Гибка

Изгиб в I -beam

В прикладной механике , изгибающей (также известная как изгиб ) характеризует поведение тонкого структурного элемента , подвергнутый внешнюю нагрузку применяется перпендикулярно к продольной оси элемента.

Предполагается, что структурный элемент такой, что по крайней мере один из его размеров составляет небольшую долю, обычно 1/10 или меньше, от двух других. ^[1] Если длина значительно больше ширины и толщины, элемент называется балкой . Например, штанга шкафа, провисающая под весом одежды на вешалках, является примером изгиба балки. С другой стороны, оболочкапредставляет собой конструкцию любой геометрической формы, длина и ширина которой имеют одинаковый порядок величины, но толщина конструкции (известная как «стена») значительно меньше. Тонкостенная короткая трубка большого диаметра, поддерживаемая на концах и нагруженная сбоку, является примером изгиба оболочки.

В отсутствие квалификатора термин « изгиб» неоднозначен, поскольку изгиб может происходить локально во всех объектах. Следовательно, чтобы сделать использование термина более точным, инженеры обращаются к конкретному объекту, например; изгиб стержней , ^[2] изгиб балок , ^[1] изгиб пластин , ^[3] изгиб оболочек ^[2] и так далее.

Квазистатический изгиб балок [ править ]

Балка деформируется, и внутри нее возникают напряжения при приложении к ней поперечной нагрузки. В квазистатическом случае предполагается , что величина прогиба при изгибе и возникающие напряжения не изменяются со временем. В горизонтальной балке, поддерживаемой на концах и нагруженной вниз посередине, материал на внешней стороне балки сжимается, а материал на нижней стороне растягивается. Существуют две формы внутренних напряжений, вызванных поперечными нагрузками:

• Напряжение сдвига, параллельное боковой нагрузке, плюс дополнительное напряжение сдвига в плоскостях, перпендикулярных направлению нагрузки;
• Прямое сжимающее напряжение в верхней части балки и прямое растягивающее напряжение в нижней части балки.

Эти две последние силы образуют пару или момент, поскольку они равны по величине и противоположны по направлению. Этот изгибающий момент противостоит деформации провисания, характерной для изгибаемой балки. Распределение напряжений в балке можно довольно точно спрогнозировать, если использовать некоторые упрощающие допущения. ^[1]

Теория изгиба Эйлера – Бернулли [ править ]

В теории тонких балок Эйлера – Бернулли основное предположение состоит в том, что «плоские сечения остаются плоскими». Другими словами, любая деформация из-за сдвига по сечению не учитывается (деформация сдвига отсутствует). Кроме того, это линейное распределение применимо только в том случае, если максимальное напряжение меньше, чем предел текучести материала. Для напряжений, превышающих предел текучести, см. Статью « Пластический изгиб» . При текучести максимальное напряжение, испытываемое в сечении (в самых дальних точках от нейтральной оси балки), определяется как прочность на изгиб .

Рассмотрим балки, для которых верны следующие утверждения:

• Луч изначально прямой и тонкий, а любой конус небольшой.
• Материал изотропный (или ортотропный ), линейно-эластичный и однородный по любому поперечному сечению (но не обязательно по длине).
• Учитываются только небольшие прогибы

В этом случае уравнение, описывающее прогиб балки ( ), можно аппроксимировать следующим образом:${\ displaystyle w}$

${\ Displaystyle {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {2} w (x)} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = {\ frac {M (x)} {E (x) I (Икс)}}}$

где вторая производная его отклоненной формы по отношению к интерпретируется как его кривизна, является модулем Юнга , является моментом инерции площади поперечного сечения и является внутренним изгибающим моментом в балке.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle M}$

Если, кроме того, балка также однородна по своей длине, а не сужается (т.е. с постоянным поперечным сечением) и прогибается под действием приложенной поперечной нагрузки , можно показать, что: ^[1]${\ Displaystyle д (х)}$

${\ displaystyle EI ~ {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {4} w (x)} {\ mathrm {d} x ^ {4}}} = q (x)}$

Это уравнение Эйлера – Бернулли для изгиба балки.

