]

7 января 1734 года он женился на Катарине Гселл (1707–1773), дочери Георга Гселля , художника Академии гимназии. ^[18] Молодые люди купили дом на берегу Невы . Из их тринадцати детей только пятеро пережили детство. ^[19]

Берлин

Обеспокоенный продолжающимися беспорядками в России, Эйлер покинул Санкт-Петербург 19 июня 1741 года, чтобы занять должность в Берлинской академии , которую ему предложил Фридрих Великий из Пруссии . Он прожил 25 лет в Берлине , где написал более 380 статей. В Берлине он опубликовал две работы , для которых он станет самым известным: Введение в анализе бесконечно малый , текст о функциях , опубликованных в 1748 году, и Institutiones исчислений differentialis , ^[20] опубликовано в 1755 году в дифференциальном исчислении . ^[21] В 1755 году он был избран иностранным членом Шведской королевской академии наук .

Кроме того, Эйлера попросили обучать Фридерику Шарлотту Бранденбург-Шведтскую , принцессу Ангальт-Дессау и племянницу Фредерика. В начале 1760-х годов Эйлер написал ей более 200 писем, которые позже были собраны в бестселлер под названием « Письма Эйлера по различным вопросам естественной философии, адресованные немецкой принцессе» . ^[22]Эта работа содержала экспозицию Эйлера по различным предметам, относящимся к физике и математике, а также предлагала ценную информацию о личности и религиозных убеждениях Эйлера. Эта книга стала более читаемой, чем любая из его математических работ, и была опубликована по всей Европе и в Соединенных Штатах. Популярность «Письма» свидетельствует о способности Эйлера эффективно передавать научные вопросы непрофессиональной аудитории, что является редкостью для преданного ученого-исследователя. ^[21]

Несмотря на огромный вклад Эйлера в престиж Академии, он в конце концов навлек на себя гнев Фредерика и вынужден был покинуть Берлин. При дворе прусского короля был большой круг интеллектуалов, и он находил математика бесхитростным и плохо осведомленным в вопросах, выходящих за рамки чисел и цифр. Эйлер был простым, искренне религиозным человеком, который никогда не подвергал сомнению существующий общественный порядок или общепринятые убеждения, во многих отношениях полярную противоположность Вольтеру , пользовавшемуся высоким авторитетом при дворе Фридриха. Эйлер не был искусным спорщиком и часто ставил себе целью спорить по темам, о которых он мало знал, что делало его частой целью остроумия Вольтера. ^[21] Фредерик также выразил разочарование практическими инженерными способностями Эйлера:

Я хотел, чтобы в моем саду была струя воды: Эйлер рассчитал силу колес, необходимую для подъема воды в резервуар, откуда она должна падать обратно по каналам, наконец, в Сан-Суси . Моя мельница имела геометрическую форму и не могла поднять глоток воды ближе, чем на пятьдесят шагов к резервуару. Суета сует! Тщеславие геометрии! ^[23]

Личная жизнь

Ухудшение зрения

Зрение Эйлера ухудшалось на протяжении всей его математической карьеры. В 1738 году, через три года после того, как он почти скончался от лихорадки, он почти ослеп на правый глаз, но Эйлер скорее винил в своем заболевании кропотливую работу по картографии, которую он выполнял для Петербургской академии. Зрение Эйлера этим глазом ухудшилось во время его пребывания в Германии, до такой степени, что Фредерик называл его « Циклопом ». Эйлер заметил по поводу потери зрения: «Теперь я буду меньше отвлекаться». ^[24] Позже у него развилась катаракта.в его левом глазу, который был обнаружен в 1766 году. Всего через несколько недель после его открытия неудавшаяся хирургическая реставрация сделала его почти полностью слепым. Ему тогда было 59 лет. Однако его состояние, похоже, мало повлияло на его продуктивность, поскольку он компенсировал это своими умственными расчетами и исключительной памятью. Например, Эйлер может повторить Энеиду из Вергилия от начала до конца без колебаний, и для каждой страницы в издании он может указать , какая линия была первой , и которые в последнюю очередь . С помощью его писцов продуктивность Эйлера во многих областях исследования действительно увеличилась. В 1775 году он выпускал в среднем одну математическую работу каждую неделю ^[25].У Эйлеров было двойное имя, Эйлер-Шёльпи, последнее из которых происходит от schelb и schief , что означает косоглазый, косоглазый или искривленный. Это говорит о том, что у Эйлеров были проблемы с глазами. ^[26]

