Принцип Бернулли

В большинстве потоков жидкостей и газов при низком числе Маха , то плотность посылки жидкости можно считать постоянной, независимо от изменения давления в потоке. Следовательно, жидкость можно рассматривать как несжимаемую, и эти потоки называются несжимаемыми потоками. Бернулли проводил свои эксперименты с жидкостями, поэтому его уравнение в исходной форме справедливо только для несжимаемого потока. Распространенная форма уравнения Бернулли, действительная в любой произвольной точке вдоль линии тока , такова:

${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + gz + {\ frac {p} {\ rho}} = {\ text {constant}}}$

( А )

где:

v - скорость потока жидкости в точке на линии тока,

g - ускорение свободного падения ,

z - высота точки над базовой плоскостью, причем положительное направление z направлено вверх, т.е. в направлении, противоположном ускорению свободного падения,

p - давление в выбранной точке, а

ρ - плотность жидкости во всех точках жидкости.

Константа в правой части уравнения зависит только от выбранной линии тока, тогда как v , z и p зависят от конкретной точки на этой линии тока.

Для применения этого уравнения Бернулли должны быть выполнены следующие предположения: ^{[2] ( p265 )}

• поток должен быть устойчивым , т.е. параметры потока (скорость, плотность и т. д.) в любой точке не могут изменяться со временем,
• поток должен быть несжимаемым - даже если давление меняется, плотность должна оставаться постоянной вдоль линии тока;
• трение вязких сил должно быть незначительным.

Для консервативных силовых полей (не ограничиваясь гравитационным полем) уравнение Бернулли можно обобщить следующим образом: ^{[2] ( p265 )}

${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + \ Psi + {\ frac {p} {\ rho}} = {\ text {constant}}}$

где Ψ - потенциал силы в рассматриваемой точке на линии тока. Например, для гравитации Земли Ψ = gz .

Умножив на плотность жидкости ρ , уравнение ( A ) можно переписать как:

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ rho v ^ {2} + \ rho gz + p = {\ text {constant}}}$

или же:

${\ displaystyle q + \ rho gh = p_ {0} + \ rho gz = {\ text {constant}}}$

где

• q =1/2ρv ² - динамическое давление ,
• h = z + п/ρgэто пьезометрическая головка или гидравлический напор (сумма высот г и напора ) ^{[11] [12]} и
• p ₀ = p + q - давление торможения (сумма статического давления p и динамического давления q ). ^[13]

Константу в уравнении Бернулли можно нормировать. Обычный подход к общему напору или энергетическому напору H :

${\ displaystyle H = z + {\ frac {p} {\ rho g}} + {\ frac {v ^ {2}} {2g}} = h + {\ frac {v ^ {2}} {2g}}, }$

Приведенные выше уравнения предполагают, что существует скорость потока, при которой давление равно нулю, а при еще более высоких скоростях давление отрицательное. Чаще всего газы и жидкости не способны к отрицательному абсолютному давлению или даже к нулевому давлению, поэтому ясно, что уравнение Бернулли перестает действовать до того, как будет достигнуто нулевое давление. В жидкостях - когда давление становится слишком низким - возникает кавитация . В приведенных выше уравнениях используется линейная зависимость между квадратом скорости потока и давлением. При более высоких скоростях потока в газах или для звуковых волн в жидкости изменения массовой плотности становятся значительными, так что предположение о постоянной плотности неверно.

Упрощенная форма

Во многих приложениях уравнения Бернулли изменение члена ρgz вдоль линии тока настолько мало по сравнению с другими членами, что им можно пренебречь. Например, в случае самолета в полете изменение высоты z вдоль линии тока настолько мало, что член ρgz может быть опущен. Это позволяет представить приведенное выше уравнение в следующей упрощенной форме:

${\ displaystyle p + q = p_ {0}}$

где p ₀ называется «полным давлением», а q - « динамическим давлением ». ^[14] Многие авторы ссылаются на давление р , как статическое давление , чтобы отличить его от общего давления р ₀ и динамического давления д . В « Аэродинамике» Л. Дж. Клэнси пишет: «Чтобы отличить его от общего и динамического давлений, фактическое давление жидкости, которое связано не с ее движением, а с ее состоянием, часто называют статическим давлением, но где термин используется только давление, оно относится к этому статическому давлению ". ^{[1] ( § 3.5 )}

Упрощенную форму уравнения Бернулли можно резюмировать в следующем запоминающемся словесном уравнении: ^{[1] ( § 3.5 )}

статическое давление + динамическое давление = общее давление

Каждая точка в устойчиво текущей жидкости, независимо от скорости жидкости в этой точке, имеет свое собственное уникальное статическое давление p и динамическое давление q . Их сумма p + q определяется как полное давление p ₀ . Значение принципа Бернулли теперь можно резюмировать как «полное давление постоянно вдоль линии тока».