После получения решения для перемещения балки изгибающий момент ( ) и поперечная сила ( ) в балке могут быть рассчитаны с использованием соотношений${\ displaystyle M}$${\ displaystyle Q}$

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~Q(x)={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}.}$

Простой изгиб балки часто анализируется с помощью уравнения Эйлера – Бернулли. Условия использования простой теории изгиба: ^[4]

1. Балка подлежит чистому изгибу . Это означает, что поперечная сила равна нулю, а скручивающие или осевые нагрузки отсутствуют.
2. Материал изотропный (или ортотропный ) и однородный .
3. Материал подчиняется закону Гука (он линейно упруг и не деформируется пластически).
4. Балка изначально прямая с постоянным поперечным сечением по всей длине балки.
5. Балка имеет ось симметрии в плоскости изгиба.
6. Пропорции балки таковы, что она может выйти из строя из-за изгиба, а не из-за раздавливания, складывания или поперечного коробления .
7. Поперечные сечения балки при изгибе остаются плоскими.

Сжимающие и растягивающие силы развиваются в направлении оси балки под действием изгибающих нагрузок. Эти силы вызывают напряжения в балке. Максимальное сжимающее напряжение находится на самом верхнем крае балки, а максимальное растягивающее напряжение - на нижнем крае балки. Поскольку напряжения между этими двумя противоположными максимумами изменяются линейно , на линейной траектории между ними существует точка, в которой нет напряжения изгиба. локусиз этих точек - нейтральная ось. Из-за этой области без напряжения и прилегающих областей с низким напряжением использование балок с равномерным поперечным сечением при изгибе не является особенно эффективным средством поддержки нагрузки, поскольку оно не использует полную мощность балки до тех пор, пока она не окажется на грани изгиба. крах. Широкий фланец балки ( я -beams ) и стропильные балки эффективно решить эту неэффективность , поскольку они свести к минимуму количество материала в этом при напряженных области.

Классическая формула для определения напряжения изгиба в балке при простом изгибе: ^[5]

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {M_{z}y}{I_{z}}}={\frac {M_{z}}{W_{z}}}}$

куда

• ${\displaystyle {\sigma _{x}}}$ напряжение изгиба
• ${\displaystyle M_{z}}$ - момент относительно нейтральной оси
• ${\displaystyle y}$ - расстояние по перпендикуляру к нейтральной оси
• ${\displaystyle I_{z}}$- второй момент площади относительно нейтральной оси z .
• ${\displaystyle W_{z}}$- Момент сопротивления относительно нейтральной оси z .${\displaystyle W_{z}=I_{z}/y}$

Расширения теории изгиба балок Эйлера-Бернулли [ править ]

Пластиковая гибка [ править ]

Уравнение действительно только тогда, когда напряжение на крайнем волокне (т. Е. В части балки, наиболее удаленной от нейтральной оси) ниже предела текучести материала, из которого оно построено. При более высоких нагрузках распределение напряжений становится нелинейным, и пластичные материалы в конечном итоге переходят в состояние пластического шарнира, в котором величина напряжения равна пределу текучести повсюду в балке, с разрывом на нейтральной оси, где напряжение изменяется от растяжение к сжатию. Это пластичное состояние шарнира обычно используется в качестве предельного состояния при проектировании стальных конструкций.${\displaystyle \sigma ={\tfrac {My}{I_{x}}}}$

Сложный или асимметричный изгиб [ править ]

Вышеприведенное уравнение действительно только в том случае, если поперечное сечение симметрично. Для однородных балок с несимметричным сечением максимальное напряжение изгиба в балке определяется выражением

${\displaystyle \sigma _{x}(y,z)=-{\frac {M_{z}~I_{y}+M_{y}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}y+{\frac {M_{y}~I_{z}+M_{z}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}z}$^[6]

