Линии тока, полосы и траектории

Красная частица движется в текущей жидкости; его траектория обведена красным; кончик следа синих чернил, выпущенных из исходной точки, следует за частицей, но в отличие от статической линии пути (которая фиксирует более раннее движение точки), чернила, высвобождаемые после удаления красной точки, продолжают двигаться вверх вместе с потоком. (Это штриховая линия .) Пунктирные линии представляют контуры поля скорости ( линии тока ), показывая движение всего поля одновременно. ( См. Версию с высоким разрешением . )

Сплошные синие линии и пунктирные серые линии представляют собой линии тока. Красные стрелки показывают направление и величину скорости потока. Эти стрелки касаются линии тока. Группа линий тока окружает зеленые кривые ( и ), образуя поверхность потока.

{\ displaystyle C_ {1}}

{\ displaystyle C_ {2}}

Линии тока, линии и траектории - это силовые линии в потоке жидкости . Они различаются только тогда, когда поток изменяется со временем, то есть когда поток не является устойчивым . ^[1]^[2] Рассматривая векторное поле скорости в трехмерном пространстве в рамках механики сплошной среды , мы имеем следующее:

Упрощает представляют собой семейство кривых , которые мгновенно касательной к скорости вектора потока. Они показывают направление, в котором безмассовый жидкий элемент будет двигаться в любой момент времени. ^[3]
Штрих-линии - это местоположения точек всех частиц жидкости, которые непрерывно проходили через определенную пространственную точку в прошлом. Краска, равномерно вводимая в жидкость в фиксированной точке, проходит вдоль линии штриховки.
Линии пути - это траектории, по которым следуют отдельные частицы жидкости. Их можно рассматривать как «запись» пути элемента жидкости в потоке за определенный период. Направление пути будет определяться линиями тока жидкости в каждый момент времени.
Временные шкалы - это линии, образованные набором частиц жидкости, которые были отмечены в предыдущий момент времени, создавая линию или кривую, которая смещается во времени по мере движения частиц.

По определению, разные линии тока в один и тот же момент в потоке не пересекаются, потому что жидкая частица не может иметь две разные скорости в одной и той же точке. Точно так же полосы не могут пересекаться сами с собой или с другими полосами, потому что две частицы не могут находиться в одном месте в один и тот же момент времени; кроме случаев, когда исходная точка одной из линий разметки также принадлежит линии разметки другой исходной точки. Однако линиям пути разрешено пересекаться сами с собой или с другими линиями пути (кроме начальной и конечной точек разных линий пути, которые должны быть разными).

Линии потока и временные шкалы обеспечивают моментальный снимок некоторых характеристик поля потока, тогда как линии и траектории зависят от полной временной истории потока. Однако часто последовательности временных шкал (и линий полос) в разные моменты времени, представленные либо в одном изображении, либо с видеопотоком, могут использоваться для обеспечения понимания потока и его истории.

Если линия, кривая или замкнутая кривая используется в качестве начальной точки для непрерывного набора линий тока, результатом является поверхность потока . В случае замкнутой кривой в установившемся потоке жидкость, которая находится внутри поверхности потока, должна всегда оставаться внутри той же поверхности потока, потому что линии тока касаются скорости потока. Скалярная функция, контурные линии которой определяют линии тока, называется функцией потока .

Линия окрашивания может относиться к полосе: краситель постепенно высвобождается из фиксированного места в течение некоторого времени; или это может относиться к временной шкале: линия краски, нанесенная мгновенно в определенный момент времени и наблюдаемая в более поздний момент.

Математическое описание [ править ]

Оптимизация [ править ]

Направление силовых линий магнитного поля представляет собой линии тока, представленные выравниванием железных опилок, посыпанных на бумагу, расположенную над стержневым магнитом.

Линии потенциального обтекания, достигающие условия Кутты, вокруг профиля NACA с идентифицированными верхними и нижними трубками тока .