Если поток жидкости является безвихревым , полное давление на каждой линии тока одинаково, и принцип Бернулли можно резюмировать как «полное давление постоянно в потоке жидкости». ^{[1] ( Уравнение 3.12 )} Разумно предположить, что безвихревой поток существует в любой ситуации, когда большое тело жидкости проходит мимо твердого тела. Примерами являются летящие самолеты и корабли, движущиеся в открытых водоемах. Однако важно помнить, что принцип Бернулли неприменим в пограничном слое или потоке жидкости по длинным трубам .

Если поток жидкости в некоторой точке вдоль линии тока останавливается, эта точка называется точкой торможения, и в этой точке общее давление равно давлению торможения .

Применимость уравнения потока несжимаемой жидкости к потоку газов

Уравнение Бернулли справедливо для идеальных жидкостей: несжимаемых, безвихревых, невязких и подверженных консервативным силам. Иногда это справедливо для потока газов: при условии, что нет передачи кинетической или потенциальной энергии от потока газа к сжатию или расширению газа. Если давление и объем газа изменяются одновременно, то работа будет выполняться на газе или с его помощью. В этом случае уравнение Бернулли - в форме несжимаемого потока - не может считаться действительным. Однако, если газовый процесс полностью изобарический или изохорный , то работа с газом не выполняется (так что простой энергетический баланс не нарушается). Согласно закону газа, изобарический или изохорный процесс обычно является единственным способом обеспечить постоянную плотность в газе. Также плотность газа будет пропорциональна отношению давления и абсолютной температуры , однако это соотношение будет меняться при сжатии или расширении, независимо от того, какое ненулевое количество тепла добавляется или удаляется. Единственное исключение, если сеть передача тепла равна нуль, так как в полном термодинамическом цикле, или в индивидуальном изоэнтропическом ( трения адиабатический ) процесс, и даже тогда это обратимый процесс должен быть обратным, чтобы восстановить газ исходного давления и специфическим объем, а значит, и плотность. Только тогда применимо исходное немодифицированное уравнение Бернулли. В этом случае уравнение можно использовать, если скорость потока газа значительно ниже скорости звука , так что изменением плотности газа (из-за этого эффекта) вдоль каждой линии тока можно пренебречь. Адиабатический поток при скорости менее 0,3 Маха обычно считается достаточно медленным.

Неустойчивый потенциальный поток

Уравнение Бернулли для нестационарного потенциального течения используется в теории поверхностных волн океана и в акустике .

Для безвихревого потока , то скорость потока может быть описана как градиент ∇ ф о скорости потенциального ф . В этом случае, так и для постоянной плотности р , то импульс Уравнение уравнений Эйлера может быть интегрировано: ^{[2] ( p383 )}

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} + {\ tfrac {1} {2}} v ^ {2} + {\ frac {p} {\ rho}} + gz = f (t),}$

которое является уравнением Бернулли, справедливым также для нестационарных или зависящих от времени потоков. Здесь∂ φ/∂ тобозначает частную производную потенциала скорости φ по времени t , а v = | ∇ φ | скорость потока. Функция f ( t ) зависит только от времени, а не от положения в жидкости. В результате уравнение Бернулли в некоторый момент t применимо не только вдоль определенной линии тока, но и во всей области жидкости. Это также верно для частного случая установившегося безвихревого потока, когда f и ∂ φ / ∂ t являются константами, поэтому уравнение ( A ) может применяться в каждой точке области жидкости. ^{[2] ( стр. 383 )}

Далее f ( t ) можно сделать равным нулю, включив его в потенциал скорости с помощью преобразования

${\ Displaystyle \ Phi = \ varphi - \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau,}$

в результате чего

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} + {\ tfrac {1} {2}} v ^ {2} + {\ frac {p} {\ rho}} + gz = 0 .}$

Обратите внимание, что это преобразование не влияет на связь потенциала со скоростью потока: ∇ Φ = ∇ φ .

Уравнение Бернулли для нестационарного потенциального потока также, по-видимому, играет центральную роль в вариационном принципе Люка , вариационном описании течений со свободной поверхностью с использованием лагранжиана (не путать с лагранжевыми координатами ).