Возвращение в Россию и смерть

В 1760 году, когда бушевала Семилетняя война , ферма Эйлера в Шарлоттенбурге была разграблена наступающими русскими войсками. Узнав об этом событии, генерал Иван Петрович Салтыков выплатил компенсацию за ущерб, нанесенный имению Эйлера, а российская императрица Елизавета позже добавила еще 4000 рублей - непомерную сумму в то время. ^[27] Политическая ситуация в России стабилизировалась после правления Екатерины Великой.восшествия на престол, поэтому в 1766 году Эйлер принял приглашение вернуться в Петербургскую академию. Его условия были довольно запредельными - зарплата 3000 рублей в год, пенсия жене и обещание высоких назначений для сыновей. Все эти запросы были удовлетворены. Остаток жизни он провел в России. Однако его второе пребывание в стране было омрачено трагедией. Пожар в Петербурге в 1771 году стоил ему дома и почти жизни. В 1773 году он потерял жену Катарину после 40 лет брака.

Через три года после смерти жены Эйлер женился на ее сводной сестре Саломе Абигейл Гселл (1723–1794). ^[28] Этот брак продлился до его смерти. В 1782 году он был избран иностранным почетным членом Американской академии искусств и наук . ^[29]

В Санкт-Петербурге 18 сентября 1783 года, после обеда со своей семьей, Эйлер обсуждал недавно открытую планету Уран и ее орбиту с коллегой- академиком Андерсом Йоханом Лекселлом , когда он потерял сознание от кровоизлияния в мозг . Он умер через несколько часов. ^[30] Якоб фон Штейн-Шторксбург написал короткий некролог Российской академии наук, а русский математик Николас Фусс , один из учеников Эйлера, написал более подробную панегирик ^[31], который он произнес на мемориальном собрании. В своем восхвалении Французской академии французский математик и философ маркиз де Кондорсе, написал:

il cessa de calculer et de vivre - ... он перестал считать и жить. ^[32]

Похоронен Эйлер рядом с Катариной на Смоленском лютеранском кладбище на острове Голодай . В 1785 году Российская академия наук поставила мраморный бюст Леонарда Эйлера на пьедестал рядом с креслом директора, а в 1837 году установила надгробие на могиле Эйлера. В ознаменование 250-летия со дня рождения Эйлера надгробие было перенесено в 1956 году вместе с его останками в некрополь XVIII века в Александро-Невском монастыре .

Вклад в математику и физику

Эйлер работал почти во всех областях математики, таких как геометрия , исчисление бесконечно малых , тригонометрия , алгебра и теория чисел , а также физика континуума , теория Луны и другие области физики . Он является выдающейся фигурой в истории математики; в случае печати его работы, многие из которых представляют фундаментальный интерес, заняли бы от 60 до 80 кварт томов. ^[25] С именем Эйлера связано большое количество тем .

Эйлер - единственный математик, назвавший в честь себя два числа: важное число Эйлера в исчислении , e , примерно равное 2,71828, и константу Эйлера-Маскерони γ ( гамма ), которую иногда называют просто «постоянной Эйлера», примерно равной 0,57721. Неизвестно, рационально или иррационально γ . ^[33]

Математические обозначения

Эйлер ввел и популяризировал несколько условных обозначений в своих многочисленных и широко распространенных учебниках. В частности, он ввел понятие функции ^[4] и первым написал f ( x ) для обозначения функции f, применяемой к аргументу x . Он также ввел современные обозначения для тригонометрических функций , букву e для основания натурального логарифма (теперь также известного как число Эйлера ), греческую букву Σ для суммирования и букву i для обозначения мнимой единицы . ^[34]Использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру также было популяризировано Эйлером, хотя оно возникло у валлийского математика Уильяма Джонса . ^[35]