Линии тока определены ^[4]

{\ displaystyle {d {\ vec {x}} _ {S} \ over ds} \ times {\ vec {u}} ({\ vec {x}} _ {S}) = 0,}

где « » обозначает вектор векторное произведение и это параметрическое представление из только одного тока в один момент времени. ${\ displaystyle \ times}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {S} (s)}$

Если записать компоненты скорости и компоненты линии тока, как мы выводим ^[4] ${\ displaystyle {\ vec {u}} = (и, v, w),}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {S} = (x_ {S}, y_ {S}, z_ {S}),}$

{\ displaystyle {dx_ {S} \ over u} = {dy_ {S} \ over v} = {dz_ {S} \ over w},}

что показывает, что кривые параллельны вектору скорости. Вот это переменное , которая параметризует кривые Упрощает рассчитывается мгновенно, а это означает , что в один момент времени они рассчитаны на всю жидкость из мгновенной скорости потока поля . ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ vec {x}} _ {S} (s).}$

Streamtube состоит из пучка линий тока, как и кабель связи.

Уравнение движения жидкости по линии тока для потока в вертикальной плоскости имеет следующий вид: ^[5]

${\frac {\partial c}{\partial t}}+c{\frac {\partial c}{\partial s}}=\nu {\frac {\partial ^{2}c}{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial s}}-g{\frac {\partial z}{\partial s}}$

Скорость потока в направлении линии тока обозначена как . - радиус кривизны линии тока. Плотность жидкости обозначается, а кинематическая вязкость - . - градиент давления и градиент скорости вдоль линии тока. Для стационарного потока, производная по времени от скорости равна нулю: . обозначает ускорение свободного падения. $s$ $c$ $r$ $\rho$ $\nu$ ${\frac {\partial p}{\partial s}}$ ${\frac {\partial c}{\partial s}}$ ${\frac {\partial c}{\partial t}}=0$ $g$

Pathlines [ править ]

С длинной экспозицией фото из искры от А костры показывает pathlines для потока горячего воздуха.

Линии пути определены

{\begin{cases}\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}_{P}}{dt}}(t)={\vec {u}}_{P}({\vec {x}}_{P}(t),t)\\[1.2ex]{\vec {x}}_{P}(t_{0})={\vec {x}}_{P0}\end{cases}}

Суффикс указывает на то, что мы следим за движением жидкой частицы. Обратите внимание, что в точке кривая параллельна вектору скорости потока , где вектор скорости оценивается в положении частицы в это время . $P$ ${\vec {x}}_{P}$ ${\vec {u}}$ ${\vec {x}}_{P}$ $t$

Полосы [ править ]

Пример полосы, используемой для визуализации обтекания автомобиля внутри аэродинамической трубы.

Полосы могут быть выражены как,

{\begin{cases}\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}_{str}}{dt}}={\vec {u}}_{P}({\vec {x}}_{str},t)\\[1.2ex]{\vec {x}}_{str}(t=\tau _{P})={\vec {x}}_{P0}\end{cases}}

где, - скорость частицы в местоположении и времени . Параметр , параметризует streakline и , где это время интерес. ${\vec {u}}_{P}({\vec {x}},t)$ $P$ ${\vec {x}}$ $t$ $\tau _{P}$ ${\vec {x}}_{str}(t,\tau _{P})$ $t_{0}\leq \tau _{P}\leq t$ $t$

Устойчивые потоки [ править ]

В установившемся потоке (когда векторное поле скорости не меняется со временем) линии тока, траектории и линии разметки совпадают. Это связано с тем, что, когда частица на линии тока достигает точки, далее по этой линии потока уравнения, управляющие потоком, направят ее в определенном направлении . Поскольку уравнения, управляющие потоком, остаются неизменными, когда другая частица достигает, она также пойдет в том же направлении . Если поток не является устойчивым, тогда, когда следующая частица достигнет положения, поток изменится, и частица пойдет в другом направлении. $a_{0}$ ${\vec {x}}$ $a_{0}$ ${\vec {x}}$ $a_{0}$

Это полезно, потому что обычно очень сложно смотреть на линии тока в эксперименте. Однако, если поток устойчивый, можно использовать штриховые линии для описания модели линий тока.

Фреймовая зависимость [ править ]

Линии тока зависят от кадра. То есть линии тока, наблюдаемые в одной инерциальной системе отсчета , отличаются от линий тока, наблюдаемых в другой инерциальной системе отсчета. Например, линии тока в воздухе вокруг крыла самолета определяются для пассажиров самолета иначе, чем для наблюдателя на земле. В примере с самолетом наблюдатель на земле будет наблюдать неустойчивый поток, а наблюдатели в самолете будут наблюдать устойчивый поток с постоянными линиями тока. Когда это возможно, специалисты по гидродинамике пытаются найти систему отсчета, в которой течение является устойчивым, чтобы они могли использовать экспериментальные методы создания полос для определения линий тока.