Бернулли разработал свой принцип на основе наблюдений за жидкостями, и его уравнение применимо только к несжимаемым жидкостям и устойчивым сжимаемым жидкостям приблизительно до числа Маха 0,3. ^[15] Можно использовать фундаментальные принципы физики для разработки аналогичных уравнений, применимых к сжимаемым жидкостям. Существует множество уравнений, каждое из которых адаптировано для конкретного приложения, но все они аналогичны уравнению Бернулли и полагаются только на фундаментальные принципы физики, такие как законы движения Ньютона или первый закон термодинамики .

Сжимаемый поток в гидродинамике

Для сжимаемой жидкости, с баротропным уравнением состояния , и под действием консервативных сил , ^[16]

${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + \ int _ {p_ {1}} ^ {p} {\ frac {\ mathrm {d} {\ tilde {p}}} {\ rho \ left ({\ tilde {p}} \ right)}} + \ Psi = {\ text {константа (вдоль линии тока)}}}$

где:

• p - давление
• ρ представляет собой плотность и${\ displaystyle \ rho ({\ тильда {p}})}$ указывает, что это функция давления
• ${\ displaystyle v}$это скорость потока
• Ψ - потенциал, связанный с консервативным силовым полем, часто с гравитационным потенциалом

В инженерных ситуациях возвышения обычно невелики по сравнению с размером Земли, а временные масштабы потока жидкости достаточно малы, чтобы рассматривать уравнение состояния как адиабатическое . В этом случае приведенное выше уравнение для идеального газа принимает следующий вид: ^{[1] ( § 3.11 )}

${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + gz + \ left ({\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} \ right) {\ frac {p} {\ rho}} = {\ text {константа (вдоль линии тока)}}}$

где, помимо перечисленных выше терминов:

• γ - отношение удельных теплоемкостей жидкости
• g - ускорение свободного падения
• z - высота точки над базовой плоскостью.

Во многих приложениях сжимаемого потока изменения высоты незначительны по сравнению с другими условиями, поэтому термин gz можно опустить. Тогда очень полезная форма уравнения:

${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + \ left ({\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} \ right) {\ frac {p} {\ rho}} = \ left ({\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} \ right) {\ frac {p_ {0}} {\ rho _ {0}}}}$

где:

• p ₀ - полное давление
• ρ ₀ - полная плотность

Сжимаемый поток в термодинамике

Наиболее общая форма уравнения, подходящая для использования в термодинамике в случае (квази) установившегося потока, следующая: ^{[2] ( § 3.5 ) [17] ( § 5 ) [18] ( § 5.9 )}

${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + \ Psi + w = ​​{\ text {constant}}.}$

Здесь w - энтальпия на единицу массы (также известная как удельная энтальпия), которую также часто записывают как h (не путать с «напором» или «высотой»).

Обратите внимание, что ${\ displaystyle w = e + {\ frac {p} {\ rho}} ~~~ \ left (= {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} {\ frac {p} {\ rho}} \ верно)}$ где ${\ displaystyle e}$является термодинамической энергией на единицу массы, также известная как специфическая внутренняя энергия . Итак, для постоянной внутренней энергии${\ displaystyle e}$ уравнение сводится к форме течения несжимаемой жидкости.

Константу в правой части часто называют постоянной Бернулли и обозначают b . Для устойчивого невязкого адиабатического течения без дополнительных источников или стоков энергии b постоянно вдоль любой данной линии тока. В более общем плане, когда b может изменяться вдоль линий тока, это все еще оказывается полезным параметром, связанным с «напором» жидкости (см. Ниже).

Когда изменение Ψ можно игнорировать, очень полезная форма этого уравнения:

${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + w = ​​w_ {0}}$

где w ₀ - полная энтальпия. Для калорийно совершенного газа, такого как идеальный газ, энтальпия прямо пропорциональна температуре, и это приводит к концепции общей (или застойной) температуры.

При наличии ударных волн в системе отсчета, в которой скачок уплотнения стационарный, а течение устойчиво, многие параметры в уравнении Бернулли претерпевают резкие изменения при прохождении через скачок уплотнения. Однако сам параметр Бернулли остается неизменным. Исключением из этого правила являются радиационные толчки, которые нарушают допущения, приводящие к уравнению Бернулли, а именно отсутствие дополнительных стоков или источников энергии.