Анализ

Развитие исчисления бесконечно малых было в авангарде математических исследований 18-го века, и Бернулли - друзья семьи Эйлера - были ответственны за большую часть первых успехов в этой области. Благодаря их влиянию изучение математического анализа стало основным направлением работы Эйлера. Хотя некоторые из доказательств Эйлера неприемлемы с точки зрения современных стандартов математической строгости ^[36] (в частности, его опора на принцип всеобщности алгебры ), его идеи привели ко многим большим успехам. Эйлер хорошо известен в области анализа благодаря частому использованию и развитию степенных рядов , выражению функций в виде сумм бесконечно многих членов, таких как

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}$

Эйлер непосредственно доказал разложения в степенной ряд для e и функции обратной касательной . (Непрямое доказательство с помощью метода обратных степенных рядов было дано Ньютоном и Лейбницем между 1670 и 1680 годами.) Его смелое использование степенных рядов позволило ему решить знаменитую проблему Базеля в 1735 году (он представил более подробный аргумент в 1741 году): ^{[36 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

Эйлер ввел использование экспоненциальной функции и логарифмов в аналитических доказательствах. Он обнаружил способы выражения различных логарифмических функций с помощью степенных рядов и успешно определил логарифмы для отрицательных и комплексных чисел , тем самым значительно расширив область математических приложений логарифмов. ^[34] Он также определил экспоненциальную функцию для комплексных чисел и обнаружил ее связь с тригонометрическими функциями . Для любого действительного числа φ (считающегося радианами) формула Эйлера утверждает, что комплексная экспоненциальная функция удовлетворяет

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .}$

Частный случай приведенной выше формулы известен как тождество Эйлера ,

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

названный Ричардом П. Фейнманом «самой замечательной формулой в математике» за одноразовое использование понятий сложения, умножения, возведения в степень и равенство, а также за одноразовое использование важных констант 0, 1, e , i и π . ^[37] В 1988 году читатели Mathematical Intelligencer признали его «Самой красивой математической формулой на свете». ^[38] Всего Эйлер разработал три из пяти лучших формул в этом опросе. ^[38]

Формула Де Муавра является прямым следствием формулы Эйлера .

Эйлер разработал теорию высших трансцендентных функций , введя гамма-функцию, и ввел новый метод решения уравнений четвертой степени . Он нашел способ вычисления интегралов со сложными пределами, предвещая развитие современного комплексного анализа . Он изобрел вариационное исчисление, включая его наиболее известный результат - уравнение Эйлера – Лагранжа .

Эйлер впервые применил аналитические методы для решения задач теории чисел. При этом он объединил две разрозненные области математики и представил новую область исследований - аналитическую теорию чисел . Создавая основу для этой новой области, Эйлер создал теорию гипергеометрических рядов , q-рядов , гиперболических тригонометрических функций и аналитическую теорию непрерывных дробей . Например, он доказал бесконечность простых чисел, используя дивергенцию гармонических рядов , и использовал аналитические методы, чтобы получить некоторое представление о том, как распределяются простые числа . Работа Эйлера в этой области привела к развитиюТеорема о простых числах . ^[39]

Теория чисел

Интерес Эйлера к теории чисел можно проследить до влияния Кристиана Гольдбаха , его друга по Петербургской академии. Многие ранние работы Эйлера по теории чисел были основаны на работах Пьера де Ферма . Эйлер развил некоторые идеи Ферма и опроверг некоторые его предположения.

Эйлер связывал природу простого распределения с идеями анализа. Он доказал, что сумма обратных простых чисел расходится . При этом он обнаружил связь между дзета-функцией Римана и простыми числами; это известно как формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана .

Эйлер доказал тождество Ньютона , малую теорему Ферма , теорема Ферма о суммах двух квадратов , и он сделал особый вклад в четырех квадратной теорему Лагранжа . Он также изобрел общую функцию φ ( n ) - количество натуральных чисел, меньших или равных целому числу n , взаимно простых с n . Используя свойства этой функции, он обобщил маленькую теорему Ферма до того, что теперь известно как теорема Эйлера . Он внес значительный вклад в теорию совершенных чисел , которая увлекала математиков со времен Евклида.. Он доказал, что связь, показанная между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна, ранее доказанная Евклидом, была взаимно однозначной, результат, иначе известный как теорема Евклида – Эйлера . Эйлер также предположил закон квадратичной взаимности . Эта концепция считается фундаментальной теоремой теории чисел, и его идеи проложили путь к работе Карла Фридриха Гаусса . ^[40] К 1772 году Эйлер доказал, что 2 ³¹  - 1 = 2 147 483 647 является простым числом Мерсенна. Возможно, он оставался самым крупным известным простым числом до 1867 года. ^[41]

Теория графов

В 1735 году Эйлер представил решение проблемы, известной как Семь мостов Кенигсберга . ^[42] Город Кенигсберг , Пруссия, был расположен на реке Прегель и включал два больших острова, которые были связаны друг с другом и с материком семью мостами. Проблема состоит в том, чтобы решить, можно ли пройти по пути, который пересекает каждый мост ровно один раз и возвращается к исходной точке. Это невозможно: нет эйлеровой схемы . Это решение считается первой теоремой теории графов , в частности теории плоских графов . ^[42]

Эйлера также обнаружил формулу , связывающую число вершин, ребер и граней выпуклого многогранника , ^[43] и , следовательно , из плоского графа . Константа в этой формуле теперь известна как характеристика Эйлера для графа (или другого математического объекта) и связана с родом объекта. ^[44] Изучение и обобщение этой формулы, в частности, Коши ^[45] и L'Huilier , ^[46] лежит в основе топологии .${\displaystyle V-E+F=2}$

Прикладная математика

Некоторые из величайших успехов Эйлера заключались в аналитическом решении реальных проблем и в описании многочисленных приложений чисел Бернулли , рядов Фурье , чисел Эйлера , констант e и π , цепных дробей и интегралов. Он интегрирован Лейбница «s дифференциальное исчисление с ньютоновской методом флюксий , и развитые инструменты , которые сделали его легче применить исчисление к физическим проблемам. Он добился больших успехов в улучшении численного приближения интегралов, изобретя то, что сейчас известно как приближения Эйлера . Наиболее заметными из этих приближений являютсяМетод Эйлера и формула Эйлера-Маклорена . Он также способствовал использованию дифференциальных уравнений , в частности, введя постоянную Эйлера – Маскерони :

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}$

Одним из наиболее необычных интересов Эйлера было применение математических идей в музыке. В 1739 году он написал Tentamen novae theoriae musicae, надеясь в конечном итоге включить музыкальную теорию в математику. Эта часть его работы, однако, не получила широкого внимания и когда-то была описана как слишком математическая для музыкантов и слишком музыкальная для математиков. ^[47]

В 1911 году, почти через 130 лет после смерти Эйлера, Альфред Дж. Лотка использовал работу Эйлера для вывода уравнения Эйлера – Лотки для расчета темпов прироста популяций с возрастной структурой - фундаментального метода, который обычно используется в популяционной биологии и экологии.

Физика и астрономия

Часть серии по
Классическая механика
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

Эйлер помог разработать уравнение пучка Эйлера – Бернулли , которое стало краеугольным камнем инженерии. Помимо успешного применения своих аналитических инструментов к проблемам классической механики , Эйлер применил эти методы к небесным задачам. Его работа в области астрономии была отмечена множеством премий Парижской академии в течение его карьеры. Его достижения включают определение с большой точностью орбит комет и других небесных тел, понимание природы комет и вычисление параллакса Солнца. Его расчеты способствовали разработке точных таблиц долготы . ^[48]

Эйлер внес важный вклад в оптику . Он не соглашался с корпускулярной теорией света Ньютона в Opticks , которая тогда была преобладающей теорией. Его статьи 1740-х годов по оптике помогли гарантировать, что волновая теория света, предложенная Христианом Гюйгенсом , станет доминирующим способом мышления, по крайней мере, до развития квантовой теории света . ^[49]

В 1757 году он опубликовал важный набор уравнений для невязкого течения , которые теперь известны как уравнения Эйлера . ^[50] В дифференциальной форме уравнения следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\\[1.2ex]&{\partial (\rho {\mathbf {u} }) \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {u} ))+\nabla p=\mathbf {0} \\[1.2ex]&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}$

куда

• ρ - массовая плотность жидкости ,
• u - вектор скорости жидкостис компонентами u , v и w ,
• E = ρ e + ½ ρ ( u ² + v ² + w ² ) - полная энергия на единицу объема , где e - внутренняя энергия на единицу массы для жидкости,
• p - давление ,
• ⊗ обозначает тензорное произведение , а
• 0 - нулевой вектор .