где - координаты точки на поперечном сечении, в которой должно быть определено напряжение, как показано справа, и - изгибающие моменты вокруг осей центроидов y и z , и - вторые моменты площади (отличные от моментов инерция) относительно осей y и z и является произведением моментов площади . Используя это уравнение, можно рассчитать изгибающее напряжение в любой точке поперечного сечения балки независимо от ориентации момента или формы поперечного сечения. Обратите внимание на то, что не переходите от одной точки к другой на поперечном сечении.${\displaystyle y,z}$${\displaystyle M_{y}}$${\displaystyle M_{z}}$${\displaystyle I_{y}}$${\displaystyle I_{z}}$${\displaystyle I_{yz}}$${\displaystyle M_{y},M_{z},I_{y},I_{z},I_{yz}}$

Большая деформация изгиба [ править ]

При больших деформациях тела напряжение в поперечном сечении рассчитывается по расширенной версии этой формулы. Сначала необходимо сделать следующие предположения:

1. Допущение плоских участков - до и после деформации рассматриваемый участок тела остается плоским (т. Е. Не закручен).
2. Сдвиговые и нормальные напряжения в этом сечении, перпендикулярные вектору нормали к поперечному сечению, не влияют на нормальные напряжения, параллельные этому сечению.

Если радиус изгиба меньше десяти высот сечения h, следует учитывать большие возможности изгиба :${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho <10h.}$

С этими предположениями напряжение при большом изгибе рассчитывается как:

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}+{\frac {M}{\rho A}}+{\frac {M}{{I_{x}}'}}y{\frac {\rho }{\rho +y}}}$

куда

${\displaystyle F}$нормальная сила

${\displaystyle A}$это площадь сечения

${\displaystyle M}$ изгибающий момент

${\displaystyle \rho }$ - локальный радиус изгиба (радиус изгиба на текущем сечении)

${\displaystyle {{I_{x}}'}}$момент инерции площади вдоль оси x в месте (см . теорему Штейнера )${\displaystyle y}$

${\displaystyle y}$- положение по оси Y на участке сечения, в котором рассчитывается напряжение .${\displaystyle \sigma }$

Когда радиус изгиба приближается к бесконечности и , возвращается исходная формула:${\displaystyle \rho }$${\displaystyle y\ll \rho }$

${\displaystyle \sigma ={F \over A}\pm {\frac {My}{I}}}$.

Теория изгиба Тимошенко [ править ]

Деформация балки Тимошенко. Нормаль вращается на величину, не равную .${\displaystyle \theta }$${\displaystyle dw/dx}$

В 1921 году Тимошенко усовершенствовал теорию балок Эйлера – Бернулли, добавив в уравнение балки эффект сдвига. Кинематические допущения теории Тимошенко:

• нормали к оси балки остаются прямыми после деформации
• нет изменения толщины балки после деформации

Однако не требуется, чтобы нормали к оси оставались перпендикулярными оси после деформации.

Уравнение квазистатического изгиба линейной упругой изотропной однородной балки постоянного поперечного сечения при этих предположениях имеет вид ^[7]

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

где - момент инерции площади поперечного сечения, - площадь поперечного сечения, - модуль сдвига , - коэффициент поправки на сдвиг , - это приложенная поперечная нагрузка. Для материалов с коэффициентом Пуассона ( ) близким к 0,3 поправочный коэффициент сдвига для прямоугольного поперечного сечения составляет приблизительно${\displaystyle I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle k}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle k={\cfrac {5+5\nu }{6+5\nu }}}$

Вращение ( ) нормали описывается уравнением${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {q(x)}{kAG}}}$

Изгибающий момент ( ) и поперечная сила ( ) определяются выражениями${\displaystyle M}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}~;~~Q(x)=kAG\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}-\varphi \right)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} x^{2}}}={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}}$

Балки на упругих основаниях [ править ]