Неустойчивый потенциальный поток

Для сжимаемой жидкости с баротропным уравнением состояния нестационарное уравнение сохранения количества движения

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {v}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} = - {\ vec { g}} - {\ frac {\ nabla p} {\ rho}}}$

С безвихревым предположением , а именно, скорость потока может быть описана как градиент ∇ ф о скорости потенциального ф . Уравнение сохранения нестационарного импульса принимает вид

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ nabla \ phi} {\ partial t}} + \ nabla \ left ({\ frac {\ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ phi} {2}} \ right) = - \ nabla \ Psi - \ nabla \ int _ {p_ {1}} ^ {p} {\ frac {d {\ tilde {p}}} {\ rho ({\ tilde {p}})}}}$

что приводит к

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + {\ frac {\ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ phi} {2}} + \ Psi + \ int _ {p_ {1}} ^ {p} {\ frac {d {\ tilde {p}}} {\ rho ({\ tilde {p}})}} = {\ text {constant}} \\\ конец {выровнено}}}$

В этом случае приведенное выше уравнение для изоэнтропического потока принимает следующий вид:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + {\ frac {\ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ phi} {2}} + \ Psi + {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} {\ frac {p} {\ rho}} = {\ text {constant}} \ end {выравнивается}}}$

Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости

Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости может быть получено либо путем интегрирования второго закона движения Ньютона, либо путем применения закона сохранения энергии между двумя участками вдоль линии тока, игнорируя вязкость , сжимаемость и тепловые эффекты. Вывод через интеграцию второго закона движения Ньютона Самый простой вывод - сначала игнорировать гравитацию и учитывать сужения и расширения в трубах, которые в остальном прямые, как видно на эффекте Вентури . Пусть ось x направлена ​​вниз по оси трубы. Определите участок жидкости, движущийся по трубе с площадью поперечного сечения A , длиной участка d x и объемом участка A d x . Если массовая плотность равна ρ , масса посылки равна плотности, умноженной на ее объем m = ρA d x . Изменение давления на расстоянии d x равно d p, а скорость потока v = d x/д т. Примените второй закон движения Ньютона (сила = масса × ускорение) и признайте, что эффективная сила, действующая на сгусток жидкости, равна - A d p . Если давление уменьшается по длине трубы, d p отрицательно, но сила, приводящая к потоку, положительна по оси x . ${\ displaystyle {\ begin {align} m {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} & = F \\\ rho A \ mathrm {d} x {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} & = - A \ mathrm {d} p \\\ rho {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} & = - {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} x}} \ end {align}}}$ В установившемся потоке поле скорости постоянно во времени, v = v ( x ) = v ( x ( t )) , поэтому v сам по себе не является напрямую функцией времени t . Площадь поперечного сечения изменяется только тогда, когда участок перемещается через x : v зависит от t только через положение поперечного сечения x ( t ) . ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} & = {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x} } {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x}} v \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left ({\ frac {v ^ {2}} {2}} \ right). \ end {align}}}$ При постоянной плотности ρ уравнение движения можно записать в виде ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left (\ rho {\ frac {v ^ {2}} {2}} + p \ right) = 0}$ интегрированием по x ${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + {\ frac {p} {\ rho}} = C}$ где C - постоянная, иногда называемая постоянной Бернулли. Это не универсальная константа , а, скорее, константа конкретной жидкой системы. Вывод такой: там, где скорость большая, давление низкое и наоборот. В приведенном выше выводе не используется принцип внешней работы-энергии. Скорее, принцип Бернулли был получен путем простой манипуляции со вторым законом Ньютона. Трубка жидкости движется вправо. Указаны давление, высота, скорость потока, расстояние ( а ) и площадь поперечного сечения. Обратите внимание, что на этом рисунке высота обозначена буквой h , в отличие от текста, где она обозначена буквой z . Вывод с использованием сохранения энергии Другой способ вывести принцип Бернулли для несжимаемого потока - это применение закона сохранения энергии. [19] В форме теоремы работы-энергии , утверждающей, что [20] изменение кинетической энергии E kin системы равно чистой работе W, совершенной над системой ; ${\ displaystyle W = \ Delta E _ {\ text {kin}}.