Заявление [ править ]

Знание линий тока может быть полезно в гидродинамике. Например, принцип Бернулли , который описывает взаимосвязь между давлением и скоростью в невязкой жидкости, выводится для местоположений вдоль линии тока.

Кривизна линии тока связана с градиентом давления, действующим перпендикулярно линии тока. Центр кривизны линии тока лежит в направлении уменьшения радиального давления. Величину радиального градиента давления можно рассчитать непосредственно из плотности жидкости, кривизны линии тока и местной скорости.

Инженеры часто используют красители в воде или дыме в воздухе, чтобы увидеть полосы, по которым можно рассчитать пути. Штрих-линии идентичны линиям тока для устойчивого потока. Кроме того, краситель можно использовать для создания графиков. ^[6] Шаблоны определяют изменения в конструкции, направленные на уменьшение сопротивления. Эта задача называется оптимизацией , а полученный в результате дизайн называется оптимизацией . Обтекаемые предметы и организмы, такие как паровозы , лайнеры , автомобили и дельфины , часто эстетичны для глаз. Streamline Moderneстиль, ответвление ар-деко 1930-х и 1940-х годов , привнес в архитектуру и дизайн той эпохи плавные линии. Канонический пример обтекаемой формы - куриное яйцо тупым концом вперед. Это ясно показывает, что кривизна передней поверхности может быть намного круче задней части объекта. Большая часть сопротивления вызывается завихрениями в жидкости позади движущегося объекта, и цель должна состоять в том, чтобы позволить жидкости замедлиться после прохождения вокруг объекта и восстановить давление без образования завихрений.

С тех пор те же термины стали общеупотребительными для описания любого процесса, который сглаживает операцию. Например, часто можно услышать ссылки на оптимизацию деловой практики или операции.

См. Также [ править ]

Коэффициент трения
Эквипотенциальная поверхность
Визуализация потока
Скорость потока
Научная визуализация
Посев (гидродинамика)
Функция потока
Streamsurface

Примечания и ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

Перейти ↑ Batchelor, G. (2000). Введение в механику жидкости .
^ Кунду П. и Коэн И. Механика жидкости .
^ «Определение линий тока» . www.grc.nasa.gov . Архивировано 18 января 2017 года . Проверено 26 апреля 2018 года .
^ a b Грейнджер, РА (1995). Механика жидкости . Dover Publications. ISBN 0-486-68356-7.С. 422–425.
^ тек-наука (2020-04-22). «Уравнение движения жидкости по линии тока» . тек-наука . Проверено 7 мая 2020 .
^ «Визуализация потока» . Национальный комитет пленок для механики жидкостей (NCFMF). Архивировано из оригинала ( RealMedia ) 03 января 2006 года . Проверено 20 апреля 2009 .

Ссылки [ править ]

Faber, TE (1995). Гидродинамика для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42969-2.

Внешние ссылки [ править ]

Оптимизация иллюстрации
Учебное пособие - Иллюстрация линий тока, полос и траекторий поля скорости (с апплетом)
Интерактивное веб-приложение Joukowsky Transform

[Batchelor-1] Перейти ↑ Batchelor, G. (2000). Введение в механику жидкости .

[Kundu-2] Кунду П. и Коэн И. Механика жидкости .

[3] «Определение линий тока» . www.grc.nasa.gov . Архивировано 18 января 2017 года . Проверено 26 апреля 2018 года .

[Granger-4] Грейнджер, РА (1995). Механика жидкости . Dover Publications. ISBN 0-486-68356-7.С. 422–425.

[5] тек-наука (2020-04-22). «Уравнение движения жидкости по линии тока» . тек-наука . Проверено 7 мая 2020 .

[6] «Визуализация потока» . Национальный комитет пленок для механики жидкостей (NCFMF). Архивировано из оригинала ( RealMedia ) 03 января 2006 года . Проверено 20 апреля 2009 .

[1]