Эйлер хорошо известен в строительной инженерии своей формулой, определяющей критическую нагрузку продольного изгиба идеальной стойки, которая зависит только от ее длины и жесткости на изгиб: ^[51]

${\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}$

куда

• F = максимальная или критическая сила (вертикальная нагрузка на колонну),
• E = модуль упругости ,
• I = момент инерции площади ,
• L = неподдерживаемая длина колонны,
• K = коэффициент эффективной длины колонны, значение которого зависит от условий концевой опоры колонны следующим образом.

Для обоих концов со штифтами (шарнирные, свободно вращающиеся) K = 1,0.

Для обоих концов K = 0,50.

Для одного закрепленного конца и закрепленного на другом конце K = 0,699…

Если один конец закреплен, а другой конец может свободно перемещаться в боковом направлении, K = 2,0.

• KL - эффективная длина колонны.

Логика

Эйлеру приписывают использование замкнутых кривых для иллюстрации силлогистических рассуждений (1768). Эти диаграммы стали известны как диаграммы Эйлера . ^[52]

Диаграмма Эйлера - это схематическое средство представления множеств и их отношений. Диаграммы Эйлера состоят из простых замкнутых кривых (обычно окружностей) на плоскости, которые изображают множества . Каждая кривая Эйлера делит плоскость на две области или «зоны»: внутреннюю, которая символически представляет элементы набора, и внешнюю, которая представляет все элементы, которые не являются членами набора. Размеры или форма изгибов не важны; значение диаграммы в том, как они перекрываются. Пространственные отношения между областями, ограниченными каждой кривой (перекрытие, сдерживание или ни одно), соответствуют теоретико-множественным отношениям ( пересечение , подмножество идизъюнктность ). Кривые, внутренние зоны которых не пересекаются, представляют собой непересекающиеся множества . Две кривые, внутренние зоны которых пересекаются, представляют наборы, имеющие общие элементы; зона внутри обеих кривых представляет собой набор элементов, общих для обоих наборов ( пересечение наборов). Кривая, полностью находящаяся внутри другой зоны, представляет собой ее подмножество . Диаграммы Эйлера (и их усовершенствование до диаграмм Венна ) были включены как часть обучения теории множеств в рамках нового математического движения в 1960-х годах. С тех пор они были приняты и в других областях учебной программы, например в чтении. ^[53]

Музыка

Даже в отношении музыки подход Эйлера в основном математический. Его сочинения о музыке не особенно многочисленны (несколько сотен страниц при его общем произведении около тридцати тысяч страниц), но они отражают раннюю озабоченность, которая не покидала его на протяжении всей его жизни. ^[54]

Первым пунктом музыкальной теории Эйлера является определение «жанров», то есть возможных делений октавы с использованием простых чисел 3 и 5. Эйлер описывает 18 таких жанров с общим определением 2 ^m A, где A - «показатель степени». «жанра (т.е. сумма показателей 3 и 5) и 2 ^m (где« m - неопределенное число, маленькое или большое, при условии, что звуки воспринимаются » ^[55] ), выражает, что соотношение выполняется независимо от количества задействованных октав. Первый жанр с A = 1 - это сама октава (или ее дубликаты); второй жанр, 2 ^м. 3, - октава, разделенная на пятую (пятая + четвертая, C – G – C); третий жанр - 2 ^м. 5, мажорная треть + минорная шестая (C – E – C);четвертый - 2^м .3 ² , две четверти и тон (C – F – B ♭ –C); пятый - 2 ^м .3,5 (C – E – G – B – C); и т. д. Жанры 12 (2 ^м. 3 ^3. 5), 13 (2 ^м. 3 ^2. 5 ² ) и 14 (2 ^м. 3,5 ³ ) являются исправленными версиями диатонической, хроматической и энгармонической соответственно Древних. . Жанр 18 (2 ^м. 3 ^3. 5 ² ) - это «диатонико-хроматический», «обычно используемый во всех композициях» ^[56], который оказывается идентичным системе, описанной Иоганном Маттесоном . ^[57]Позднее Эйлер предусмотрел возможность описания жанров, включая простое число 7. ^[58]