}$ Следовательно, работа осуществляется с помощью сил в жидкости равняется увеличение кинетической энергии . Система состоит из объема жидкости, первоначально между поперечными сечениями A 1 и A 2 . В интервале времени Δ t элементы жидкости первоначально в сечении притока A 1 перемещаются на расстояние s 1 = v 1 ∆ t , а в сечении истечения жидкость удаляется от сечения A 2 на расстояние s 2 = v 2 Δ t . Объемы вытесненной жидкости на входе и выходе равны соответственно A 1 s 1 и A 2 s 2 . Соответствующие массы вытесненной жидкости равны - когда ρ - массовая плотность жидкости - равны плотности, умноженной на объем, поэтому ρA 1 s 1 и ρA 2 s 2 . По закону сохранения массы эти две массы, смещенные за интервал времени Δ t, должны быть равны, и эта смещенная масса обозначается  Δ m : ${\ displaystyle {\ begin {align} \ rho A_ {1} s_ {1} & = \ rho A_ {1} v_ {1} \ Delta t = \ Delta m, \\\ rho A_ {2} s_ {2 } & = \ rho A_ {2} v_ {2} \ Delta t = \ Delta m. \ end {выравнивается}}}$ Работа, выполняемая силами, состоит из двух частей: Работа под давлением , действующим на площадях 1 и 2 ${\ displaystyle W _ {\ text {pressure}} = F_ {1, {\ text {pressure}}} s_ {1} -F_ {2, {\ text {pressure}}} s_ {2} = p_ {1} A_ {1} s_ {1} -p_ {2} A_ {2} s_ {2} = \ Delta m {\ frac {p_ {1}} {\ rho}} - \ Delta m {\ frac {p_ {2 }} {\ rho}}.}$ Работа под действием силы тяжести : гравитационная потенциальная энергия в объеме 1 х 1 теряется, и при оттоке в объеме А 2 х 2 достигается. Итак, изменение гравитационной потенциальной энергии Δ E pot, силы тяжести во временном интервале Δ t равно ${\ displaystyle \ Delta E _ {\ text {pot, gravity}} = \ Delta m \, gz_ {2} - \ Delta m \, gz_ {1}.}$ Теперь работа силы тяжести противоположна изменению потенциальной энергии , W gravity = - ΔE pot, gravity : в то время как сила тяжести находится в отрицательном направлении z , работа - сила тяжести, умноженная на изменение высоты - будет отрицательным для положительного изменения высоты Δ z = z 2 - z 1 , в то время как соответствующее изменение потенциальной энергии будет положительным. [21] ( §14–3 ) Итак: ${\ displaystyle W _ {\ text {gravity}} = - \ Delta E _ {\ text {pot, gravity}} = \ Delta m \, gz_ {1} - \ Delta m \, gz_ {2}.}$ Следовательно, общая работа, проделанная за этот промежуток времени Δ t, равна ${\ displaystyle W = W _ {\ text {pressure}} + W _ {\ text {gravity}}.}$ Увеличение кинетической энергии является ${\ displaystyle \ Delta E _ {\ text {kin}} = {\ tfrac {1} {2}} \ Delta m \, v_ {2} ^ {2} - {\ tfrac {1} {2}} \ Delta m \, v_ {1} ^ {2}.}$ Объединяя все это вместе, теорема работы-кинетической энергии W = Δ E kin дает: [19] ${\ displaystyle \ Delta m {\ frac {p_ {1}} {\ rho}} - \ Delta m {\ frac {p_ {2}} {\ rho}} + \ Delta m \, gz_ {1} - \ Дельта m \, gz_ {2} = {\ tfrac {1} {2}} \ Delta m \, v_ {2} ^ {2} - {\ tfrac {1} {2}} \ Delta m \, v_ { 1} ^ {2}}$ или же ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ Delta m \, v_ {1} ^ {2} + \ Delta m \, gz_ {1} + \ Delta m {\ frac {p_ {1}} { \ rho}} = {\ tfrac {1} {2}} \ Delta m \, v_ {2} ^ {2} + \ Delta m \, gz_ {2} + \ Delta m {\ frac {p_ {2} } {\ rho}}.}$ После деления на массу Δ m = ρA 1 v 1 Δ t = ρA 2 v 2 Δ t результат: [19] ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} v_ {1} ^ {2} + gz_ {1} + {\ frac {p_ {1}} {\ rho}} = {\ tfrac {1} {2 }} v_ {2} ^ {2} + gz_ {2} + {\ frac {p_ {2}} {\ rho}}}$ или, как указано в первом абзаце: ${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + gz + {\ frac {p} {\ rho}} = C}$ ( Уравнение 1) , которое также является Уравнением (A) Дальнейшее деление на g дает следующее уравнение. Обратите внимание, что каждый термин может быть описан в размере длины (например, в метрах). Это уравнение головы, полученное из принципа Бернулли: ${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2g}} + z + {\ frac {p} {\ rho g}} = C}$ (Уравнение 2a) Средний член z представляет потенциальную энергию жидкости из-за ее возвышения относительно базовой плоскости. Теперь z называется высотой напора и обозначается как высота z . Свободное падение масса с высотой г > 0 (в вакууме ) достигнет скорость ${\ displaystyle v = {\ sqrt {{2g} {z}}},}$ при достижении высоты z = 0 . Или когда мы переставляем его как голову : ${\ displaystyle h_ {v} = {\ frac {v ^ {2}} {2g}}}$ Термин v 2/2 гназывается скоростным напором , выраженным в измерении длины. Он представляет внутреннюю энергию жидкости из-за ее движения. Гидростатическое давление р определяется как ${\ displaystyle p = p_ {0} - \ rho gz,}$ с p 0 некоторое эталонное давление, или когда мы переставляем его как голову : ${\ displaystyle \ psi = {\ frac {p} {\ rho g}}.}$ Термин п/ρgтакже называется напором , выраженным в измерении длины. Он представляет внутреннюю энергию жидкости из-за давления, оказываемого на контейнер. Когда мы объединяем напор из-за скорости потока и напор из-за статического давления с высотой над базовой плоскостью, мы получаем простую зависимость, полезную для несжимаемых жидкостей, используя скоростной напор, подъемный напор и напор. ${\ displaystyle h_ {v} + z _ {\ text {elevation}} + \ psi = C}$ (Уравнение 2b) Если бы мы умножили уравнение 1 по плотности жидкости, мы получили бы уравнение с тремя членами давления: ${\ displaystyle {\ frac {\ rho v ^ {2}} {2}} + \ rho gz + p = C}$ (Уравнение 3) Отметим, что в этой форме уравнения Бернулли давление системы постоянно. Если статическое давление в системе (третий член) увеличивается, и если давление из-за возвышения (средний член) постоянно, то мы знаем, что динамическое давление (первый член) должно было уменьшиться. Другими словами, если скорость жидкости уменьшается, и это не связано с перепадом высот, мы знаем, что это должно быть связано с увеличением статического давления, которое препятствует потоку. Все три уравнения - это просто упрощенные версии баланса энергии в системе.