Согласно теории Эйлера – Бернулли, Тимошенко или другим теориям изгиба, балки на упругом основании могут быть объяснены. В некоторых приложениях, таких как рельсовые пути, фундамент зданий и машин, корабли на воде, корни растений и т. Д., Балка, подвергающаяся нагрузкам, поддерживается на непрерывном упругом основании (т.е. непрерывные реакции из-за внешней нагрузки распределяются по длине балка) ^{[8] [9] [10] [11]}

Динамический изгиб балок [ править ]

Динамический изгиб балок ^[12], также известный как изгибные колебания балок, был впервые исследован Даниэлем Бернулли в конце 18 века. Уравнение движения колеблющейся балки Бернулли имело тенденцию к завышению собственных частот балок и было незначительно улучшено Рэлеем в 1877 году путем добавления вращения средней плоскости. В 1921 году Стефан Тимошенкоулучшил теорию дальше, включив влияние сдвига на динамический отклик изгибающихся балок. Это позволило использовать теорию для задач, связанных с высокими частотами вибрации, где динамическая теория Эйлера – Бернулли неадекватна. Теории Эйлера-Бернулли и Тимошенко для динамического изгиба балок по-прежнему широко используются инженерами.

Теория Эйлера – Бернулли [ править ]

Уравнение Эйлера – Бернулли для динамического изгиба тонких, изотропных, однородных балок постоянного поперечного сечения под действием приложенной поперечной нагрузки имеет вид ^[7]${\displaystyle q(x,t)}$

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=q(x,t)}$

где - модуль Юнга, - момент инерции площади поперечного сечения, - прогиб нейтральной оси балки, - масса на единицу длины балки.${\displaystyle E}$${\displaystyle I}$${\displaystyle w(x,t)}$${\displaystyle m}$

Свободные колебания [ править ]

Для ситуации, когда на балку нет поперечной нагрузки, уравнение изгиба принимает вид

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=0}$

Свободные гармонические колебания балки можно тогда выразить как

${\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)}$

а уравнение изгиба можно записать как

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-m\omega ^{2}{\hat {w}}=0}$

Общее решение вышеуказанного уравнения:

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)}$

где - константы и${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$${\displaystyle \beta :=\left({\cfrac {m}{EI}}~\omega ^{2}\right)^{1/4}}$

Теория Тимошенко – Рэлея [ править ]

В 1877 году Рэлей предложил усовершенствовать динамическую теорию пучка Эйлера – Бернулли, включив в него эффект инерции вращения поперечного сечения балки. Тимошенко усовершенствовал эту теорию в 1922 году, добавив эффект сдвига в уравнение балки. Сдвиговые деформации нормали к средней поверхности балки допускаются в теории Тимошенко – Рэлея.

Уравнение изгиба линейной упругой, изотропной, однородной балки постоянного поперечного сечения при этих предположениях имеет вид ^{[7] [13]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\frac {EIm}{kAG}}\right){\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\frac {Jm}{kAG}}~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}\\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {EI}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

где - полярный момент инерции поперечного сечения, - масса на единицу длины балки, - плотность балки, - площадь поперечного сечения, - модуль сдвига, - коэффициент коррекции сдвига . Для материалов с коэффициентом Пуассона ( ) близким к 0,3 поправочный коэффициент на сдвиг приблизительно равен${\displaystyle J={\tfrac {mI}{A}}}$${\displaystyle m=\rho A}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{rectangular cross-section}}\\[6pt]&={\frac {6+12\nu +6\nu ^{2}}{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{circular cross-section}}\end{aligned}}}$

Свободные колебания [ править ]

Для свободных гармонических колебаний уравнения Тимошенко – Рэлея принимают вид

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)~{\hat {w}}=0}$

Это уравнение можно решить, отметив, что все производные от должны иметь одинаковую форму для сокращения, и, следовательно, можно ожидать решения этой формы . Это наблюдение приводит к характеристическому уравнению${\displaystyle w}$${\displaystyle e^{kx}}$