Эйлера разработал конкретный график, на Musicum зеркал , ^[59] , чтобы проиллюстрировать diatonico-хроматической жанр, и обсуждены путями в этом графике для конкретных интервалов, ссылаясь на свою заинтересованность в семи мостах Кенигсберга (см выше ). Устройство вызвало новый интерес как Тоннец в неоримановской теории (см. Также Решетка (музыка) ). ^[60]

Эйлер далее использовал принцип «экспоненты», чтобы предложить вывод gradus suavitatis (степень учтивости, приятности) интервалов и аккордов из их простых множителей - следует иметь в виду, что он рассматривал только интонацию, то есть 1 и только простые числа 3 и 5. ^[61] Были предложены формулы, расширяющие эту систему до любого числа простых чисел, например, в форме

ds = Σ (к _я п _я - к _я ) + 1

где p _i - простые числа, а k _{i -} их показатели. ^[62]

Личная философия и религиозные убеждения

Эйлер и его друг Даниэль Бернулли были противниками монадизма Лейбница и философии Кристиана Вольфа . Эйлер настаивал на том, что знание частично основано на точных количественных законах, чего не могли обеспечить монадизм и вольфовская наука. Религиозные склонности Эйлера могли также повлиять на его неприязнь к доктрине; он зашел так далеко, что назвал идеи Вольфа «языческими и атеистическими». ^[63]

Многое из того, что известно о религиозных убеждениях Эйлера, можно вывести из его писем к немецкой принцессе и более ранней работы Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister ( Защита божественного откровения от возражений свободомыслящих ). Эти работы показывают, что Эйлер был набожным христианином, который считал, что Библия вдохновлена; Rettung был главным аргументом в пользу богодухновенности Писания . ^[64]

Существует известная легенда ^[65], вдохновленная спорами Эйлера со светскими философами по поводу религии, действие которой происходит во время второго пребывания Эйлера в Петербургской академии. Французский философ Дени Дидро находился с визитом в России по приглашению Екатерины Великой. Однако императрица была встревожена тем, что аргументы философа в пользу атеизма влияли на членов ее двора, и поэтому Эйлера попросили противостоять французу. Дидро был проинформирован, что ученый математик представил доказательство существования Бога : он согласился просмотреть доказательство в том виде, в каком оно было представлено в суде. Появился Эйлер, подошел к Дидро и тоном совершенной убежденности объявил об этой непоследовательности : «Сэр,а + б ^н/п= x , значит, Бог существует - ответьте! »Дидро, для которого (говорит эта история) вся математика была тарабарщиной, онемел, когда из зала разразились раскаты смеха. Смущенный, он попросил покинуть Россию, просьба, которая была любезно удовлетворена Императрица. Каким бы забавным ни был анекдот, он апокриф , учитывая, что сам Дидро проводил исследования в области математики. ^[66] Легенда, по-видимому, впервые была рассказана Дьедонне Тьебо ^[67] с приукрашиванием Августом Де Морганом . ^{[68] [69 ] ]}

Памятные даты

Эйлер был изображен на шестой серии швейцарской банкноты достоинством 10 франков и на многочисленных швейцарских, немецких и российских почтовых марках. В его честь был назван астероид 2002 Эйлер . Лютеранская церковь также поминает его в своем Календаре Святых 24 мая - он был набожным христианином (и сторонником библейской непогрешимости ), который написал апологетику и решительно выступил против выдающихся атеистов своего времени. ^[64]