Уравнение Бернулли для сжимаемых жидкостей

Вывод для сжимаемых жидкостей аналогичен. Опять же, вывод зависит от (1) сохранения массы и (2) сохранения энергии. Сохранение массы означает, что на приведенном выше рисунке в интервале времени Δ t количество массы, проходящей через границу, определяемую областью A 1 , равно количеству массы, проходящей наружу через границу, определяемую областью A 2. : ${\ displaystyle 0 = \ Delta M_ {1} - \ Delta M_ {2} = \ rho _ {1} A_ {1} v_ {1} \, \ Delta t- \ rho _ {2} A_ {2} v_ {2} \, \ Delta t}$. Сохранение энергии применяется аналогичным образом: предполагается, что изменение энергии объема струйной трубки, ограниченной А 1 и А 2, полностью связано с энергией, поступающей или уходящей через одну или другую из этих двух границ. Ясно, что в более сложной ситуации, такой как поток жидкости, связанный с излучением, такие условия не выполняются. Тем не менее, если предположить, что это так, и если предположить, что поток является устойчивым, так что чистое изменение энергии равно нулю, ${\ displaystyle 0 = \ Delta E_ {1} - \ Delta E_ {2}}$ где Δ E 1 и Δ E 2 - энергия, входящая через A 1 и выходящая через A 2 , соответственно. Энергия, поступающая через A 1, представляет собой сумму поступающей кинетической энергии, энергии, поступающей в виде потенциальной гравитационной энергии жидкости, термодинамической внутренней энергии жидкости на единицу входящей массы ( ε 1 ) и энергии, поступающей в форма механической p d V работы: ${\ displaystyle \ Delta E_ {1} = \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ rho _ {1} v_ {1} ^ {2} + \ Psi _ {1} \ rho _ {1} + \ epsilon _ {1} \ rho _ {1} + p_ {1} \ right) A_ {1} v_ {1} \, \ Delta t}$ где Ψ = GZ является силой потенциал за счет силы тяжести Земли , г это ускорение силы тяжести, и г является высота над базовой плоскостью. Аналогичное выражение для Δ E 2 может быть легко построено. Итак, теперь устанавливаем 0 = Δ E 1 - Δ E 2 : ${\ displaystyle 0 = \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ rho _ {1} v_ {1} ^ {2} + \ Psi _ {1} \ rho _ {1} + \ epsilon _ { 1} \ rho _ {1} + p_ {1} \ right) A_ {1} v_ {1} \, \ Delta t- \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ rho _ {2} v_ {2} ^ {2} + \ Psi _ {2} \ rho _ {2} + \ epsilon _ {2} \ rho _ {2} + p_ {2} \ right) A_ {2} v_ {2} \ , \ Delta t}$ который можно переписать как: ${\ displaystyle 0 = \ left ({\ tfrac {1} {2}} v_ {1} ^ {2} + \ Psi _ {1} + \ epsilon _ {1} + {\ frac {p_ {1}}) {\ rho _ {1}}} \ right) \ rho _ {1} A_ {1} v_ {1} \, \ Delta t- \ left ({\ tfrac {1} {2}} v_ {2} ^ {2} + \ Psi _ {2} + \ epsilon _ {2} + {\ frac {p_ {2}} {\ rho _ {2}}} \ right) \ rho _ {2} A_ {2} v_ {2} \, \ Delta t}$ Теперь, используя ранее полученный результат сохранения массы, его можно упростить и получить ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} v ^ {2} + \ Psi + \ epsilon + {\ frac {p} {\ rho}} = {\ text {constant}} \ Equiv b}$ которое является уравнением Бернулли для сжимаемого потока. Эквивалентное выражение можно записать через энтальпию жидкости ( ч ): ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} v ^ {2} + \ Psi + h = {\ text {constant}} \ эквив б}$