${\displaystyle \alpha ~k^{4}+\beta ~k^{2}+\gamma =0~;~~\alpha :=EI~,~~\beta :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right)~,~~\gamma :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)}$

Решения этого уравнения четвертой степени :

${\displaystyle k_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}~,~~k_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}}$

куда

${\displaystyle z_{+}:={\cfrac {-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}~,~~z_{-}:={\cfrac {-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}}$

Общее решение уравнения Тимошенко-Рэлея для свободных колебаний может быть записано в виде

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}~e^{k_{1}x}+A_{2}~e^{-k_{1}x}+A_{3}~e^{k_{3}x}+A_{4}~e^{-k_{3}x}}$

Квазистатический изгиб пластин [ править ]

Отличительной чертой балок является то, что один из размеров намного больше двух других. Конструкция называется пластиной, если она плоская, и один из ее размеров намного меньше двух других. Существует несколько теорий, которые пытаются описать деформацию и напряжение в пластине под действием приложенных нагрузок, две из которых широко используются. Это

• Теория пластин Кирхгофа – Лява (также называемая классической теорией пластин)
• теория пластин Миндлина – Рейсснера (также называемая теорией пластин первого порядка сдвига)

Теория пластин Кирхгофа – Лява [ править ]

Предположения теории Кирхгофа – Лява таковы:

• прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются прямыми после деформации
• прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются нормальными к средней поверхности после деформации
• толщина пластины не меняется при деформации.

Из этих предположений следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

где - смещение точки в пластине, - смещение средней поверхности.${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle w^{0}}$

Соотношения деформации-смещения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Уравнения равновесия:

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x)=0~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}$

где - приложенная нагрузка, нормальная к поверхности пластины.${\displaystyle q(x)}$

В терминах перемещений уравнения равновесия изотропной линейно-упругой пластины в отсутствие внешней нагрузки могут быть записаны как

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0}$

В прямых тензорных обозначениях

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$

Теория пластин Миндлина – Рейсснера [ править ]

Специальное предположение этой теории состоит в том, что нормали к средней поверхности остаются прямыми и нерастяжимыми, но не обязательно нормальными к средней поверхности после деформации. Смещения пластины выражаются выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

где - вращения нормали.${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$

Соотношения деформации-смещения, которые вытекают из этих предположений, следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~\varphi _{\alpha ,\beta }\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}~\kappa \left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

где - коэффициент поправки на сдвиг.${\displaystyle \kappa }$

Уравнения равновесия:

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}}$

Динамическое изгибание пластин [ править ]

Динамика тонких пластин Кирхгофа [ править ]

Динамическая теория пластин определяет распространение волн в пластинах, а также изучение стоячих волн и режимов колебаний. Уравнения, управляющие динамическим изгибом пластин Кирхгофа, следующие:

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}}$

где, для пластины с плотностью ,${\displaystyle \rho =\rho (x)}$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}}$

и

${\displaystyle {\ddot {w}}^{0}={\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}~;~~{\ddot {w}}_{,\alpha \beta }^{0}={\frac {\partial ^{2}{\ddot {w}}^{0}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}}$

На рисунках ниже показаны некоторые формы колебаний круглой пластины.

• режим k = 0, p = 1

• режим k = 0, p = 2

• режим k = 1, p = 2

См. Также [ править ]

• Изгибающий момент
• Гибочный станок (гибка плоского металла)
• Тормоз (гибка листового металла)
• Эффект мангала
• Гибка плит
• Гибка (металлообработка)
• Механика сплошной среды
• Контрафлексия
• Прогиб (инженерный)
• Подшипник изгиба
• Список моментов инерции площадей
• Диаграмма сдвига и момента
• Прочность на сдвиг
• Теория сэндвичей
• Вибрация
• Вибрация плит

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Формулы изгиба
• Напряжение и прогиб балки, таблицы прогиба балки