Избранная библиография

Эйлер имеет обширную библиографию . Его самые известные книги:

• Механика (1736 г.).
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu acceptpti (1744) . Латинское название переводится как метод поиска кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрических задач в самом широком смысле . ^[70]
• Introductio in analysin infinitorum (1748). Английский перевод Введение в анализ бесконечности Джона Блэнтона (Книга I, ISBN  978-0-387-96824-7 , Springer-Verlag 1988; Книга II, ISBN 978-0-387-97132-2 , Springer-Verlag 1989) . 
• Два влиятельных учебника по математическому анализу: Institutiones Calculi Differenceis (1755) и Institutionum Calculi Integratedis (1768–1770).
• Эйлер, Леонард (2015). Элементы алгебры . ISBN 978-1-5089-0118-1.(Перевод « Vollständige Anleitung zur Algebra» Эйлера , 1765. Этот текст по элементарной алгебре начинается с обсуждения природы чисел и дает всестороннее введение в алгебру, включая формулы для решений полиномиальных уравнений.)
• Письма к немецкой принцессе (1768–1772).

Первый сборник трудов Эйлера выступил Пол Генрих фон Фусс в 1862. ^[71] Окончательное собрание сочинений Эйлера, озаглавленное Opera Omnia , издается с 1911 г. Эйлер комиссией по швейцарской академии наук . Полный хронологический список работ Эйлера доступен в The Eneström Index . ^[72] Полнотекстовые версии многих статей Эйлера в открытом доступе доступны на языке оригинала и в переводе на английский язык в Архиве Эйлера, находящемся в Тихоокеанском университете. Архив Эйлера был начат в Дартмутском колледже ^{[73], а} затем перешел в Математическую ассоциацию Америки ^[74]. и совсем недавно в Тихоокеанском университете в 2017 году.

• Иллюстрация из Solutio problematis ... a. 1743 propositi опубликовано в Acta Eruditorum , 1744

• Титульный лист « Methodus inveniendi lineas curvas» Эйлера .

Смотрите также

Рекомендации

Источники

• Calinger, Рональд (1996). «Леонард Эйлер: Первые годы Петербурга (1727–1741)». Historia Mathematica . 23 (2): 121–66. DOI : 10.1006 / hmat.1996.0015 .
• Данэм, Уильям (1999). Эйлер: Мастер всех нас . Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-328-3.
• Геккер, IR; Эйлер, АА (2007). «Семья и потомки Леонарда Эйлера». В Боголюбов, Николай Николаевич ; Михайлов, Г.К .; Юшкевич, Адольф Павлович (ред.). Эйлер и современная наука . Перевод Роберта Бернса. Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-564-5.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка

Wikisource имеет текст 1911 Encyclopaedia Britannica статьи Эйлер, Леонард .

• СМИ, связанные с Леонардом Эйлером на Викискладе?
• LeonhardEuler.com
• Вайсштейн, Эрик Вольфганг (ред.). «Эйлер, Леонард (1707–1783)» . ScienceWorld .
• Леонард Эйлер в Британской энциклопедии
• Леонард Эйлер в проекте « Математическая генеалогия»
• Как это сделал Эйлер, содержит столбцы, объясняющие, как Эйлер решал различные задачи.
• Эйлер архив
• Леонард Эйлер - uvres Complètes Gallica-Math
• Комитет Эйлера Швейцарской академии наук
• Ссылки на Леонарда Эйлера
• 300 лет со дня рождения Эйлера 2007
• Общество Эйлера
• Семейное древо Эйлера
• Переписка Эйлера с королем Пруссии Фридрихом Великим
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Леонард Эйлер" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
• Гипотеза Эйлера квартики
• Портрет Леонарда Эйлера из цифрового архива записей обсерватории Лик, цифровых коллекций библиотеки Калифорнийского университета в Санта-Крус
• Эйлера (1769–1771) Dioptricae, 3 тт. - цифровое факсимиле из библиотеки Линда Холл
• Работы Леонарда Эйлера в LibriVox (аудиокниги, являющиеся общественным достоянием)
• Леонард Эйлер в IMDb
• Эйлеровский архив Тихоокеанского университета