В современной повседневной жизни существует множество наблюдений, которые можно успешно объяснить применением принципа Бернулли, хотя настоящая жидкость не является полностью невязкой ^[22], а небольшая вязкость часто оказывает большое влияние на течение.

• Принцип Бернулли можно использовать для расчета подъемной силы на аэродинамическом профиле, если известно поведение потока жидкости в непосредственной близости от крыла. Например, если воздух, проходящий мимо верхней поверхности крыла самолета, движется быстрее, чем воздух, проходящий мимо нижней поверхности, то принцип Бернулли подразумевает, что давление на поверхности крыла будет ниже выше, чем ниже. Эта разница давлений приводит к возникновению подъемной силы, направленной вверх . ^{[d] [23]} Когда известно распределение скорости относительно верхней и нижней поверхностей крыла, подъемные силы могут быть рассчитаны (с хорошим приближением) с использованием уравнений Бернулли ^[24], установленных Бернулли за столетие до Первые искусственные крылья использовались для полета. Принцип Бернулли не объясняет, почему воздух быстрее проходит через верхнюю часть крыла и медленнее проходит через нижнюю часть. См. Статью об аэродинамическом подъемнике для получения дополнительной информации.

• Карбюратор используется во многих поршневых двигателях содержит трубку Вентури , чтобы создать область низкого давления , чтобы привлечь топлива в карбюратор и тщательно перемешать с поступающим воздухом. Низкое давление в горловине трубки Вентури можно объяснить принципом Бернулли; в узком горле воздух движется с максимальной скоростью и, следовательно, с минимальным давлением.
• Инжектора на паровой локомотив (или статический котел).
• Трубка Пито и статического порта на борту воздушного судна, используются для определения скорости полета летательного аппарата. Эти два устройства подключены к индикатору воздушной скорости , который определяет динамическое давление воздушного потока мимо самолета. Динамическое давление - это разница между давлением торможения и статическим давлением . Принцип Бернулли используется для калибровки индикатора воздушной скорости, чтобы он отображал указанную воздушную скорость, соответствующую динамическому давлению. ^{[1] ( § 3.8 )}
• Сопло Де Лаваль использует принцип Бернулли , чтобы создать усилие , поворачивая энергию давления , создаваемого за счет сгорания ракетного топлива в скорости. Затем это создает тягу в соответствии с третьим законом движения Ньютона .
• Скорость потока жидкости можно измерить с помощью такого устройства, как расходомер Вентури или диафрагма , которую можно поместить в трубопровод для уменьшения диаметра потока. Для горизонтального устройства уравнение неразрывности показывает, что для несжимаемой жидкости уменьшение диаметра приведет к увеличению скорости потока жидкости. Впоследствии принцип Бернулли показывает, что должно происходить уменьшение давления в области уменьшенного диаметра. Это явление известно как эффект Вентури .
• Максимально возможная скорость слива для резервуара с отверстием или краном в основании может быть рассчитана непосредственно из уравнения Бернулли и оказывается пропорциональной квадратному корню из высоты жидкости в резервуаре. Это закон Торричелли , показывающий, что закон Торричелли совместим с принципом Бернулли. Вязкость снижает скорость слива. Это отражается в коэффициенте расхода, который является функцией числа Рейнольдса и формы отверстия. ^[25]

• Бернулли сцепление опирается на этот принцип , чтобы создать силу сцепления без контакта между поверхностью и захватом.
• Принцип Бернулли применим также к раскачиванию мяча для крикета. Во время матча по крикету боулеры постоянно полируют одну сторону мяча. Через некоторое время одна сторона становится довольно шероховатой, а другая все еще гладкой. Следовательно, когда мяч катится и проходит через воздух, скорость на одной стороне мяча выше, чем на другой, из-за этой разницы в гладкости, и это приводит к разнице давлений между сторонами; это приводит к тому, что мяч вращается ("раскачивается") при движении по воздуху, что дает преимущество боулерам.

Можно найти множество объяснений возникновения подъемной силы (на аэродинамических профилях , лопастях винта и т. Д.); некоторые из этих объяснений могут вводить в заблуждение, а некоторые - ложны. ^[26] Были споры о том, что лучше всего знакомить студентов с лифтом, используя принцип Бернулли или законы движения Ньютона . Современные авторы согласны с тем, что и принцип Бернулли, и законы Ньютона имеют отношение к делу, и любой из них может использоваться для правильного описания подъемной силы. ^{[12] [27] [28]}

Некоторые из этих объяснений используют принцип Бернулли, чтобы связать кинематику потока с давлением, создаваемым потоком. В случаях неправильных (или частично правильных) объяснений, основанных на принципе Бернулли , ошибки обычно возникают в предположениях о кинематике потока и способах их создания. Это не сам принцип Бернулли , что ставится под сомнение, поскольку этот принцип хорошо установлена (воздушный поток над крылом является быстрее, вопрос в том , почему это происходит быстрее). ^{[29] [2] ( раздел 3.5 и 5.1 ) [30] ( §17-§29 ) [31]}

Есть несколько распространенных демонстраций в классе, которые иногда неправильно объясняются с помощью принципа Бернулли. ^[32] Один из них заключается в том, чтобы держать лист бумаги горизонтально так, чтобы он опускался вниз, а затем дует над ним. Когда демонстратор дует над бумагой, бумага поднимается. Затем утверждается, что это происходит потому, что «быстрее движущийся воздух имеет более низкое давление». ^{[33] [34] [35]}

Одну проблему с этим объяснением можно увидеть, дуя вдоль нижней части бумаги: если бы отклонение было вызвано просто более быстрым движением воздуха, можно было бы ожидать, что бумага отклонится вниз, но бумага отклоняется вверх независимо от того, находится ли более быстро движущийся воздух на поверхности. сверху или снизу. ^[36] Другая проблема заключается в том, что когда воздух выходит изо рта демонстранта, он имеет такое же давление, как и окружающий воздух; ^[37] воздух не имеет более низкого давления только потому, что он движется; в демонстрации статическое давление воздуха, выходящего изо рта демонстратора, равно давлению окружающего воздуха. ^{[38] [39]} Третья проблема заключается в том, что неверно устанавливать связь между потоками на двух сторонах листа, используя уравнение Бернулли, поскольку воздух сверху и снизу - это разные поля потока, а принцип Бернулли применим только в пределах поля потока. . ^{[40] [41] [42] [43]}

Поскольку формулировка принципа может изменить его значение, важно правильно сформулировать принцип. ^[44] Принцип Бернулли на самом деле говорит о том, что в потоке постоянной энергии, когда жидкость течет через область более низкого давления, она ускоряется, и наоборот. ^[45] Таким образом, принцип касается Бернулли себя с изменениями в скорости и изменения давления внутри поля течения. Его нельзя использовать для сравнения различных полей потока.

Правильное объяснение того, почему бумага поднимается вверх, будет означать, что шлейф следует изгибу бумаги и что изогнутая линия тока будет создавать градиент давления, перпендикулярный направлению потока, с более низким давлением на внутренней стороне кривой. ^{[46] [47] [48] [49]} Принцип Бернулли предсказывает, что уменьшение давления связано с увеличением скорости, то есть, когда воздух проходит по бумаге, он ускоряется и движется быстрее, чем он двигался, когда он уходил. рот демонстранта. Но это не очевидно из демонстрации. ^{[50] [51] [52]}

Другие распространенные демонстрации в классе, такие как дуновение между двумя подвешенными сферами, надувание большого мешка или подвешивание мяча в воздушном потоке, иногда объясняются аналогичным образом неверно, говоря, что «быстрее движущийся воздух имеет более низкое давление». ^{[53] [54] [55] [56] [57] [58] [59]}

• Даниэль Бернулли
• Эффект Коанды
• Уравнения Эйлера - для течения невязкой жидкости
• Гидравлика - прикладная гидромеханика жидкостей
• Уравнения Навье – Стокса - для течения вязкой жидкости.
• Терминология в гидродинамике
• Закон Торричелли - частный случай принципа Бернулли
• Эффект Вентури

• Калькулятор уравнения Бернулли
• Денверский университет - уравнение Бернулли и измерение давления
• Университет Миллерсвилля - Приложения уравнения Эйлера
• НАСА - Руководство по аэродинамике для новичков
• Неправильная интерпретация уравнения Бернулли - Вельтнер и Ингельман-Сундберг